MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssioo2 Structured version   Unicode version

Theorem iccssioo2 11593
Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssioo2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( C [,] D
)  C_  ( A (,) B ) )

Proof of Theorem iccssioo2
StepHypRef Expression
1 ne0i 3791 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A (,) B
)  =/=  (/) )
3 ndmioo 11552 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
43necon1ai 2698 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
52, 4syl 16 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6 eliooord 11580 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  C  /\  C  <  B ) )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  C  /\  C  <  B ) )
87simpld 459 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  C )
9 eliooord 11580 . . . 4  |-  ( D  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  D  /\  D  <  B ) )
109adantl 466 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  D  /\  D  <  B ) )
1110simprd 463 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  <  B )
12 iccssioo 11589 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  D  <  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A (,) B ) )
135, 8, 11, 12syl12anc 1226 1  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( C [,] D
)  C_  ( A (,) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RR*cxr 9623    < clt 9624   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-ioo 11529  df-icc 11532
This theorem is referenced by:  dvivthlem1  22144  dvivthlem2  22145  amgmlem  23047  iooscon  28332
  Copyright terms: Public domain W3C validator