Theorem icopnfcnv 22048

Description: Define a bijection from [ 0 , 1 ) to [ 0 , +oo ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icopnfhmeo.f	|- F = ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
icopnfcnv	|- ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, F

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem icopnfcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icopnfhmeo.f	. . 3 |- F = ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) )
2		0re 9661	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
3		1re 9660	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
4	3	rexri 9711	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
5		elico2 11723	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( x e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < 1 ) ) )
6	2, 4, 5	mp2an 686	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < 1 ) )
7	6	simp1bi 1045	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> x e. RR )
8	6	simp3bi 1047	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> x < 1 )
9		difrp 11360	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x < 1 <-> ( 1 - x ) e. RR+ ) )
10	7, 3, 9	sylancl 675	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x < 1 <-> ( 1 - x ) e. RR+ ) )
11	8, 10	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( 1 - x ) e. RR+ )
12	7, 11	rerpdivcld 11392	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. RR )
13	6	simp2bi 1046	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> 0 <_ x )
14	7, 11, 13	divge0d 11401	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> 0 <_ ( x / ( 1 - x ) ) )
15		elrege0 11764	. . . . 5 |- ( ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( x / ( 1 - x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( x / ( 1 - x ) ) ) )
16	12, 14, 15	sylanbrc 677	. . . 4 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	16	adantl 473	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 [,) 1 ) ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
18		elrege0 11764	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
19	18	simplbi 467	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. RR )
20		readdcl 9640	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 1 + y ) e. RR )
21	3, 19, 20	sylancr 676	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. RR )
22	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 e. RR )
23	18	simprbi 471	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ y )
24	19	ltp1d 10559	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( y + 1 ) )
25		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
26	19	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. CC )
27		addcom 9837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 1 + y ) = ( y + 1 ) )
28	25, 26, 27	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) = ( y + 1 ) )
29	24, 28	breqtrrd 4422	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( 1 + y ) )
30	22, 19, 21, 23, 29	lelttrd 9810	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 < ( 1 + y ) )
31	21, 30	elrpd 11361	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. RR+ )
32	19, 31	rerpdivcld 11392	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. RR )
33		divge0 10496	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. RR /\ 0 <_ y ) /\ ( ( 1 + y ) e. RR /\ 0 < ( 1 + y ) ) ) -> 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) )
34	19, 23, 21, 30, 33	syl22anc 1293	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) )
35	21	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. CC )
36	35	mulid1d 9678	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( 1 + y ) x. 1 ) = ( 1 + y ) )
37	29, 36	breqtrrd 4422	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) )
38	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 1 e. RR )
39		ltdivmul 10502	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( 1 + y ) e. RR /\ 0 < ( 1 + y ) ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) < 1 <-> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) ) )
40	19, 38, 21, 30, 39	syl112anc 1296	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) < 1 <-> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) ) )
41	37, 40	mpbird 240	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) < 1 )
42		elico2 11723	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) ) )
43	2, 4, 42	mp2an 686	. . . . 5 |- ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) )
44	32, 34, 41, 43	syl3anbrc 1214	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
45	44	adantl 473	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
46	26	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> y e. CC )
47	7	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. RR )
48	47	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. CC )
49	48, 46	mulcld 9681	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
50	46, 49, 48	subadd2d 10024	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y - ( x x. y ) ) = x <-> ( x + ( x x. y ) ) = y ) )
51		1cnd 9677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
52	51, 48, 46	subdird 10096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - x ) x. y ) = ( ( 1 x. y ) - ( x x. y ) ) )
53	46	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
54	53	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 x. y ) - ( x x. y ) ) = ( y - ( x x. y ) ) )
55	52, 54	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - x ) x. y ) = ( y - ( x x. y ) ) )
56	55	eqeq1d 2473	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( ( 1 - x ) x. y ) = x <-> ( y - ( x x. y ) ) = x ) )
57	48, 51, 46	adddid 9685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. ( 1 + y ) ) = ( ( x x. 1 ) + ( x x. y ) ) )
58	48	mulid1d 9678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
59	58	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. 1 ) + ( x x. y ) ) = ( x + ( x x. y ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. ( 1 + y ) ) = ( x + ( x x. y ) ) )
61	60	eqeq1d 2473	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. ( 1 + y ) ) = y <-> ( x + ( x x. y ) ) = y ) )
62	50, 56, 61	3bitr4rd 294	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. ( 1 + y ) ) = y <-> ( ( 1 - x ) x. y ) = x ) )
63		eqcom 2478	. . . . . . 7 |- ( y = ( x x. ( 1 + y ) ) <-> ( x x. ( 1 + y ) ) = y )
64		eqcom 2478	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - x ) x. y ) <-> ( ( 1 - x ) x. y ) = x )
65	62, 63, 64	3bitr4g 296	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( y = ( x x. ( 1 + y ) ) <-> x = ( ( 1 - x ) x. y ) ) )
66	35	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) e. CC )
67	31	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) e. RR+ )
68	67	rpne0d 11369	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) =/= 0 )
69	46, 48, 66, 68	divmul3d 10439	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) = x <-> y = ( x x. ( 1 + y ) ) ) )
70	11	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) e. RR+ )
71	70	rpcnd 11366	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) e. CC )
72	70	rpne0d 11369	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) =/= 0 )
73	48, 46, 71, 72	divmul2d 10438	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x / ( 1 - x ) ) = y <-> x = ( ( 1 - x ) x. y ) ) )
74	65, 69, 73	3bitr4d 293	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) = x <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y ) )
75		eqcom 2478	. . . . 5 |- ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> ( y / ( 1 + y ) ) = x )
76		eqcom 2478	. . . . 5 |- ( y = ( x / ( 1 - x ) ) <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y )
77	74, 75, 76	3bitr4g 296	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
78	77	adantl 473	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
79	1, 17, 45, 78	f1ocnv2d 6539	. 2 |- ( T. -> ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) ) )
80	79	trud 1461	1 |- ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   T. wtru 1453   e. wcel 1904   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   -1-1-onto->wf1o 5588  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   RR+crp 11325   [,)cico 11662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-rp 11326  df-ico 11666

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  22049  iccpnfcnv  22050