Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icodiamlt Structured version   Unicode version

Theorem icodiamlt 29310
Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
icodiamlt  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  < 
( B  -  A
) )

Proof of Theorem icodiamlt
StepHypRef Expression
1 rexr 9541 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
2 elico2 11471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( C  e.  ( A [,) B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <  B ) ) )
3 elico2 11471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( D  e.  ( A [,) B )  <-> 
( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  <  B ) ) )
42, 3anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  <->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
54biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
61, 5sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
7 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  B  e.  RR )
87recnd 9524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  B  e.  CC )
9 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  e.  RR )
109recnd 9524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  e.  CC )
118, 10negsubdi2d 9847 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  -u ( B  -  A )  =  ( A  -  B ) )
129, 7resubcld 9888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
13 simprl1 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  C  e.  RR )
1413, 7resubcld 9888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
15 simprr1 1036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  D  e.  RR )
1613, 15resubcld 9888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  e.  RR )
17 simprl2 1034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  <_  C
)
189, 13, 7, 17lesub1dd 10067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  <_  ( C  -  B )
)
19 simprr3 1038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  D  <  B
)
2015, 7, 13, 19ltsub2dd 10064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  B )  <  ( C  -  D )
)
2112, 14, 16, 18, 20lelttrd 9641 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  <  ( C  -  D )
)
2211, 21eqbrtrd 4421 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  -u ( B  -  A )  <  ( C  -  D )
)
237, 15resubcld 9888 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  D )  e.  RR )
247, 9resubcld 9888 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
25 simprl3 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  C  <  B
)
2613, 7, 15, 25ltsub1dd 10063 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  <  ( B  -  D )
)
27 simprr2 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  <_  D
)
289, 15, 7, 27lesub2dd 10068 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  D )  <_  ( B  -  A )
)
2916, 23, 24, 26, 28ltletrd 9643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  <  ( B  -  A )
)
3016, 24absltd 13035 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( ( abs `  ( C  -  D
) )  <  ( B  -  A )  <->  (
-u ( B  -  A )  <  ( C  -  D )  /\  ( C  -  D
)  <  ( B  -  A ) ) ) )
3122, 29, 30mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  ( B  -  A ) )
3231ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) )  -> 
( abs `  ( C  -  D )
)  <  ( B  -  A ) ) )
336, 32syld 44 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  ( B  -  A )
) )
3433imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  < 
( B  -  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   RR*cxr 9529    < clt 9530    <_ cle 9531    - cmin 9707   -ucneg 9708   [,)cico 11414   abscabs 12842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-ico 11418  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844
This theorem is referenced by:  irrapxlem2  29313
  Copyright terms: Public domain W3C validator