MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcnv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem icopnfcnv 22048
Description: Define a bijection from  [ 0 ,  1 ) to  [
0 , +oo ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icopnfhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
icopnfcnv  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem icopnfcnv
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
2 0re 9661 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 1re 9660 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
43rexri 9711 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
5 elico2 11723 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1 ) ) )
62, 4, 5mp2an 686 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  1
) )
76simp1bi 1045 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  e.  RR )
86simp3bi 1047 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  x  <  1 )
9 difrp 11360 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
107, 3, 9sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  <  1  <->  ( 1  -  x )  e.  RR+ ) )
118, 10mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
1  -  x )  e.  RR+ )
127, 11rerpdivcld 11392 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR )
136simp2bi 1046 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  x )
147, 11, 13divge0d 11401 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
15 elrege0 11764 . . . . 5  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
1612, 14, 15sylanbrc 677 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1716adantl 473 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,) 1
) )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
18 elrege0 11764 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y ) )
1918simplbi 467 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  e.  RR )
20 readdcl 9640 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR )
213, 19, 20sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR )
222a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
2318simprbi 471 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
y )
2419ltp1d 10559 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  < 
( y  +  1 ) )
25 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2619recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  e.  CC )
27 addcom 9837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
2825, 26, 27sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  =  ( y  +  1 ) )
2924, 28breqtrrd 4422 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  < 
( 1  +  y ) )
3022, 19, 21, 23, 29lelttrd 9810 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  < 
( 1  +  y ) )
3121, 30elrpd 11361 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR+ )
3219, 31rerpdivcld 11392 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR )
33 divge0 10496 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )  /\  ( ( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
3419, 23, 21, 30, 33syl22anc 1293 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
( y  /  (
1  +  y ) ) )
3521recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 1  +  y )  e.  CC )
3635mulid1d 9678 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( ( 1  +  y )  x.  1 )  =  ( 1  +  y ) )
3729, 36breqtrrd 4422 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  y  < 
( ( 1  +  y )  x.  1 ) )
383a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  1  e.  RR )
39 ltdivmul 10502 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 1  +  y )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  +  y ) ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  (
( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4019, 38, 21, 30, 39syl112anc 1296 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1  <->  y  <  ( ( 1  +  y )  x.  1 ) ) )
4137, 40mpbird 240 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 )
42 elico2 11723 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) ) )
432, 4, 42mp2an 686 . . . . 5  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
4432, 34, 41, 43syl3anbrc 1214 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1
) )
4544adantl 473 . . 3  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4626adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  y  e.  CC )
477adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
4847recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
4948, 46mulcld 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  CC )
5046, 49, 48subadd2d 10024 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( y  -  ( x  x.  y ) )  =  x  <->  ( x  +  ( x  x.  y
) )  =  y ) )
51 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  1  e.  CC )
5251, 48, 46subdird 10096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  ( ( 1  x.  y
)  -  ( x  x.  y ) ) )
5346mulid2d 9679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
5453oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( 1  x.  y )  -  ( x  x.  y
) )  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5552, 54eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  ( y  -  ( x  x.  y ) ) )
5655eqeq1d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  x  <->  ( y  -  ( x  x.  y
) )  =  x ) )
5748, 51, 46adddid 9685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  ( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y ) ) )
5848mulid1d 9678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
5958oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  x.  1 )  +  ( x  x.  y
) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6057, 59eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  ( x  +  ( x  x.  y ) ) )
6160eqeq1d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <->  ( x  +  ( x  x.  y
) )  =  y ) )
6250, 56, 613bitr4rd 294 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y  <->  ( ( 1  -  x )  x.  y )  =  x ) )
63 eqcom 2478 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  <->  ( x  x.  ( 1  +  y ) )  =  y )
64 eqcom 2478 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1  -  x )  x.  y )  <->  ( (
1  -  x )  x.  y )  =  x )
6562, 63, 643bitr4g 296 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( y  =  ( x  x.  (
1  +  y ) )  <->  x  =  (
( 1  -  x
)  x.  y ) ) )
6635adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  +  y )  e.  CC )
6731adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  +  y )  e.  RR+ )
6867rpne0d 11369 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  +  y )  =/=  0
)
6946, 48, 66, 68divmul3d 10439 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x  <->  y  =  ( x  x.  ( 1  +  y ) ) ) )
7011adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  -  x )  e.  RR+ )
7170rpcnd 11366 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  -  x )  e.  CC )
7270rpne0d 11369 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 1  -  x )  =/=  0
)
7348, 46, 71, 72divmul2d 10438 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y  <->  x  =  (
( 1  -  x
)  x.  y ) ) )
7465, 69, 733bitr4d 293 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x  <->  ( x  / 
( 1  -  x
) )  =  y ) )
75 eqcom 2478 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x )
76 eqcom 2478 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  / 
( 1  -  x
) )  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y )
7774, 75, 763bitr4g 296 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
7877adantl 473 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
791, 17, 45, 78f1ocnv2d 6539 . 2  |-  ( T. 
->  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  `' F  =  (
y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
8079trud 1461 1  |-  ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   -1-1-onto->wf1o 5588  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   RR+crp 11325   [,)cico 11662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-rp 11326  df-ico 11666
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  22049  iccpnfcnv  22050
  Copyright terms: Public domain W3C validator