MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcld Structured version   Unicode version

Theorem icopnfcld 21401
Description: Right-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
icopnfcld  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )

Proof of Theorem icopnfcld
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11348 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  -> -oo  e.  RR* )
3 rexr 9656 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
4 pnfxr 11346 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  -> +oo  e.  RR* )
6 mnflt 11358 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  -> -oo  <  A )
7 ltpnf 11356 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  < +oo )
8 df-ioo 11558 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
9 df-ico 11560 . . . . . 6  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
10 xrlenlt 9669 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <_  w  <->  -.  w  <  A ) )
11 xrlttr 11371 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <  A  /\  A  < +oo )  ->  w  < +oo ) )
12 xrltletr 11385 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  A  /\  A  <_  w )  -> -oo  <  w ) )
138, 9, 10, 8, 11, 12ixxun 11570 . . . . 5  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  < +oo ) )  -> 
( ( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo ) )
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1236 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
15 ioomax 11624 . . . 4  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
1614, 15syl6eq 2514 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  RR )
17 ioossre 11611 . . . 4  |-  ( -oo (,) A )  C_  RR
188, 9, 10ixxdisj 11569 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo (,) A )  i^i  ( A [,) +oo ) )  =  (/) )
192, 3, 5, 18syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -oo (,) A )  i^i  ( A [,) +oo ) )  =  (/) )
20 uneqdifeq 3919 . . . 4  |-  ( ( ( -oo (,) A
)  C_  RR  /\  (
( -oo (,) A )  i^i  ( A [,) +oo ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( -oo (,) A ) )  =  ( A [,) +oo ) ) )
2117, 19, 20sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( -oo (,) A
) )  =  ( A [,) +oo )
) )
2216, 21mpbid 210 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( RR  \  ( -oo (,) A ) )  =  ( A [,) +oo ) )
23 retop 21394 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
24 iooretop 21399 . . 3  |-  ( -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
25 uniretop 21395 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2625opncld 19661 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( RR  \  ( -oo (,) A
) )  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
2723, 24, 26mp2an 672 . 2  |-  ( RR 
\  ( -oo (,) A ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
2822, 27syl6eqelr 2554 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   topGenctg 14855   Topctop 19521   Clsdccld 19644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-cld 19647
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem3  28416  orvcgteel  28603  dvasin  30308  dvacos  30309  dvreasin  30310  dvreacos  30311  rfcnpre3  31611
  Copyright terms: Public domain W3C validator