Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfhmeo Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem icopnfhmeo 22049
 Description: The defined bijection from to is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
icopnfhmeo.f
icopnfhmeo.j fld
Assertion
Ref Expression
icopnfhmeo t t
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem icopnfhmeo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . . . 5
21icopnfcnv 22048 . . . 4
32simpli 465 . . 3
4 0re 9661 . . . . . . . . . . 11
5 1re 9660 . . . . . . . . . . . 12
65rexri 9711 . . . . . . . . . . 11
7 elico2 11723 . . . . . . . . . . 11
84, 6, 7mp2an 686 . . . . . . . . . 10
98simp1bi 1045 . . . . . . . . 9
109ssriv 3422 . . . . . . . 8
1110sseli 3414 . . . . . . 7
1211adantr 472 . . . . . 6
13 elico2 11723 . . . . . . . . . . 11
144, 6, 13mp2an 686 . . . . . . . . . 10
1514simp3bi 1047 . . . . . . . . 9
1610sseli 3414 . . . . . . . . . 10
17 difrp 11360 . . . . . . . . . 10
1816, 5, 17sylancl 675 . . . . . . . . 9
1915, 18mpbid 215 . . . . . . . 8
2019rpregt0d 11370 . . . . . . 7
2120adantl 473 . . . . . 6
2216adantl 473 . . . . . 6
23 elico2 11723 . . . . . . . . . . 11
244, 6, 23mp2an 686 . . . . . . . . . 10
2524simp3bi 1047 . . . . . . . . 9
26 difrp 11360 . . . . . . . . . 10
2711, 5, 26sylancl 675 . . . . . . . . 9
2825, 27mpbid 215 . . . . . . . 8
2928adantr 472 . . . . . . 7
3029rpregt0d 11370 . . . . . 6
31 lt2mul2div 10505 . . . . . 6
3212, 21, 22, 30, 31syl22anc 1293 . . . . 5
3312, 22remulcld 9689 . . . . . . 7
3412, 22, 33ltsub1d 10243 . . . . . 6
3512recnd 9687 . . . . . . . . 9
36 1cnd 9677 . . . . . . . . 9
3722recnd 9687 . . . . . . . . 9
3835, 36, 37subdid 10095 . . . . . . . 8
3935mulid1d 9678 . . . . . . . . 9
4039oveq1d 6323 . . . . . . . 8
4138, 40eqtrd 2505 . . . . . . 7
4237, 36, 35subdid 10095 . . . . . . . 8
4337mulid1d 9678 . . . . . . . . 9
4437, 35mulcomd 9682 . . . . . . . . 9
4543, 44oveq12d 6326 . . . . . . . 8
4642, 45eqtrd 2505 . . . . . . 7
4741, 46breq12d 4408 . . . . . 6
4834, 47bitr4d 264 . . . . 5
49 id 22 . . . . . . . 8
50 oveq2 6316 . . . . . . . 8
5149, 50oveq12d 6326 . . . . . . 7
52 ovex 6336 . . . . . . 7
5351, 1, 52fvmpt 5963 . . . . . 6
54 id 22 . . . . . . . 8
55 oveq2 6316 . . . . . . . 8
5654, 55oveq12d 6326 . . . . . . 7
57 ovex 6336 . . . . . . 7
5856, 1, 57fvmpt 5963 . . . . . 6
5953, 58breqan12d 4411 . . . . 5
6032, 48, 593bitr4d 293 . . . 4
6160rgen2a 2820 . . 3
62 df-isom 5598 . . 3
633, 61, 62mpbir2an 934 . 2
64 letsr 16551 . . . . . 6
6564elexi 3041 . . . . 5
6665inex1 4537 . . . 4
6765inex1 4537 . . . 4
68 icossxr 11744 . . . . . . . 8
69 icossxr 11744 . . . . . . . 8
70 leiso 12663 . . . . . . . 8
7168, 69, 70mp2an 686 . . . . . . 7
7263, 71mpbi 213 . . . . . 6
73 isores1 6243 . . . . . 6
7472, 73mpbi 213 . . . . 5
75 isores2 6242 . . . . 5
7674, 75mpbi 213 . . . 4
77 tsrps 16545 . . . . . . . 8
7864, 77ax-mp 5 . . . . . . 7
79 ledm 16548 . . . . . . . 8
8079psssdm 16540 . . . . . . 7
8178, 68, 80mp2an 686 . . . . . 6
8281eqcomi 2480 . . . . 5
8379psssdm 16540 . . . . . . 7
8478, 69, 83mp2an 686 . . . . . 6
8584eqcomi 2480 . . . . 5
8682, 85ordthmeo 20894 . . . 4 ordTop ordTop
8766, 67, 76, 86mp3an 1390 . . 3 ordTop ordTop
88 icopnfhmeo.j . . . . . . 7 fld
89 eqid 2471 . . . . . . 7 ordTop ordTop
9088, 89xrrest2 21904 . . . . . 6 t ordTop t
9110, 90ax-mp 5 . . . . 5 t ordTop t
92 iccssico2 11733 . . . . . 6
9368, 92ordtrestixx 20315 . . . . 5 ordTop t ordTop
9491, 93eqtri 2493 . . . 4 t ordTop
95 rge0ssre 11766 . . . . . 6
9688, 89xrrest2 21904 . . . . . 6 t ordTop t
9795, 96ax-mp 5 . . . . 5 t ordTop t
98 iccssico2 11733 . . . . . 6
9969, 98ordtrestixx 20315 . . . . 5 ordTop t ordTop
10097, 99eqtri 2493 . . . 4 t ordTop
10194, 100oveq12i 6320 . . 3 t t ordTop ordTop
10287, 101eleqtrri 2548 . 2 t t
10363, 102pm3.2i 462 1 t t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   cin 3389   wss 3390   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839  wf1o 5588  cfv 5589   wiso 5590  (class class class)co 6308  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  crp 11325  cico 11662   ↾t crest 15397  ctopn 15398  ordTopcordt 15475  cps 16522   ctsr 16523  ℂfldccnfld 19047  chmeo 20845 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414 This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  22051
 Copyright terms: Public domain W3C validator