MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssico Structured version   Unicode version

Theorem iccssico 11650
Description: Condition for a closed interval to be a subset of a half-open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssico  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A [,) B ) )

Proof of Theorem iccssico
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 11588 . 2  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
2 df-icc 11589 . 2  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
3 xrletr 11414 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  C  /\  C  <_  w )  ->  A  <_  w
) )
4 xrlelttr 11412 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( w  <_  D  /\  D  <  B )  ->  w  <  B
) )
51, 2, 3, 4ixxss12 11602 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <  B ) )  ->  ( C [,] D )  C_  ( A [,) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842    C_ wss 3414   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   [,)cico 11584   [,]cicc 11585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-ico 11588  df-icc 11589
This theorem is referenced by:  iccssico2  11652  dstfrvclim1  28922
  Copyright terms: Public domain W3C validator