MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssre Structured version   Unicode version

Theorem iccssre 11364
Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
iccssre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )

Proof of Theorem iccssre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc2 11347 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
21biimp3a 1311 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
32simp1d 993 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3350 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    e. wcel 1755    C_ wss 3316   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9268    <_ cle 9406   [,]cicc 11290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-icc 11294
This theorem is referenced by:  iccsupr  11369  iccsplit  11404  iccshftri  11406  iccshftli  11408  iccdili  11410  icccntri  11412  unitssre  11418  supicc  11419  supiccub  11420  supicclub  11421  icccld  20187  iccntr  20239  icccmplem2  20241  icccmplem3  20242  icccmp  20243  retopcon  20247  iccconn  20248  cnmpt2pc  20341  iihalf1cn  20345  iihalf2cn  20347  icoopnst  20352  iocopnst  20353  icchmeo  20354  xrhmeo  20359  icccvx  20363  cnheiborlem  20367  htpycc  20393  pcocn  20430  pcohtpylem  20432  pcopt  20435  pcopt2  20436  pcoass  20437  pcorevlem  20439  ivthlem2  20777  ivthlem3  20778  ivthicc  20783  evthicc  20784  ovolficcss  20794  ovolicc1  20840  ovolicc2  20846  ovolicc  20847  iccmbl  20888  ovolioo  20890  dyadss  20915  volcn  20927  volivth  20928  vitalilem2  20930  vitalilem4  20932  mbfimaicc  20952  mbfi1fseqlem4  21037  itgioo  21134  rollelem  21302  rolle  21303  cmvth  21304  mvth  21305  dvlip  21306  c1liplem1  21309  c1lip1  21310  c1lip3  21312  dvgt0lem1  21315  dvgt0lem2  21316  dvgt0  21317  dvlt0  21318  dvge0  21319  dvle  21320  dvivthlem1  21321  dvivth  21323  dvne0  21324  lhop1lem  21326  dvcvx  21333  dvfsumle  21334  dvfsumge  21335  dvfsumabs  21336  ftc1lem1  21348  ftc1a  21350  ftc1lem4  21352  ftc1lem5  21353  ftc1lem6  21354  ftc1  21355  ftc1cn  21356  ftc2  21357  ftc2ditglem  21358  ftc2ditg  21359  itgparts  21360  itgsubstlem  21361  aalioulem3  21684  reeff1olem  21795  efcvx  21798  pilem3  21802  pige3  21863  sinord  21874  recosf1o  21875  resinf1o  21876  efif1olem4  21885  asinrecl  22181  acosrecl  22182  emre  22283  pntlem3  22742  ttgcontlem1  22953  signsply0  26799  iccscon  26984  iccllyscon  26986  cvmliftlem10  27030  sin2h  28263  cos2h  28264  mblfinlem2  28270  ftc1cnnclem  28306  ftc1cnnc  28307  ftc1anclem7  28314  ftc1anc  28316  ftc2nc  28317  areacirclem2  28326  areacirclem3  28327  areacirclem4  28328  areacirc  28330  ivthALT  28371  iccbnd  28580  icccmpALT  28581  itgpowd  29432  arearect  29433  areaquad  29434  lhe4.4ex1a  29445  itgsin0pilem1  29633  ibliccsinexp  29634  iblioosinexp  29636  itgsinexplem1  29637  itgsinexp  29638
  Copyright terms: Public domain W3C validator