Theorem iccssred 37551

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccssred.1	|- ( ph -> A e. RR )
iccssred.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
iccssred	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )

Proof of Theorem iccssred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		iccssred.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		iccssre 11723	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 665	1 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1872   C_ wss 3436  (class class class)co 6305   RRcr 9545   [,]cicc 11645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-icc 11649

This theorem is referenced by:  iccshift  37568  eliccelioc  37571  limciccioolb  37641  limcicciooub  37657  icccncfext  37705  cncfiooicclem1  37711  dvmptresicc  37731  itgcoscmulx  37786  ibliooicc  37788  itgsincmulx  37791  itgsubsticclem  37792  itgiccshift  37797  itgperiod  37798  itgsbtaddcnst  37799  dirkeritg  37904  fourierdlem20  37929  fourierdlem25  37934  fourierdlem39  37949  fourierdlem40  37950  fourierdlem42  37952  fourierdlem42OLD  37953  fourierdlem46  37956  fourierdlem50  37960  fourierdlem51  37961  fourierdlem52  37962  fourierdlem54  37964  fourierdlem58  37968  fourierdlem64  37974  fourierdlem68  37978  fourierdlem73  37983  fourierdlem74  37984  fourierdlem75  37985  fourierdlem76  37986  fourierdlem78  37988  fourierdlem79  37989  fourierdlem80  37990  fourierdlem81  37991  fourierdlem84  37994  fourierdlem88  37998  fourierdlem89  37999  fourierdlem90  38000  fourierdlem91  38001  fourierdlem100  38010  fourierdlem103  38013  fourierdlem104  38014  fourierdlem107  38017  fourierdlem111  38021  fourierdlem112  38022  etransclem18  38057  etransclem46  38085  hoidmv1lelem1  38317  hoidmv1lelem3  38319  hoidmvlelem1  38321  hoidmvlelem2  38322  hoidmvlelem4  38324