MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssioo2 Structured version   Unicode version

Theorem iccssioo2 11566
Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssioo2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( C [,] D
)  C_  ( A (,) B ) )

Proof of Theorem iccssioo2
StepHypRef Expression
1 ne0i 3741 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
21adantr 463 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A (,) B
)  =/=  (/) )
3 ndmioo 11525 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
43necon1ai 2632 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
52, 4syl 17 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6 eliooord 11553 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  C  /\  C  <  B ) )
76adantr 463 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  C  /\  C  <  B ) )
87simpld 457 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  C )
9 eliooord 11553 . . . 4  |-  ( D  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  D  /\  D  <  B ) )
109adantl 464 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  D  /\  D  <  B ) )
1110simprd 461 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  <  B )
12 iccssioo 11562 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  D  <  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A (,) B ) )
135, 8, 11, 12syl12anc 1226 1  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( C [,] D
)  C_  ( A (,) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1840    =/= wne 2596    C_ wss 3411   (/)c0 3735   class class class wbr 4392  (class class class)co 6232   RR*cxr 9575    < clt 9576   (,)cioo 11498   [,]cicc 11501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-ioo 11502  df-icc 11505
This theorem is referenced by:  dvivthlem1  22591  dvivthlem2  22592  amgmlem  23535  iooscon  29420
  Copyright terms: Public domain W3C validator