Theorem iccsplit 15854

Description: Split a closed interval into the union of two closed intervals.

Assertion

Ref	Expression
iccsplit	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> (A[,]B) = ((A[,]C) u. (C[,]B)))

Proof of Theorem iccsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 918	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) /\ x < C) -> x e. RR)
2		simplr2 919	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) /\ x < C) -> A <_ x)
3		simpr1 882	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) -> x e. RR)
4		iccssre 7565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A[,]B) C_ RR)
5	4	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) -> C e. RR))
6	5	3impia 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> C e. RR)
7	6	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) -> C e. RR)
8		ltle 6690	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ C e. RR) -> (x < C -> x <_ C))
9	3, 7, 8	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) -> (x < C -> x <_ C))
10	9	imp 377	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) /\ x < C) -> x <_ C)
11	1, 2, 10	3jca 1050	. . . . . . . 8 |- ((((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) /\ x < C) -> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C))
12	11	orcd 294	. . . . . . 7 |- ((((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) /\ x < C) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) \/ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)))
13		simplr1 918	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) /\ C <_ x) -> x e. RR)
14		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) /\ C <_ x) -> C <_ x)
15		simplr3 920	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) /\ C <_ x) -> x <_ B)
16	13, 14, 15	3jca 1050	. . . . . . . 8 |- ((((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) /\ C <_ x) -> (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B))
17	16	olcd 295	. . . . . . 7 |- ((((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) /\ C <_ x) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) \/ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)))
18	12, 17, 3, 7	pm2.61ltlei 6705	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) \/ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)))
19	18	ex 402	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) \/ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B))))
20		simp1 876	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) -> x e. RR)
21	20	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) -> x e. RR))
22		simp2 877	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) -> A <_ x)
23	22	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) -> A <_ x))
24		elicc2 7560	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))
25	20	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C)) -> x e. RR)
26		simp1 876	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) -> C e. RR)
27	26	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C)) -> C e. RR)
28		simp1r 901	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C)) -> B e. RR)
29		simp3 878	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) -> x <_ C)
30	29	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C)) -> x <_ C)
31		simp3 878	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) -> C <_ B)
32	31	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C)) -> C <_ B)
33	25, 27, 28, 30, 32	letrd 6696	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C)) -> x <_ B)
34	33	3exp 1066	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) -> x <_ B)))
35	24, 34	sylbid 220	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) -> x <_ B)))
36	35	3impia 1064	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) -> x <_ B))
37	21, 23, 36	3jcad 1051	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) -> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)))
38		simp1 876	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B) -> x e. RR)
39	38	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B) -> x e. RR))
40		simp1l 900	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)) -> A e. RR)
41	26	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)) -> C e. RR)
42	38	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)) -> x e. RR)
43		simp2 877	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) -> A <_ C)
44	43	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)) -> A <_ C)
45		simp2 877	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B) -> C <_ x)
46	45	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)) -> C <_ x)
47	40, 41, 42, 44, 46	letrd 6696	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) /\ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)) -> A <_ x)
48	47	3exp 1066	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B) -> ((x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B) -> A <_ x)))
49	24, 48	sylbid 220	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) -> ((x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B) -> A <_ x)))
50	49	3impia 1064	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B) -> A <_ x))
51		simp3 878	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B) -> x <_ B)
52	51	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B) -> x <_ B))
53	39, 50, 52	3jcad 1051	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B) -> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)))
54	37, 53	jaod 469	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> (((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) \/ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)) -> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)))
55	19, 54	impbid 574	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B) <-> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) \/ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B))))
56		elicc2 7560	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (x e. (A[,]B) <-> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)))
57	56	3adant3 896	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> (x e. (A[,]B) <-> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)))
58	5	imdistani 491	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,]B)) -> ((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR))
59	58	3impa 1062	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR))
60		elicc2 7560	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (x e. (A[,]C) <-> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C)))
61	60	adantlr 429	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR) -> (x e. (A[,]C) <-> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C)))
62		elicc2 7560	. . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ B e. RR) -> (x e. (C[,]B) <-> (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)))
63	62	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (x e. (C[,]B) <-> (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)))
64	63	adantll 428	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR) -> (x e. (C[,]B) <-> (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B)))
65	61, 64	orbi12d 689	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR) -> ((x e. (A[,]C) \/ x e. (C[,]B)) <-> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) \/ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B))))
66	59, 65	syl 12	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> ((x e. (A[,]C) \/ x e. (C[,]B)) <-> ((x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ C) \/ (x e. RR /\ C <_ x /\ x <_ B))))
67	55, 57, 66	3bitr4d 609	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> (x e. (A[,]B) <-> (x e. (A[,]C) \/ x e. (C[,]B))))
68		elun 2741	. . 3 |- (x e. ((A[,]C) u. (C[,]B)) <-> (x e. (A[,]C) \/ x e. (C[,]B)))
69	67, 68	syl6bbr 597	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> (x e. (A[,]B) <-> x e. ((A[,]C) u. (C[,]B))))
70	69	eqrdv 1882	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. (A[,]B)) -> (A[,]B) = ((A[,]C) u. (C[,]B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385   <_ cle 6448   < clt 6653  [,]cicc 7527

This theorem is referenced by:  piececn 15894  phtpycolem5 16055  phtpyco 16056  pcocn 16076  pcohtpylem3 16082  pcohtpy 16083  pcorevlem 16086

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-icc 7531

Copyright terms: Public domain