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Theorem icopnfcnv 21568
Description: Define a bijection from  [ 0 ,  1 ) to  [
0 , +oo ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icopnfhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
icopnfcnv  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem icopnfcnv
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
2 0re 9613 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 1re 9612 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
43rexri 9663 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
5 elico2 11613 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1 ) ) )
62, 4, 5mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1
) )
76simp1bi 1011 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  e.  RR )
86simp3bi 1013 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  <  1 )
9 difrp 11278 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
107, 3, 9sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
118, 10mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
1  -  x )  e.  RR+ )
127, 11rerpdivcld 11308 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR )
136simp2bi 1012 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  x )
147, 11, 13divge0d 11317 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
15 elrege0 11652 . . . . 5  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
1612, 14, 15sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1716adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,) 1
) )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
18 elrege0 11652 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y ) )
1918simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  e.  RR )
20 readdcl 9592 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR )
213, 19, 20sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR )
222a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
2318simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
y )
2419ltp1d 10496 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  < 
( y  +  1 ) )
25 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2619recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  e.  CC )
27 addcom 9783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
2825, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
2924, 28breqtrrd 4482 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  < 
( 1  +  y ) )
3022, 19, 21, 23, 29lelttrd 9757 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  < 
( 1  +  y ) )
3121, 30elrpd 11279 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR+ )
3219, 31rerpdivcld 11308 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR )
33 divge0 10432 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )  /\  ( ( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
3419, 23, 21, 30, 33syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
( y  /  (
1  +  y ) ) )
3521recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  e.  CC )
3635mulid1d 9630 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( ( 1  +  y )  x.  1 )  =  ( 1  +  y ) )
3729, 36breqtrrd 4482 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  < 
( ( 1  +  y )  x.  1 ) )
383a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
39 ltdivmul 10438 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  (
( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4019, 38, 21, 30, 39syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  ( ( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4137, 40mpbird 232 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 )
42 elico2 11613 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) ) )
432, 4, 42mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
4432, 34, 41, 43syl3anbrc 1180 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1
) )
4544adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4626adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  y  e.  CC )
477adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
4847recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
4948, 46mulcld 9633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  CC )
5046, 49, 48subadd2d 9969 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( y  -  ( x  x.  y ) )  =  x  <->  ( x  +  ( x  x.  y
) )  =  y ) )
51 1cnd 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  1  e.  CC )
5251, 48, 46subdird 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  ( ( 1  x.  y
)  -  ( x  x.  y ) ) )
5346mulid2d 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
5453oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( 1  x.  y )  -  ( x  x.  y
) )  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5552, 54eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5655eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  x  <->  ( y  -  ( x  x.  y
) )  =  x ) )
5748, 51, 46adddid 9637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  ( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y ) ) )
5848mulid1d 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
5958oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y
) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6057, 59eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6160eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <->  ( x  +  ( x  x.  y
) )  =  y ) )
6250, 56, 613bitr4rd 286 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <->  ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  x ) )
63 eqcom 2466 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  <->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y )
64 eqcom 2466 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y )  <->  ( (
1  -  x )  x.  y )  =  x )
6562, 63, 643bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( y  =  ( x  x.  (
1  +  y ) )  <->  x  =  (
( 1  -  x
)  x.  y ) ) )
6635adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  +  y )  e.  CC )
6731adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR+ )
6867rpne0d 11286 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  +  y )  =/=  0
)
6946, 48, 66, 68divmul3d 10375 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x  <->  y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) ) ) )
7011adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  -  x )  e.  RR+ )
7170rpcnd 11283 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  -  x )  e.  CC )
7270rpne0d 11286 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  -  x )  =/=  0
)
7348, 46, 71, 72divmul2d 10374 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y  <->  x  =  (
( 1  -  x
)  x.  y ) ) )
7465, 69, 733bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x  <->  ( x  / 
( 1  -  x
) )  =  y ) )
75 eqcom 2466 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x )
76 eqcom 2466 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  / 
( 1  -  x
) )  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y )
7774, 75, 763bitr4g 288 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
7877adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
791, 17, 45, 78f1ocnv2d 6525 . 2  |-  ( T. 
->  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  `' F  =  (
y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
8079trud 1404 1  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   -1-1-onto->wf1o 5593  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   RR+crp 11245   [,)cico 11556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-rp 11246  df-ico 11560
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  21569  iccpnfcnv  21570
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