Theorem iccst 15875

Description: The subspace topology induced by a closed interval.

Hypotheses

Ref	Expression
iccst.1	|- R = (topGen` ran (,))
iccst.2	|- J = (Open` ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))

Assertion

Ref	Expression
iccst	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> J = (subSp` <.(A[,]B), R>.))

Proof of Theorem iccst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccst.2	. . 3 |- J = (Open` ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
2	1	a1i 8	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> J = (Open` ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))))
3		iccssre 7565	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A[,]B) C_ RR)
4		xpss12 4089	. . . . . 6 |- (((A[,]B) C_ RR /\ (A[,]B) C_ RR) -> ((A[,]B) X. (A[,]B)) C_ (RR X. RR))
5	4	anidms 480	. . . . 5 |- ((A[,]B) C_ RR -> ((A[,]B) X. (A[,]B)) C_ (RR X. RR))
6		resabs1 4244	. . . . 5 |- (((A[,]B) X. (A[,]B)) C_ (RR X. RR) -> (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) = ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
7	3, 5, 6	3syl 24	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) = ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
8	7	eqcomd 1889	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) = (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
9	8	fveq2d 4685	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (Open` ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))) = (Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))))
10		eqid 1884	. . . . 5 |- (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) = (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))
11		eqid 1884	. . . . . 6 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
12	11	remetba 9187	. . . . 5 |- RR = dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
13		iccst.1	. . . . . 6 |- R = (topGen` ran (,))
14		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) = (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))
15	11, 14	tgioo 9193	. . . . . 6 |- (topGen` ran (,)) = (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))
16	13, 15	eqtri 1908	. . . . 5 |- R = (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))
17		eqid 1884	. . . . 5 |- (Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))) = (Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
18	10, 12, 16, 17	subtopmet 10256	. . . 4 |- ((((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ (A[,]B) C_ RR) -> (subSp` <.(A[,]B), R>.) = (Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))))
19	18	eqcomd 1889	. . 3 |- ((((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ (A[,]B) C_ RR) -> (Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))) = (subSp` <.(A[,]B), R>.))
20	11	remet 9188	. . 3 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met
21	19, 20, 3	sylancr 526	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))) = (subSp` <.(A[,]B), R>.))
22	2, 9, 21	3eqtrd 1929	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> J = (subSp` <.(A[,]B), R>.))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  <.cop 3046   X. cxp 3984  ran crn 3987   |` cres 3988   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385   - cmin 6445  (,)cioo 7524  [,]cicc 7527  abscabs 8000  topGenctg 8860  Metcme 9066  Opencopn 9069  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  icoopnst 15876  iocopnst 15877

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-ioo 7528  df-icc 7531  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain