Theorem icopnfcnv 21956

Description: Define a bijection from [ 0 , 1 ) to [ 0 , +oo ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icopnfhmeo.f	|- F = ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
icopnfcnv	|- ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, F

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem icopnfcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icopnfhmeo.f	. . 3 |- F = ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) )
2		0re 9643	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
3		1re 9642	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
4	3	rexri 9693	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
5		elico2 11698	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( x e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < 1 ) ) )
6	2, 4, 5	mp2an 676	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < 1 ) )
7	6	simp1bi 1020	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> x e. RR )
8	6	simp3bi 1022	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> x < 1 )
9		difrp 11337	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x < 1 <-> ( 1 - x ) e. RR+ ) )
10	7, 3, 9	sylancl 666	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x < 1 <-> ( 1 - x ) e. RR+ ) )
11	8, 10	mpbid 213	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( 1 - x ) e. RR+ )
12	7, 11	rerpdivcld 11369	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. RR )
13	6	simp2bi 1021	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> 0 <_ x )
14	7, 11, 13	divge0d 11378	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> 0 <_ ( x / ( 1 - x ) ) )
15		elrege0 11738	. . . . 5 |- ( ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( x / ( 1 - x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( x / ( 1 - x ) ) ) )
16	12, 14, 15	sylanbrc 668	. . . 4 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	16	adantl 467	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 [,) 1 ) ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
18		elrege0 11738	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
19	18	simplbi 461	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. RR )
20		readdcl 9622	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 1 + y ) e. RR )
21	3, 19, 20	sylancr 667	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. RR )
22	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 e. RR )
23	18	simprbi 465	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ y )
24	19	ltp1d 10537	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( y + 1 ) )
25		ax-1cn 9597	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
26	19	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. CC )
27		addcom 9819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 1 + y ) = ( y + 1 ) )
28	25, 26, 27	sylancr 667	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) = ( y + 1 ) )
29	24, 28	breqtrrd 4447	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( 1 + y ) )
30	22, 19, 21, 23, 29	lelttrd 9793	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 < ( 1 + y ) )
31	21, 30	elrpd 11338	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. RR+ )
32	19, 31	rerpdivcld 11369	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. RR )
33		divge0 10474	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. RR /\ 0 <_ y ) /\ ( ( 1 + y ) e. RR /\ 0 < ( 1 + y ) ) ) -> 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) )
34	19, 23, 21, 30, 33	syl22anc 1265	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) )
35	21	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. CC )
36	35	mulid1d 9660	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( 1 + y ) x. 1 ) = ( 1 + y ) )
37	29, 36	breqtrrd 4447	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) )
38	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 1 e. RR )
39		ltdivmul 10480	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( 1 + y ) e. RR /\ 0 < ( 1 + y ) ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) < 1 <-> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) ) )
40	19, 38, 21, 30, 39	syl112anc 1268	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) < 1 <-> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) ) )
41	37, 40	mpbird 235	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) < 1 )
42		elico2 11698	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) ) )
43	2, 4, 42	mp2an 676	. . . . 5 |- ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) )
44	32, 34, 41, 43	syl3anbrc 1189	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
45	44	adantl 467	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
46	26	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> y e. CC )
47	7	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. RR )
48	47	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. CC )
49	48, 46	mulcld 9663	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
50	46, 49, 48	subadd2d 10005	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y - ( x x. y ) ) = x <-> ( x + ( x x. y ) ) = y ) )
51		1cnd 9659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
52	51, 48, 46	subdird 10075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - x ) x. y ) = ( ( 1 x. y ) - ( x x. y ) ) )
53	46	mulid2d 9661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
54	53	oveq1d 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 x. y ) - ( x x. y ) ) = ( y - ( x x. y ) ) )
55	52, 54	eqtrd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - x ) x. y ) = ( y - ( x x. y ) ) )
56	55	eqeq1d 2424	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( ( 1 - x ) x. y ) = x <-> ( y - ( x x. y ) ) = x ) )
57	48, 51, 46	adddid 9667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. ( 1 + y ) ) = ( ( x x. 1 ) + ( x x. y ) ) )
58	48	mulid1d 9660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
59	58	oveq1d 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. 1 ) + ( x x. y ) ) = ( x + ( x x. y ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. ( 1 + y ) ) = ( x + ( x x. y ) ) )
61	60	eqeq1d 2424	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. ( 1 + y ) ) = y <-> ( x + ( x x. y ) ) = y ) )
62	50, 56, 61	3bitr4rd 289	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. ( 1 + y ) ) = y <-> ( ( 1 - x ) x. y ) = x ) )
63		eqcom 2431	. . . . . . 7 |- ( y = ( x x. ( 1 + y ) ) <-> ( x x. ( 1 + y ) ) = y )
64		eqcom 2431	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - x ) x. y ) <-> ( ( 1 - x ) x. y ) = x )
65	62, 63, 64	3bitr4g 291	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( y = ( x x. ( 1 + y ) ) <-> x = ( ( 1 - x ) x. y ) ) )
66	35	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) e. CC )
67	31	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) e. RR+ )
68	67	rpne0d 11346	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) =/= 0 )
69	46, 48, 66, 68	divmul3d 10417	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) = x <-> y = ( x x. ( 1 + y ) ) ) )
70	11	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) e. RR+ )
71	70	rpcnd 11343	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) e. CC )
72	70	rpne0d 11346	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) =/= 0 )
73	48, 46, 71, 72	divmul2d 10416	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x / ( 1 - x ) ) = y <-> x = ( ( 1 - x ) x. y ) ) )
74	65, 69, 73	3bitr4d 288	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) = x <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y ) )
75		eqcom 2431	. . . . 5 |- ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> ( y / ( 1 + y ) ) = x )
76		eqcom 2431	. . . . 5 |- ( y = ( x / ( 1 - x ) ) <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y )
77	74, 75, 76	3bitr4g 291	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
78	77	adantl 467	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
79	1, 17, 45, 78	f1ocnv2d 6530	. 2 |- ( T. -> ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) ) )
80	79	trud 1446	1 |- ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   T. wtru 1438   e. wcel 1868   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   `'ccnv 4848   -1-1-onto->wf1o 5596  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   RR+crp 11302   [,)cico 11637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-rp 11303  df-ico 11641

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  21957  iccpnfcnv  21958