MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccvolcl Structured version   Unicode version

Theorem iccvolcl 21705
Description: A closed real interval has finite volume. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccvolcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  e.  RR )

Proof of Theorem iccvolcl
StepHypRef Expression
1 iccmbl 21704 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  dom  vol )
2 mblvol 21669 . . 3  |-  ( ( A [,] B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol* `  ( A [,] B
) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol* `  ( A [,] B
) ) )
4 rexr 9628 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
5 rexr 9628 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
6 icc0 11566 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
74, 5, 6syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
87biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
9 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( ( A [,] B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( vol* `  (/) ) )
10 ovol0 21632 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
119, 10syl6eq 2517 . . . . 5  |-  ( ( A [,] B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  =  0 )
12 0re 9585 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1311, 12syl6eqel 2556 . . . 4  |-  ( ( A [,] B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
148, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
15 ovolicc 21662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )
16153expa 1191 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A
) )
17 resubcl 9872 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1817ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
2016, 19eqeltrd 2548 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
21 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
22 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2314, 20, 21, 22ltlecasei 9681 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
243, 23eqeltrd 2548 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   (/)c0 3778   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   [,]cicc 11521   vol*covol 21602   volcvol 21603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cmp 19646  df-ovol 21604  df-vol 21605
This theorem is referenced by:  volcn  21743  mbfi1fseqlem4  21853  cniccibl  21975  ftc1lem4  22168  cnicciblnc  29514  ftc1cnnclem  29516  fourierdlem87  31313
  Copyright terms: Public domain W3C validator