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Theorem icopnfcnv 21970
Description: Define a bijection from  [ 0 ,  1 ) to  [
0 , +oo ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icopnfhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
icopnfcnv  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem icopnfcnv
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
2 0re 9643 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 1re 9642 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
43rexri 9693 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
5 elico2 11698 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1 ) ) )
62, 4, 5mp2an 678 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1
) )
76simp1bi 1023 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  e.  RR )
86simp3bi 1025 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  <  1 )
9 difrp 11337 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
107, 3, 9sylancl 668 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
118, 10mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
1  -  x )  e.  RR+ )
127, 11rerpdivcld 11369 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR )
136simp2bi 1024 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  x )
147, 11, 13divge0d 11378 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
15 elrege0 11738 . . . . 5  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
1612, 14, 15sylanbrc 670 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1716adantl 468 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,) 1
) )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
18 elrege0 11738 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y ) )
1918simplbi 462 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  e.  RR )
20 readdcl 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR )
213, 19, 20sylancr 669 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR )
222a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
2318simprbi 466 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
y )
2419ltp1d 10537 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  < 
( y  +  1 ) )
25 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2619recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  e.  CC )
27 addcom 9819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
2825, 26, 27sylancr 669 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
2924, 28breqtrrd 4429 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  < 
( 1  +  y ) )
3022, 19, 21, 23, 29lelttrd 9793 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  < 
( 1  +  y ) )
3121, 30elrpd 11338 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR+ )
3219, 31rerpdivcld 11369 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR )
33 divge0 10474 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )  /\  ( ( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
3419, 23, 21, 30, 33syl22anc 1269 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
( y  /  (
1  +  y ) ) )
3521recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  e.  CC )
3635mulid1d 9660 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( ( 1  +  y )  x.  1 )  =  ( 1  +  y ) )
3729, 36breqtrrd 4429 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  < 
( ( 1  +  y )  x.  1 ) )
383a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
39 ltdivmul 10480 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  (
( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4019, 38, 21, 30, 39syl112anc 1272 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  ( ( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4137, 40mpbird 236 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 )
42 elico2 11698 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) ) )
432, 4, 42mp2an 678 . . . . 5  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
4432, 34, 41, 43syl3anbrc 1192 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1
) )
4544adantl 468 . . 3  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4626adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  y  e.  CC )
477adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
4847recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
4948, 46mulcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  CC )
5046, 49, 48subadd2d 10005 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( y  -  ( x  x.  y ) )  =  x  <->  ( x  +  ( x  x.  y
) )  =  y ) )
51 1cnd 9659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  1  e.  CC )
5251, 48, 46subdird 10075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  ( ( 1  x.  y
)  -  ( x  x.  y ) ) )
5346mulid2d 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
5453oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( 1  x.  y )  -  ( x  x.  y
) )  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5552, 54eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5655eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  x  <->  ( y  -  ( x  x.  y
) )  =  x ) )
5748, 51, 46adddid 9667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  ( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y ) ) )
5848mulid1d 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
5958oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y
) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6057, 59eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6160eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <->  ( x  +  ( x  x.  y
) )  =  y ) )
6250, 56, 613bitr4rd 290 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <->  ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  x ) )
63 eqcom 2458 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  <->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y )
64 eqcom 2458 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y )  <->  ( (
1  -  x )  x.  y )  =  x )
6562, 63, 643bitr4g 292 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( y  =  ( x  x.  (
1  +  y ) )  <->  x  =  (
( 1  -  x
)  x.  y ) ) )
6635adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  +  y )  e.  CC )
6731adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR+ )
6867rpne0d 11346 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  +  y )  =/=  0
)
6946, 48, 66, 68divmul3d 10417 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x  <->  y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) ) ) )
7011adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  -  x )  e.  RR+ )
7170rpcnd 11343 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  -  x )  e.  CC )
7270rpne0d 11346 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  -  x )  =/=  0
)
7348, 46, 71, 72divmul2d 10416 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y  <->  x  =  (
( 1  -  x
)  x.  y ) ) )
7465, 69, 733bitr4d 289 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x  <->  ( x  / 
( 1  -  x
) )  =  y ) )
75 eqcom 2458 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x )
76 eqcom 2458 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  / 
( 1  -  x
) )  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y )
7774, 75, 763bitr4g 292 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
7877adantl 468 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
791, 17, 45, 78f1ocnv2d 6520 . 2  |-  ( T. 
->  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  `' F  =  (
y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
8079trud 1453 1  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   T. wtru 1445    e. wcel 1887   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   -1-1-onto->wf1o 5581  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   RR+crp 11302   [,)cico 11637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-rp 11303  df-ico 11641
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  21971  iccpnfcnv  21972
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