MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssre Unicode version

Theorem iccssre 10948
Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
iccssre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )

Proof of Theorem iccssre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc2 10931 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
21biimp3a 1283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
32simp1d 969 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1155 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3314 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721    C_ wss 3280   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945    <_ cle 9077   [,]cicc 10875
This theorem is referenced by:  iccsupr  10953  iccsplit  10985  iccshftri  10987  iccshftli  10989  iccdili  10991  icccntri  10993  unitssre  10998  icccld  18754  iccntr  18805  icccmplem2  18807  icccmplem3  18808  icccmp  18809  retopcon  18813  iccconn  18814  cnmpt2pc  18906  iihalf1cn  18910  iihalf2cn  18912  icoopnst  18917  iocopnst  18918  icchmeo  18919  xrhmeo  18924  icccvx  18928  cnheiborlem  18932  htpycc  18958  pcocn  18995  pcohtpylem  18997  pcopt  19000  pcopt2  19001  pcoass  19002  pcorevlem  19004  ivthlem2  19302  ivthlem3  19303  ivthicc  19308  evthicc  19309  ovolficcss  19319  ovolicc1  19365  ovolicc2  19371  ovolicc  19372  iccmbl  19413  ovolioo  19415  dyadss  19439  volcn  19451  volivth  19452  vitalilem2  19454  vitalilem4  19456  mbfimaicc  19478  mbfi1fseqlem4  19563  itgioo  19660  rollelem  19826  rolle  19827  cmvth  19828  mvth  19829  dvlip  19830  c1liplem1  19833  c1lip1  19834  c1lip3  19836  dvgt0lem1  19839  dvgt0lem2  19840  dvgt0  19841  dvlt0  19842  dvge0  19843  dvle  19844  dvivthlem1  19845  dvivth  19847  dvne0  19848  lhop1lem  19850  dvcvx  19857  dvfsumle  19858  dvfsumge  19859  dvfsumabs  19860  ftc1lem1  19872  ftc1a  19874  ftc1lem4  19876  ftc1lem5  19877  ftc1lem6  19878  ftc1  19879  ftc1cn  19880  ftc2  19881  ftc2ditglem  19882  ftc2ditg  19883  itgparts  19884  itgsubstlem  19885  aalioulem3  20204  reeff1olem  20315  efcvx  20318  pilem3  20322  pige3  20378  sinord  20389  recosf1o  20390  resinf1o  20391  efif1olem4  20400  asinrecl  20695  acosrecl  20696  emre  20797  pntlem3  21256  iccscon  24888  iccllyscon  24890  cvmliftlem10  24934  mblfinlem  26143  ftc1cnnclem  26177  ftc1cnnc  26178  areacirclem4  26183  areacirclem1  26184  areacirclem5  26185  areacirc  26187  ivthALT  26228  iccbnd  26439  icccmpALT  26440  lhe4.4ex1a  27414  itgsin0pilem1  27611  ibliccsinexp  27612  iblioosinexp  27614  itgsinexplem1  27615  itgsinexp  27616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-icc 10879
  Copyright terms: Public domain W3C validator