MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccsplit Structured version   Unicode version

Theorem iccsplit 11410
Description: Split a closed interval into the union of two closed intervals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iccsplit  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) )

Proof of Theorem iccsplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  x  e.  RR )
2 simplr2 1031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  A  <_  x )
3 simpr1 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  x  e.  RR )
4 iccssre 11369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
54sseld 3350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  C  e.  RR ) )
653impia 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  C  e.  RR )
76adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  C  e.  RR )
8 ltle 9455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  <  C  ->  x  <_  C )
)
93, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( x  < 
C  ->  x  <_  C ) )
109imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  ->  x  <_  C )
111, 2, 103jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C ) )
1211orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  x  <  C )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
13 simplr1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  x  e.  RR )
14 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  C  <_  x )
15 simplr3 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  ->  x  <_  B )
1613, 14, 153jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  -> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) )
1716olcd 393 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  /\  C  <_  x )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
1812, 17, 3, 7ltlecasei 9474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
1918ex 434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
20 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  e.  RR )
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  e.  RR )
)
22 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  A  <_  x )
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  A  <_  x ) )
24 elicc2 11352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
25203ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  e.  RR )
26 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  C  e.  RR )
27263ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  C  e.  RR )
28 simp1r 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  B  e.  RR )
29 simp3 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  C )
30293ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  <_  C )
31 simp3 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  C  <_  B )
32313ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  C  <_  B )
3325, 27, 28, 30, 32letrd 9520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) )  ->  x  <_  B )
34333exp 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) ) )
3524, 34sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) ) )
36353impia 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  ->  x  <_  B ) )
3721, 23, 363jcad 1169 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
38 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  e.  RR )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  e.  RR )
)
40 simp1l 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
41263ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  C  e.  RR )
42383ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  x  e.  RR )
43 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  A  <_  C )
44433ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  <_  C )
45 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  C  <_  x )
46453ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  C  <_  x )
4740, 41, 42, 44, 46letrd 9520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  /\  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) )  ->  A  <_  x )
48473exp 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) ) )
4924, 48sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) ) )
50493impia 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  x ) )
51 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  <_  B )
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  x  <_  B ) )
5339, 50, 523jcad 1169 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
5437, 53jaod 380 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
)  \/  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
5519, 54impbid 191 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
56 elicc2 11352 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
57563adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
585imdistani 690 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )
59583impa 1182 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )
60 elicc2 11352 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
6160adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] C
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C
) ) )
62 elicc2 11352 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
6362ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
6463adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( C [,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
6561, 64orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( A [,] C )  \/  x  e.  ( C [,] B
) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
6659, 65syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( x  e.  ( A [,] C )  \/  x  e.  ( C [,] B ) )  <->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  C )  \/  (
x  e.  RR  /\  C  <_  x  /\  x  <_  B ) ) ) )
6755, 57, 663bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  ( x  e.  ( A [,] C
)  \/  x  e.  ( C [,] B
) ) ) )
68 elun 3492 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B
) )  <->  ( x  e.  ( A [,] C
)  \/  x  e.  ( C [,] B
) ) )
6967, 68syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  x  e.  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) ) )
7069eqrdv 2436 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( A [,] C )  u.  ( C [,] B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3321   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RRcr 9273    < clt 9410    <_ cle 9411   [,]cicc 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-icc 11299
This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  20475  volcn  21061  itgspliticc  21289  cvmliftlem10  27135
  Copyright terms: Public domain W3C validator