Theorem iccssred 37687

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	|- ( ph -> A e. RR )
iccssred.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
iccssred	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		iccssred.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		iccssre 11750	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 671	1 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1898   C_ wss 3416  (class class class)co 6320   RRcr 9569   [,]cicc 11672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-icc 11676

This theorem is referenced by:  iccshift  37704  eliccelioc  37707  limciccioolb  37787  limcicciooub  37803  icccncfext  37851  cncfiooicclem1  37857  dvmptresicc  37877  itgcoscmulx  37932  ibliooicc  37934  itgsincmulx  37937  itgsubsticclem  37938  itgiccshift  37943  itgperiod  37944  itgsbtaddcnst  37945  dirkeritg  38065  fourierdlem20  38090  fourierdlem25  38095  fourierdlem39  38110  fourierdlem40  38111  fourierdlem42  38113  fourierdlem42OLD  38114  fourierdlem46  38117  fourierdlem50  38121  fourierdlem51  38122  fourierdlem52  38123  fourierdlem54  38125  fourierdlem58  38129  fourierdlem64  38135  fourierdlem68  38139  fourierdlem73  38144  fourierdlem74  38145  fourierdlem75  38146  fourierdlem76  38147  fourierdlem78  38149  fourierdlem79  38150  fourierdlem80  38151  fourierdlem81  38152  fourierdlem84  38155  fourierdlem88  38159  fourierdlem89  38160  fourierdlem90  38161  fourierdlem91  38162  fourierdlem100  38171  fourierdlem103  38174  fourierdlem104  38175  fourierdlem107  38178  fourierdlem111  38182  fourierdlem112  38183  etransclem18  38218  etransclem46  38246  hoidmv1lelem1  38520  hoidmv1lelem3  38522  hoidmvlelem1  38524  hoidmvlelem2  38525  hoidmvlelem4  38527