MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssre Structured version   Unicode version

Theorem iccssre 11398
Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
iccssre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )

Proof of Theorem iccssre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc2 11381 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
21biimp3a 1318 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
32simp1d 1000 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1189 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3383 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756    C_ wss 3349   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302    <_ cle 9440   [,]cicc 11324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-icc 11328
This theorem is referenced by:  iccsupr  11403  iccsplit  11439  iccshftri  11441  iccshftli  11443  iccdili  11445  icccntri  11447  unitssre  11453  supicc  11454  supiccub  11455  supicclub  11456  icccld  20368  iccntr  20420  icccmplem2  20422  icccmplem3  20423  icccmp  20424  retopcon  20428  iccconn  20429  cnmpt2pc  20522  iihalf1cn  20526  iihalf2cn  20528  icoopnst  20533  iocopnst  20534  icchmeo  20535  xrhmeo  20540  icccvx  20544  cnheiborlem  20548  htpycc  20574  pcocn  20611  pcohtpylem  20613  pcopt  20616  pcopt2  20617  pcoass  20618  pcorevlem  20620  ivthlem2  20958  ivthlem3  20959  ivthicc  20964  evthicc  20965  ovolficcss  20975  ovolicc1  21021  ovolicc2  21027  ovolicc  21028  iccmbl  21069  ovolioo  21071  dyadss  21096  volcn  21108  volivth  21109  vitalilem2  21111  vitalilem4  21113  mbfimaicc  21133  mbfi1fseqlem4  21218  itgioo  21315  rollelem  21483  rolle  21484  cmvth  21485  mvth  21486  dvlip  21487  c1liplem1  21490  c1lip1  21491  c1lip3  21493  dvgt0lem1  21496  dvgt0lem2  21497  dvgt0  21498  dvlt0  21499  dvge0  21500  dvle  21501  dvivthlem1  21502  dvivth  21504  dvne0  21505  lhop1lem  21507  dvcvx  21514  dvfsumle  21515  dvfsumge  21516  dvfsumabs  21517  ftc1lem1  21529  ftc1a  21531  ftc1lem4  21533  ftc1lem5  21534  ftc1lem6  21535  ftc1  21536  ftc1cn  21537  ftc2  21538  ftc2ditglem  21539  ftc2ditg  21540  itgparts  21541  itgsubstlem  21542  aalioulem3  21822  reeff1olem  21933  efcvx  21936  pilem3  21940  pige3  22001  sinord  22012  recosf1o  22013  resinf1o  22014  efif1olem4  22023  asinrecl  22319  acosrecl  22320  emre  22421  pntlem3  22880  ttgcontlem1  23153  signsply0  26974  iccscon  27159  iccllyscon  27161  cvmliftlem10  27205  sin2h  28448  cos2h  28449  mblfinlem2  28455  ftc1cnnclem  28491  ftc1cnnc  28492  ftc1anclem7  28499  ftc1anc  28501  ftc2nc  28502  areacirclem2  28511  areacirclem3  28512  areacirclem4  28513  areacirc  28515  ivthALT  28556  iccbnd  28765  icccmpALT  28766  itgpowd  29616  arearect  29617  areaquad  29618  lhe4.4ex1a  29629  itgsin0pilem1  29816  ibliccsinexp  29817  iblioosinexp  29819  itgsinexplem1  29820  itgsinexp  29821
  Copyright terms: Public domain W3C validator