Theorem icopnfcnv 21568

Description: Define a bijection from [ 0 , 1 ) to [ 0 , +oo ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icopnfhmeo.f	|- F = ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
icopnfcnv	|- ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, F

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem icopnfcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icopnfhmeo.f	. . 3 |- F = ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) )
2		0re 9613	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
3		1re 9612	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
4	3	rexri 9663	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
5		elico2 11613	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( x e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < 1 ) ) )
6	2, 4, 5	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < 1 ) )
7	6	simp1bi 1011	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> x e. RR )
8	6	simp3bi 1013	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> x < 1 )
9		difrp 11278	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x < 1 <-> ( 1 - x ) e. RR+ ) )
10	7, 3, 9	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x < 1 <-> ( 1 - x ) e. RR+ ) )
11	8, 10	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( 1 - x ) e. RR+ )
12	7, 11	rerpdivcld 11308	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. RR )
13	6	simp2bi 1012	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> 0 <_ x )
14	7, 11, 13	divge0d 11317	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> 0 <_ ( x / ( 1 - x ) ) )
15		elrege0 11652	. . . . 5 |- ( ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( x / ( 1 - x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( x / ( 1 - x ) ) ) )
16	12, 14, 15	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	16	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 [,) 1 ) ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
18		elrege0 11652	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
19	18	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. RR )
20		readdcl 9592	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 1 + y ) e. RR )
21	3, 19, 20	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. RR )
22	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 e. RR )
23	18	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ y )
24	19	ltp1d 10496	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( y + 1 ) )
25		ax-1cn 9567	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
26	19	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. CC )
27		addcom 9783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 1 + y ) = ( y + 1 ) )
28	25, 26, 27	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) = ( y + 1 ) )
29	24, 28	breqtrrd 4482	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( 1 + y ) )
30	22, 19, 21, 23, 29	lelttrd 9757	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 < ( 1 + y ) )
31	21, 30	elrpd 11279	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. RR+ )
32	19, 31	rerpdivcld 11308	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. RR )
33		divge0 10432	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. RR /\ 0 <_ y ) /\ ( ( 1 + y ) e. RR /\ 0 < ( 1 + y ) ) ) -> 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) )
34	19, 23, 21, 30, 33	syl22anc 1229	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) )
35	21	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. CC )
36	35	mulid1d 9630	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( 1 + y ) x. 1 ) = ( 1 + y ) )
37	29, 36	breqtrrd 4482	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) )
38	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 1 e. RR )
39		ltdivmul 10438	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( 1 + y ) e. RR /\ 0 < ( 1 + y ) ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) < 1 <-> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) ) )
40	19, 38, 21, 30, 39	syl112anc 1232	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) < 1 <-> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) ) )
41	37, 40	mpbird 232	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) < 1 )
42		elico2 11613	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) ) )
43	2, 4, 42	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) )
44	32, 34, 41, 43	syl3anbrc 1180	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
45	44	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
46	26	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> y e. CC )
47	7	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. RR )
48	47	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. CC )
49	48, 46	mulcld 9633	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
50	46, 49, 48	subadd2d 9969	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y - ( x x. y ) ) = x <-> ( x + ( x x. y ) ) = y ) )
51		1cnd 9629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
52	51, 48, 46	subdird 10034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - x ) x. y ) = ( ( 1 x. y ) - ( x x. y ) ) )
53	46	mulid2d 9631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
54	53	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 x. y ) - ( x x. y ) ) = ( y - ( x x. y ) ) )
55	52, 54	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - x ) x. y ) = ( y - ( x x. y ) ) )
56	55	eqeq1d 2459	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( ( 1 - x ) x. y ) = x <-> ( y - ( x x. y ) ) = x ) )
57	48, 51, 46	adddid 9637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. ( 1 + y ) ) = ( ( x x. 1 ) + ( x x. y ) ) )
58	48	mulid1d 9630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
59	58	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. 1 ) + ( x x. y ) ) = ( x + ( x x. y ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. ( 1 + y ) ) = ( x + ( x x. y ) ) )
61	60	eqeq1d 2459	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. ( 1 + y ) ) = y <-> ( x + ( x x. y ) ) = y ) )
62	50, 56, 61	3bitr4rd 286	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. ( 1 + y ) ) = y <-> ( ( 1 - x ) x. y ) = x ) )
63		eqcom 2466	. . . . . . 7 |- ( y = ( x x. ( 1 + y ) ) <-> ( x x. ( 1 + y ) ) = y )
64		eqcom 2466	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - x ) x. y ) <-> ( ( 1 - x ) x. y ) = x )
65	62, 63, 64	3bitr4g 288	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( y = ( x x. ( 1 + y ) ) <-> x = ( ( 1 - x ) x. y ) ) )
66	35	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) e. CC )
67	31	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) e. RR+ )
68	67	rpne0d 11286	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) =/= 0 )
69	46, 48, 66, 68	divmul3d 10375	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) = x <-> y = ( x x. ( 1 + y ) ) ) )
70	11	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) e. RR+ )
71	70	rpcnd 11283	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) e. CC )
72	70	rpne0d 11286	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) =/= 0 )
73	48, 46, 71, 72	divmul2d 10374	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x / ( 1 - x ) ) = y <-> x = ( ( 1 - x ) x. y ) ) )
74	65, 69, 73	3bitr4d 285	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) = x <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y ) )
75		eqcom 2466	. . . . 5 |- ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> ( y / ( 1 + y ) ) = x )
76		eqcom 2466	. . . . 5 |- ( y = ( x / ( 1 - x ) ) <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y )
77	74, 75, 76	3bitr4g 288	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
78	77	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
79	1, 17, 45, 78	f1ocnv2d 6525	. 2 |- ( T. -> ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) ) )
80	79	trud 1404	1 |- ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 1819   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   -1-1-onto->wf1o 5593  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   RR+crp 11245   [,)cico 11556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-rp 11246  df-ico 11560

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  21569  iccpnfcnv  21570