Theorem icopnfcnv 20514

Description: Define a bijection from [ 0 , 1 ) to [ 0 , +oo ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icopnfhmeo.f	|- F = ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
icopnfcnv	|- ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, F

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem icopnfcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icopnfhmeo.f	. . 3 |- F = ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) )
2		0re 9386	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
3		1re 9385	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
4	3	rexri 9436	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
5		elico2 11359	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( x e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < 1 ) ) )
6	2, 4, 5	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < 1 ) )
7	6	simp1bi 1003	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> x e. RR )
8	6	simp3bi 1005	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> x < 1 )
9		difrp 11024	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x < 1 <-> ( 1 - x ) e. RR+ ) )
10	7, 3, 9	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x < 1 <-> ( 1 - x ) e. RR+ ) )
11	8, 10	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( 1 - x ) e. RR+ )
12	7, 11	rerpdivcld 11054	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. RR )
13	6	simp2bi 1004	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> 0 <_ x )
14	7, 11, 13	divge0d 11063	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> 0 <_ ( x / ( 1 - x ) ) )
15		elrege0 11392	. . . . 5 |- ( ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( x / ( 1 - x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( x / ( 1 - x ) ) ) )
16	12, 14, 15	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	16	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 [,) 1 ) ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
18		elrege0 11392	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
19	18	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. RR )
20		readdcl 9365	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 1 + y ) e. RR )
21	3, 19, 20	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. RR )
22	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 e. RR )
23	18	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ y )
24	19	ltp1d 10263	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( y + 1 ) )
25		ax-1cn 9340	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
26	19	recnd 9412	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. CC )
27		addcom 9555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 1 + y ) = ( y + 1 ) )
28	25, 26, 27	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) = ( y + 1 ) )
29	24, 28	breqtrrd 4318	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( 1 + y ) )
30	22, 19, 21, 23, 29	lelttrd 9529	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 < ( 1 + y ) )
31	21, 30	elrpd 11025	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. RR+ )
32	19, 31	rerpdivcld 11054	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. RR )
33		divge0 10198	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. RR /\ 0 <_ y ) /\ ( ( 1 + y ) e. RR /\ 0 < ( 1 + y ) ) ) -> 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) )
34	19, 23, 21, 30, 33	syl22anc 1219	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) )
35	21	recnd 9412	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. CC )
36	35	mulid1d 9403	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( 1 + y ) x. 1 ) = ( 1 + y ) )
37	29, 36	breqtrrd 4318	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) )
38	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 1 e. RR )
39		ltdivmul 10204	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( 1 + y ) e. RR /\ 0 < ( 1 + y ) ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) < 1 <-> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) ) )
40	19, 38, 21, 30, 39	syl112anc 1222	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) < 1 <-> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) ) )
41	37, 40	mpbird 232	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) < 1 )
42		elico2 11359	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) ) )
43	2, 4, 42	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) )
44	32, 34, 41, 43	syl3anbrc 1172	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
45	44	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
46	26	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> y e. CC )
47	7	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. RR )
48	47	recnd 9412	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. CC )
49	48, 46	mulcld 9406	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
50	46, 49, 48	subadd2d 9738	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y - ( x x. y ) ) = x <-> ( x + ( x x. y ) ) = y ) )
51	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
52	51, 48, 46	subdird 9801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - x ) x. y ) = ( ( 1 x. y ) - ( x x. y ) ) )
53	46	mulid2d 9404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
54	53	oveq1d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 x. y ) - ( x x. y ) ) = ( y - ( x x. y ) ) )
55	52, 54	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - x ) x. y ) = ( y - ( x x. y ) ) )
56	55	eqeq1d 2451	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( ( 1 - x ) x. y ) = x <-> ( y - ( x x. y ) ) = x ) )
57	48, 51, 46	adddid 9410	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. ( 1 + y ) ) = ( ( x x. 1 ) + ( x x. y ) ) )
58	48	mulid1d 9403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
59	58	oveq1d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. 1 ) + ( x x. y ) ) = ( x + ( x x. y ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. ( 1 + y ) ) = ( x + ( x x. y ) ) )
61	60	eqeq1d 2451	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. ( 1 + y ) ) = y <-> ( x + ( x x. y ) ) = y ) )
62	50, 56, 61	3bitr4rd 286	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. ( 1 + y ) ) = y <-> ( ( 1 - x ) x. y ) = x ) )
63		eqcom 2445	. . . . . . 7 |- ( y = ( x x. ( 1 + y ) ) <-> ( x x. ( 1 + y ) ) = y )
64		eqcom 2445	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - x ) x. y ) <-> ( ( 1 - x ) x. y ) = x )
65	62, 63, 64	3bitr4g 288	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( y = ( x x. ( 1 + y ) ) <-> x = ( ( 1 - x ) x. y ) ) )
66	35	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) e. CC )
67	31	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) e. RR+ )
68	67	rpne0d 11032	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) =/= 0 )
69	46, 48, 66, 68	divmul3d 10141	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) = x <-> y = ( x x. ( 1 + y ) ) ) )
70	11	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) e. RR+ )
71	70	rpcnd 11029	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) e. CC )
72	70	rpne0d 11032	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) =/= 0 )
73	48, 46, 71, 72	divmul2d 10140	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x / ( 1 - x ) ) = y <-> x = ( ( 1 - x ) x. y ) ) )
74	65, 69, 73	3bitr4d 285	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) = x <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y ) )
75		eqcom 2445	. . . . 5 |- ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> ( y / ( 1 + y ) ) = x )
76		eqcom 2445	. . . . 5 |- ( y = ( x / ( 1 - x ) ) <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y )
77	74, 75, 76	3bitr4g 288	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
78	77	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
79	1, 17, 45, 78	f1ocnv2d 6311	. 2 |- ( T. -> ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) ) )
80	79	trud 1378	1 |- ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   T. wtru 1370   e. wcel 1756   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   -1-1-onto->wf1o 5417  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   x. cmul 9287   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417   < clt 9418   <_ cle 9419   - cmin 9595   / cdiv 9993   RR+crp 10991   [,)cico 11302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-rp 10992  df-ico 11306

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  20515  iccpnfcnv  20516