Theorem icopnfcnv 21174

Description: Define a bijection from [ 0 , 1 ) to [ 0 , +oo ). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
icopnfhmeo.f	|- F = ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
icopnfcnv	|- ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, F

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem icopnfcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icopnfhmeo.f	. . 3 |- F = ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) )
2		0re 9592	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
3		1re 9591	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
4	3	rexri 9642	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
5		elico2 11584	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( x e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < 1 ) ) )
6	2, 4, 5	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < 1 ) )
7	6	simp1bi 1011	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> x e. RR )
8	6	simp3bi 1013	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> x < 1 )
9		difrp 11249	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x < 1 <-> ( 1 - x ) e. RR+ ) )
10	7, 3, 9	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x < 1 <-> ( 1 - x ) e. RR+ ) )
11	8, 10	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( 1 - x ) e. RR+ )
12	7, 11	rerpdivcld 11279	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. RR )
13	6	simp2bi 1012	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> 0 <_ x )
14	7, 11, 13	divge0d 11288	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> 0 <_ ( x / ( 1 - x ) ) )
15		elrege0 11623	. . . . 5 |- ( ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( x / ( 1 - x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( x / ( 1 - x ) ) ) )
16	12, 14, 15	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
17	16	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 [,) 1 ) ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
18		elrege0 11623	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
19	18	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. RR )
20		readdcl 9571	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 1 + y ) e. RR )
21	3, 19, 20	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. RR )
22	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 e. RR )
23	18	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ y )
24	19	ltp1d 10472	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( y + 1 ) )
25		ax-1cn 9546	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
26	19	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. CC )
27		addcom 9761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 1 + y ) = ( y + 1 ) )
28	25, 26, 27	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) = ( y + 1 ) )
29	24, 28	breqtrrd 4473	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( 1 + y ) )
30	22, 19, 21, 23, 29	lelttrd 9735	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 < ( 1 + y ) )
31	21, 30	elrpd 11250	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. RR+ )
32	19, 31	rerpdivcld 11279	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. RR )
33		divge0 10407	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. RR /\ 0 <_ y ) /\ ( ( 1 + y ) e. RR /\ 0 < ( 1 + y ) ) ) -> 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) )
34	19, 23, 21, 30, 33	syl22anc 1229	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) )
35	21	recnd 9618	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( 1 + y ) e. CC )
36	35	mulid1d 9609	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( 1 + y ) x. 1 ) = ( 1 + y ) )
37	29, 36	breqtrrd 4473	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) )
38	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> 1 e. RR )
39		ltdivmul 10413	. . . . . . 7 |- ( ( y e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( 1 + y ) e. RR /\ 0 < ( 1 + y ) ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) < 1 <-> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) ) )
40	19, 38, 21, 30, 39	syl112anc 1232	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) < 1 <-> y < ( ( 1 + y ) x. 1 ) ) )
41	37, 40	mpbird 232	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) < 1 )
42		elico2 11584	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) ) )
43	2, 4, 42	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) )
44	32, 34, 41, 43	syl3anbrc 1180	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
45	44	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
46	26	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> y e. CC )
47	7	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. RR )
48	47	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. CC )
49	48, 46	mulcld 9612	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
50	46, 49, 48	subadd2d 9945	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y - ( x x. y ) ) = x <-> ( x + ( x x. y ) ) = y ) )
51	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
52	51, 48, 46	subdird 10009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - x ) x. y ) = ( ( 1 x. y ) - ( x x. y ) ) )
53	46	mulid2d 9610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
54	53	oveq1d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 x. y ) - ( x x. y ) ) = ( y - ( x x. y ) ) )
55	52, 54	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( 1 - x ) x. y ) = ( y - ( x x. y ) ) )
56	55	eqeq1d 2469	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( ( 1 - x ) x. y ) = x <-> ( y - ( x x. y ) ) = x ) )
57	48, 51, 46	adddid 9616	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. ( 1 + y ) ) = ( ( x x. 1 ) + ( x x. y ) ) )
58	48	mulid1d 9609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
59	58	oveq1d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. 1 ) + ( x x. y ) ) = ( x + ( x x. y ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. ( 1 + y ) ) = ( x + ( x x. y ) ) )
61	60	eqeq1d 2469	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. ( 1 + y ) ) = y <-> ( x + ( x x. y ) ) = y ) )
62	50, 56, 61	3bitr4rd 286	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x x. ( 1 + y ) ) = y <-> ( ( 1 - x ) x. y ) = x ) )
63		eqcom 2476	. . . . . . 7 |- ( y = ( x x. ( 1 + y ) ) <-> ( x x. ( 1 + y ) ) = y )
64		eqcom 2476	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - x ) x. y ) <-> ( ( 1 - x ) x. y ) = x )
65	62, 63, 64	3bitr4g 288	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( y = ( x x. ( 1 + y ) ) <-> x = ( ( 1 - x ) x. y ) ) )
66	35	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) e. CC )
67	31	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) e. RR+ )
68	67	rpne0d 11257	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 + y ) =/= 0 )
69	46, 48, 66, 68	divmul3d 10350	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) = x <-> y = ( x x. ( 1 + y ) ) ) )
70	11	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) e. RR+ )
71	70	rpcnd 11254	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) e. CC )
72	70	rpne0d 11257	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( 1 - x ) =/= 0 )
73	48, 46, 71, 72	divmul2d 10349	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x / ( 1 - x ) ) = y <-> x = ( ( 1 - x ) x. y ) ) )
74	65, 69, 73	3bitr4d 285	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) = x <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y ) )
75		eqcom 2476	. . . . 5 |- ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> ( y / ( 1 + y ) ) = x )
76		eqcom 2476	. . . . 5 |- ( y = ( x / ( 1 - x ) ) <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y )
77	74, 75, 76	3bitr4g 288	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
78	77	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
79	1, 17, 45, 78	f1ocnv2d 6508	. 2 |- ( T. -> ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) ) )
80	79	trud 1388	1 |- ( F : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   T. wtru 1380   e. wcel 1767   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   -1-1-onto->wf1o 5585  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   RR+crp 11216   [,)cico 11527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-rp 11217  df-ico 11531

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  21175  iccpnfcnv  21176