MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcld Structured version   Unicode version

Theorem icopnfcld 20465
Description: Right-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
icopnfcld  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )

Proof of Theorem icopnfcld
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11197 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  -> -oo  e.  RR* )
3 rexr 9532 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
4 pnfxr 11195 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  -> +oo  e.  RR* )
6 mnflt 11207 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  -> -oo  <  A )
7 ltpnf 11205 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  < +oo )
8 df-ioo 11407 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
9 df-ico 11409 . . . . . 6  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
10 xrlenlt 9545 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <_  w  <->  -.  w  <  A ) )
11 xrlttr 11220 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <  A  /\  A  < +oo )  ->  w  < +oo ) )
12 xrltletr 11234 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  A  /\  A  <_  w )  -> -oo  <  w ) )
138, 9, 10, 8, 11, 12ixxun 11419 . . . . 5  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  < +oo ) )  -> 
( ( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo ) )
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1227 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
15 ioomax 11473 . . . 4  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
1614, 15syl6eq 2508 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  RR )
17 ioossre 11460 . . . 4  |-  ( -oo (,) A )  C_  RR
188, 9, 10ixxdisj 11418 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo (,) A )  i^i  ( A [,) +oo ) )  =  (/) )
192, 3, 5, 18syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -oo (,) A )  i^i  ( A [,) +oo ) )  =  (/) )
20 uneqdifeq 3867 . . . 4  |-  ( ( ( -oo (,) A
)  C_  RR  /\  (
( -oo (,) A )  i^i  ( A [,) +oo ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( -oo (,) A ) )  =  ( A [,) +oo ) ) )
2117, 19, 20sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( -oo (,) A
) )  =  ( A [,) +oo )
) )
2216, 21mpbid 210 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( RR  \  ( -oo (,) A ) )  =  ( A [,) +oo ) )
23 retop 20458 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
24 iooretop 20463 . . 3  |-  ( -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
25 uniretop 20459 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2625opncld 18755 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( RR  \  ( -oo (,) A
) )  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
2723, 24, 26mp2an 672 . 2  |-  ( RR 
\  ( -oo (,) A ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
2822, 27syl6eqelr 2548 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3425    u. cun 3426    i^i cin 3427    C_ wss 3428   (/)c0 3737   class class class wbr 4392   ran crn 4941   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   +oocpnf 9518   -oocmnf 9519   RR*cxr 9520    < clt 9521    <_ cle 9522   (,)cioo 11403   [,)cico 11405   topGenctg 14480   Topctop 18616   Clsdccld 18738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-q 11057  df-ioo 11407  df-ico 11409  df-topgen 14486  df-top 18621  df-bases 18623  df-cld 18741
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem3  26823  orvcgteel  26986  dvasin  28620  dvacos  28621  dvreasin  28622  dvreacos  28623  rfcnpre3  29895
  Copyright terms: Public domain W3C validator