Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icocncflimc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem icocncflimc 37761
 Description: Limit at the lower bound, of a continuous function defined on a left closed right open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icocncflimc.a
icocncflimc.b
icocncflimc.altb
icocncflimc.f
Assertion
Ref Expression
icocncflimc lim

Proof of Theorem icocncflimc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icocncflimc.f . . 3
2 icocncflimc.a . . . . 5
32rexrd 9687 . . . 4
4 icocncflimc.b . . . 4
52leidd 10177 . . . 4
6 icocncflimc.altb . . . 4
73, 4, 3, 5, 6elicod 11682 . . 3
81, 7cnlimci 22837 . 2 lim
9 cncfrss 21916 . . . . . . . 8
101, 9syl 17 . . . . . . 7
11 ssid 3450 . . . . . . 7
12 eqid 2450 . . . . . . . 8 fld fld
13 eqid 2450 . . . . . . . 8 fldt fldt
14 eqid 2450 . . . . . . . 8 fldt fldt
1512, 13, 14cncfcn 21934 . . . . . . 7 fldt fldt
1610, 11, 15sylancl 667 . . . . . 6 fldt fldt
171, 16eleqtrd 2530 . . . . 5 fldt fldt
1812cnfldtopon 21796 . . . . . . . 8 fld TopOn
1918a1i 11 . . . . . . 7 fld TopOn
20 resttopon 20170 . . . . . . 7 fld TopOn fldt TopOn
2119, 10, 20syl2anc 666 . . . . . 6 fldt TopOn
2212cnfldtop 21797 . . . . . . . 8 fld
23 unicntop 37365 . . . . . . . . 9 fld
2423restid 15325 . . . . . . . 8 fld fldt fld
2522, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 fldt fld
2625cnfldtopon 21796 . . . . . 6 fldt TopOn
27 cncnp 20289 . . . . . 6 fldt TopOn fldt TopOn fldt fldt fldt fldt
2821, 26, 27sylancl 667 . . . . 5 fldt fldt fldt fldt
2917, 28mpbid 214 . . . 4 fldt fldt
3029simpld 461 . . 3
31 ioossico 11720 . . . 4
3231a1i 11 . . 3
33 eqid 2450 . . 3 fldt fldt
342recnd 9666 . . . . . . 7
3523ntrtop 20079 . . . . . . . . 9 fld fld
3622, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 fld
37 undif 3847 . . . . . . . . . . 11
3810, 37sylib 200 . . . . . . . . . 10
3938eqcomd 2456 . . . . . . . . 9
4039fveq2d 5867 . . . . . . . 8 fld fld
4136, 40syl5eqr 2498 . . . . . . 7 fld
4234, 41eleqtrd 2530 . . . . . 6 fld
4342, 7elind 3617 . . . . 5 fld
4422a1i 11 . . . . . 6 fld
45 ssid 3450 . . . . . . 7
4645a1i 11 . . . . . 6
4723, 13restntr 20191 . . . . . 6 fld fldt fld
4844, 10, 46, 47syl3anc 1267 . . . . 5 fldt fld
4943, 48eleqtrrd 2531 . . . 4 fldt
507snssd 4116 . . . . . . . . 9
51 ssequn2 3606 . . . . . . . . 9
5250, 51sylib 200 . . . . . . . 8
5352eqcomd 2456 . . . . . . 7
5453oveq2d 6304 . . . . . 6 fldt fldt
5554fveq2d 5867 . . . . 5 fldt fldt
56 snunioo1 37607 . . . . . . 7
573, 4, 6, 56syl3anc 1267 . . . . . 6
5857eqcomd 2456 . . . . 5
5955, 58fveq12d 5869 . . . 4 fldt fldt
6049, 59eleqtrd 2530 . . 3 fldt
6130, 32, 10, 12, 33, 60limcres 22834 . 2 lim lim
628, 61eleqtrrd 2531 1 lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736   cdif 3400   cun 3401   cin 3402   wss 3403  csn 3967   class class class wbr 4401   cres 4835  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  cc 9534  cr 9535  cxr 9671   clt 9672  cioo 11632  cico 11634   ↾t crest 15312  ctopn 15313  ℂfldccnfld 18963  ctop 19910  TopOnctopon 19911  cnt 20025   ccn 20233   ccnp 20234  ccncf 21901   lim climc 22810 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-rest 15314  df-topn 15315  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-ntr 20028  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-xms 21328  df-ms 21329  df-cncf 21903  df-limc 22814 This theorem is referenced by:  fourierdlem46  38010
 Copyright terms: Public domain W3C validator