MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssioo2 Structured version   Unicode version

Theorem iccssioo2 11658
Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssioo2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( C [,] D
)  C_  ( A (,) B ) )

Proof of Theorem iccssioo2
StepHypRef Expression
1 ne0i 3710 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A (,) B )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
21adantr 466 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A (,) B
)  =/=  (/) )
3 ndmioo 11614 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A (,) B
)  =  (/) )
43necon1ai 2628 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
52, 4syl 17 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6 eliooord 11645 . . . 4  |-  ( C  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  C  /\  C  <  B ) )
76adantr 466 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  C  /\  C  <  B ) )
87simpld 460 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  C )
9 eliooord 11645 . . . 4  |-  ( D  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  D  /\  D  <  B ) )
109adantl 467 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  D  /\  D  <  B ) )
1110simprd 464 . 2  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  <  B )
12 iccssioo 11654 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  D  <  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A (,) B ) )
135, 8, 11, 12syl12anc 1262 1  |-  ( ( C  e.  ( A (,) B )  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( C [,] D
)  C_  ( A (,) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1872    =/= wne 2599    C_ wss 3379   (/)c0 3704   class class class wbr 4366  (class class class)co 6249   RR*cxr 9625    < clt 9626   (,)cioo 11586   [,]cicc 11589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-ioo 11590  df-icc 11593
This theorem is referenced by:  dvivthlem1  22902  dvivthlem2  22903  amgmlem  23857  iooscon  29922
  Copyright terms: Public domain W3C validator