MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccsplit Structured version   Unicode version

Theorem iccsplit 11538
Description: Split a closed interval into the union of two closed intervals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iccsplit  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) )

Proof of Theorem iccsplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  x  e.  RR )
2 simplr2 1031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  A  <_  x )
3 simpr1 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  x  e.  RR )
4 iccssre 11491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
54sseld 3466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  C  e.  RR ) )
653impia 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  C  e.  RR )
76adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  C  e.  RR )
8 ltle 9577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  <  C  ->  x  <_  C )
)
93, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( x  < 
C  ->  x  <_  C ) )
109imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  x  <_  C )
111, 2, 103jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C ) )
1211orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
13 simplr1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  x  e.  RR )
14 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  C  <_  x )
15 simplr3 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  x  <_  B )
1613, 14, 153jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  -> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) )
1716olcd 393 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
1812, 17, 3, 7ltlecasei 9596 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
1918ex 434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
20 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  e.  RR )
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  e.  RR )
)
22 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  A  <_  x )
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  A  <_  x ) )
24 elicc2 11474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
25203ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  e.  RR )
26 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  C  e.  RR )
27263ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  C  e.  RR )
28 simp1r 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  B  e.  RR )
29 simp3 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  C )
30293ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  <_  C )
31 simp3 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  C  <_  B )
32313ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  C  <_  B )
3325, 27, 28, 30, 32letrd 9642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  <_  B )
34333exp 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) ) )
3524, 34sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) ) )
36353impia 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) )
3721, 23, 363jcad 1169 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
38 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  e.  RR )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  e.  RR )
)
40 simp1l 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
41263ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  C  e.  RR )
42383ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  x  e.  RR )
43 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  A  <_  C )
44433ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  <_  C )
45 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  C  <_  x )
46453ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  C  <_  x )
4740, 41, 42, 44, 46letrd 9642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  <_  x )
48473exp 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) ) )
4924, 48sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) ) )
50493impia 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) )
51 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  <_  B )
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  <_  B ) )
5339, 50, 523jcad 1169 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
5437, 53jaod 380 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
5519, 54impbid 191 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
56 elicc2 11474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
57563adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
585imdistani 690 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )
59583impa 1183 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )
60 elicc2 11474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
6160adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] C
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) ) )
62 elicc2 11474 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
6362ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
6463adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
6561, 64orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C )  \/  x  e.  ( C [,] B
) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
6659, 65syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C )  \/  x  e.  ( C [,] B ) )  <->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
6755, 57, 663bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  ( A [,] C
)  \/  x  e.  ( C [,] B
) ) ) )
68 elun 3608 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B
) )  <->  ( x  e.  ( A [,] C
)  \/  x  e.  ( C [,] B
) ) )
6967, 68syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  x  e.  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) ) )
7069eqrdv 2451 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3437   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RRcr 9395    < clt 9532    <_ cle 9533   [,]cicc 11417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-icc 11421
This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  20635  volcn  21222  itgspliticc  21450  cvmliftlem10  27347
  Copyright terms: Public domain W3C validator