MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssioo Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iccssioo 11737
Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssioo  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  D  <  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A (,) B ) )

Proof of Theorem iccssioo
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11673 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 df-icc 11676 . 2  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
3 xrltletr 11488 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  C  /\  C  <_  w )  ->  A  <  w
) )
4 xrlelttr 11487 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( w  <_  D  /\  D  <  B )  ->  w  <  B
) )
51, 2, 3, 4ixxss12 11689 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  D  <  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A (,) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    e. wcel 1898    C_ wss 3416   class class class wbr 4418  (class class class)co 6320   RR*cxr 9705    < clt 9706    <_ cle 9707   (,)cioo 11669   [,]cicc 11672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-ioo 11673  df-icc 11676
This theorem is referenced by:  iccssioo2  11741  opnreen  21904  lebnumii  22052  opnmbllem  22615  lhop1lem  23021  dvfsumlem2  23035  itgsubstlem  23056  logccv  23664  opnmbllem0  32022  dvbdfbdioolem1  37886
  Copyright terms: Public domain W3C validator