MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssre Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iccssre 11716
Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
iccssre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )

Proof of Theorem iccssre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc2 11699 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
21biimp3a 1369 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
32simp1d 1020 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1210 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3438 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    e. wcel 1887    C_ wss 3404   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538    <_ cle 9676   [,]cicc 11638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-icc 11642
This theorem is referenced by:  iccsupr  11727  iccsplit  11765  iccshftri  11767  iccshftli  11769  iccdili  11771  icccntri  11773  unitssre  11779  supicc  11780  supiccub  11781  supicclub  11782  icccld  21787  iccntr  21839  icccmplem2  21841  icccmplem3  21842  icccmp  21843  retopcon  21847  iccconn  21848  cnmpt2pc  21956  iihalf1cn  21960  iihalf2cn  21962  icoopnst  21967  iocopnst  21968  icchmeo  21969  xrhmeo  21974  icccvx  21978  cnheiborlem  21982  htpycc  22011  pcocn  22048  pcohtpylem  22050  pcopt  22053  pcopt2  22054  pcoass  22055  pcorevlem  22057  ivthlem2  22403  ivthlem3  22404  ivthicc  22409  evthicc  22410  ovolficcss  22422  ovolicc1  22469  ovolicc2  22476  ovolicc  22477  iccmbl  22519  ovolioo  22521  dyadss  22552  volcn  22564  volivth  22565  vitalilem2  22567  vitalilem4  22569  mbfimaicc  22589  mbfi1fseqlem4  22676  itgioo  22773  rollelem  22941  rolle  22942  cmvth  22943  mvth  22944  dvlip  22945  c1liplem1  22948  c1lip1  22949  c1lip3  22951  dvgt0lem1  22954  dvgt0lem2  22955  dvgt0  22956  dvlt0  22957  dvge0  22958  dvle  22959  dvivthlem1  22960  dvivth  22962  dvne0  22963  lhop1lem  22965  dvcvx  22972  dvfsumle  22973  dvfsumge  22974  dvfsumabs  22975  ftc1lem1  22987  ftc1a  22989  ftc1lem4  22991  ftc1lem5  22992  ftc1lem6  22993  ftc1  22994  ftc1cn  22995  ftc2  22996  ftc2ditglem  22997  ftc2ditg  22998  itgparts  22999  itgsubstlem  23000  aalioulem3  23290  reeff1olem  23401  efcvx  23404  pilem3  23409  pilem3OLD  23410  pige3  23472  sinord  23483  recosf1o  23484  resinf1o  23485  efif1olem4  23494  asinrecl  23828  acosrecl  23829  emre  23931  pntlem3  24447  ttgcontlem1  24915  signsply0  29440  iccscon  29971  iccllyscon  29973  cvmliftlem10  30017  ivthALT  30991  sin2h  31935  cos2h  31936  mblfinlem2  31978  ftc1cnnclem  32015  ftc1cnnc  32016  ftc1anclem7  32023  ftc1anc  32025  ftc2nc  32026  areacirclem2  32033  areacirclem3  32034  areacirclem4  32035  areacirc  32037  iccbnd  32172  icccmpALT  32173  itgpowd  36099  arearect  36100  areaquad  36101  lhe4.4ex1a  36678  lefldiveq  37506  iccssred  37602  itgsin0pilem1  37826  ibliccsinexp  37827  iblioosinexp  37829  itgsinexplem1  37830  itgsinexp  37831  iblspltprt  37850  fourierdlem5  37974  fourierdlem9  37978  fourierdlem18  37987  fourierdlem24  37993  fourierdlem62  38032  fourierdlem66  38036  fourierdlem74  38044  fourierdlem75  38045  fourierdlem83  38053  fourierdlem87  38057  fourierdlem93  38063  fourierdlem95  38065  fourierdlem102  38072  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074  fourierdlem112  38082  fourierdlem114  38084  sqwvfoura  38092  sqwvfourb  38093
  Copyright terms: Public domain W3C validator