MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcld Structured version   Unicode version

Theorem icopnfcld 21005
Description: Right-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
icopnfcld  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )

Proof of Theorem icopnfcld
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11314 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  -> -oo  e.  RR* )
3 rexr 9630 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
4 pnfxr 11312 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  -> +oo  e.  RR* )
6 mnflt 11324 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  -> -oo  <  A )
7 ltpnf 11322 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  < +oo )
8 df-ioo 11524 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
9 df-ico 11526 . . . . . 6  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
10 xrlenlt 9643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <_  w  <->  -.  w  <  A ) )
11 xrlttr 11337 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
w  <  A  /\  A  < +oo )  ->  w  < +oo ) )
12 xrltletr 11351 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  A  /\  A  <_  w )  -> -oo  <  w ) )
138, 9, 10, 8, 11, 12ixxun 11536 . . . . 5  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  < +oo ) )  -> 
( ( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo ) )
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1231 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
15 ioomax 11590 . . . 4  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
1614, 15syl6eq 2519 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  RR )
17 ioossre 11577 . . . 4  |-  ( -oo (,) A )  C_  RR
188, 9, 10ixxdisj 11535 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo (,) A )  i^i  ( A [,) +oo ) )  =  (/) )
192, 3, 5, 18syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( -oo (,) A )  i^i  ( A [,) +oo ) )  =  (/) )
20 uneqdifeq 3910 . . . 4  |-  ( ( ( -oo (,) A
)  C_  RR  /\  (
( -oo (,) A )  i^i  ( A [,) +oo ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( -oo (,) A ) )  =  ( A [,) +oo ) ) )
2117, 19, 20sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( -oo (,) A )  u.  ( A [,) +oo ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( -oo (,) A
) )  =  ( A [,) +oo )
) )
2216, 21mpbid 210 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( RR  \  ( -oo (,) A ) )  =  ( A [,) +oo ) )
23 retop 20998 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
24 iooretop 21003 . . 3  |-  ( -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
25 uniretop 20999 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2625opncld 19295 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( RR  \  ( -oo (,) A
) )  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
2723, 24, 26mp2an 672 . 2  |-  ( RR 
\  ( -oo (,) A ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
2822, 27syl6eqelr 2559 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3780   class class class wbr 4442   ran crn 4995   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482   +oocpnf 9616   -oocmnf 9617   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620   (,)cioo 11520   [,)cico 11522   topGenctg 14684   Topctop 19156   Clsdccld 19278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-topgen 14690  df-top 19161  df-bases 19163  df-cld 19281
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem3  27871  orvcgteel  28034  dvasin  29669  dvacos  29670  dvreasin  29671  dvreacos  29672  rfcnpre3  30943
  Copyright terms: Public domain W3C validator