MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccpnfcnv Structured version   Unicode version

Theorem iccpnfcnv 21914
Description: Define a bijection from  [ 0 ,  1 ] to  [
0 , +oo ]. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iccpnfhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
iccpnfcnv  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem iccpnfcnv
StepHypRef Expression
1 iccpnfhmeo.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
2 0xr 9638 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 11363 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
4 0lepnf 11384 . . . . . . 7  |-  0  <_ +oo
5 ubicc2 11700 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
62, 3, 4, 5mp3an 1360 . . . . . 6  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  =  1 )  -> +oo  e.  (
0 [,] +oo )
)
8 icossicc 11672 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
9 1re 9593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
109rexri 9644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
11 0le1 10088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
12 snunico 11710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  0  <_ 
1 )  ->  (
( 0 [,) 1
)  u.  { 1 } )  =  ( 0 [,] 1 ) )
132, 10, 11, 12mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,) 1 )  u.  { 1 } )  =  ( 0 [,] 1 )
1413eleq2i 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 0 [,) 1 )  u. 
{ 1 } )  <-> 
x  e.  ( 0 [,] 1 ) )
15 elun 3549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 0 [,) 1 )  u. 
{ 1 } )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 )  \/  x  e.  {
1 } ) )
1614, 15bitr3i 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  \/  x  e. 
{ 1 } ) )
17 pm2.53 374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  \/  x  e.  { 1 } )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  e.  {
1 } ) )
1816, 17sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  e.  {
1 } ) )
19 elsni 3966 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  x  =  1 )
2018, 19syl6 34 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  =  1 ) )
2120con1d 127 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  =  1  ->  x  e.  ( 0 [,) 1 ) ) )
2221imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  x  e.  ( 0 [,) 1
) )
23 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
2423icopnfcnv 21912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
2524simpli 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )
26 f1of 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  -> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) --> ( 0 [,) +oo ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) --> ( 0 [,) +oo )
2823fmpt 6002 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,) 1 ) ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) : ( 0 [,) 1
) --> ( 0 [,) +oo ) )
2927, 28mpbir 212 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  ( 0 [,) 1
) ( x  / 
( 1  -  x
) )  e.  ( 0 [,) +oo )
3029rspec 2733 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3122, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
328, 31sseldi 3405 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
337, 32ifclda 3886 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3433adantl 467 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
35 1elunit 11702 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  = +oo )  ->  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )
37 icossicc 11672 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) 1 )  C_  ( 0 [,] 1
)
38 snunico 11710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  ( ( 0 [,) +oo )  u.  { +oo } )  =  ( 0 [,] +oo ) )
392, 3, 4, 38mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,) +oo )  u.  { +oo } )  =  ( 0 [,] +oo )
4039eleq2i 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 [,) +oo )  u. 
{ +oo } )  <->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )
41 elun 3549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 [,) +oo )  u. 
{ +oo } )  <->  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  y  e.  { +oo } ) )
4240, 41bitr3i 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  y  e.  { +oo } ) )
43 pm2.53 374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  y  e.  { +oo } )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 [,) +oo )  -> 
y  e.  { +oo } ) )
4442, 43sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 [,) +oo )  -> 
y  e.  { +oo } ) )
45 elsni 3966 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { +oo }  ->  y  = +oo )
4644, 45syl6 34 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 [,) +oo )  -> 
y  = +oo )
)
4746con1d 127 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -.  y  = +oo  ->  y  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
4847imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  y  e.  ( 0 [,) +oo )
)
49 f1ocnv 5786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) : ( 0 [,) +oo )
-1-1-onto-> ( 0 [,) 1
) )
50 f1of 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) -1-1-onto-> (
0 [,) 1 )  ->  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) --> ( 0 [,) 1 ) )
5125, 49, 50mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) --> ( 0 [,) 1 )
5224simpri 463 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
5352fmpt 6002 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,) +oo ) ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  `' (
x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) --> ( 0 [,) 1 ) )
5451, 53mpbir 212 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  ( 0 [,) +oo ) ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )
5554rspec 2733 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1
) )
5648, 55syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
5737, 56sseldi 3405 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5836, 57ifclda 3886 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  if ( y  = +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5958adantl 467 . . 3  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
60 eqeq2 2439 . . . . . 6  |-  ( 1  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( x  =  1  <-> 
x  =  if ( y  = +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
6160bibi1d 320 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( ( x  =  1  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )  <->  ( x  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  (
1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
62 eqeq2 2439 . . . . . 6  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
x  =  if ( y  = +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
6362bibi1d 320 . . . . 5  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )  <->  ( x  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  (
1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
64 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  y  = +oo )
65 iftrue 3860 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  = +oo )
6665eqeq2d 2438 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  <-> 
y  = +oo )
)
6764, 66syl5ibrcom 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( x  =  1  ->  y  =  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) ) )
68 pnfnre 9633 . . . . . . . . 9  |- +oo  e/  RR
69 neleq1 2706 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  = +oo  ->  (
y  e/  RR  <-> +oo  e/  RR ) )
7069adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( y  e/  RR  <-> +oo  e/  RR ) )
7168, 70mpbiri 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  y  e/  RR )
72 neleq1 2706 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  -> 
( y  e/  RR  <->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR ) )
7371, 72syl5ibcom 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR ) )
74 df-nel 2602 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR  <->  -.  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR )
75 iffalse 3863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )
7675adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  if (
x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
77 rge0ssre 11691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
7877, 31sseldi 3405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR )
7976, 78eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  if (
x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR )
8079ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  e.  RR ) )
8180ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR ) )
8281con1d 127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( -.  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  e.  RR  ->  x  =  1 ) )
8374, 82syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR  ->  x  =  1 ) )
8473, 83syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  ->  x  =  1 ) )
8567, 84impbid 193 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( x  =  1  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
86 eqeq2 2439 . . . . . . 7  |-  ( +oo  =  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
y  = +oo  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
8786bibi2d 319 . . . . . 6  |-  ( +oo  =  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  = +oo )  <->  ( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
88 eqeq2 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  -> 
( y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) )  <-> 
y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
8988bibi2d 319 . . . . . 6  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  -> 
( ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  <->  ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
90 0re 9594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
91 elico2 11649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) ) )
9290, 10, 91mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
9356, 92sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
9493simp1d 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR )
9593simp3d 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <  1
)
9694, 95gtned 9721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  1  =/=  (
y  /  ( 1  +  y ) ) )
9796adantll 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  -.  y  = +oo )  ->  1  =/=  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
9897neneqd 2606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  -.  y  = +oo )  ->  -.  1  =  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
99 eqeq1 2432 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  1  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
10099notbid 295 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  x  =  (
y  /  ( 1  +  y ) )  <->  -.  1  =  (
y  /  ( 1  +  y ) ) ) )
10198, 100syl5ibrcom 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  -.  y  = +oo )  ->  (
x  =  1  ->  -.  x  =  (
y  /  ( 1  +  y ) ) ) )
102101imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  y  = +oo )  /\  x  =  1
)  ->  -.  x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )
103 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  y  = +oo )  /\  x  =  1
)  ->  -.  y  = +oo )
104102, 1032falsed 352 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  y  = +oo )  /\  x  =  1
)  ->  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  y  = +oo ) )
105 f1ocnvfvb 6137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  x  e.  (
0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  x
)  =  y  <->  ( `' ( x  e.  (
0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  y
)  =  x ) )
10625, 105mp3an1 1347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `  x )  =  y  <->  ( `' ( x  e.  (
0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  y
)  =  x ) )
107 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  x  e.  ( 0 [,) 1 ) )
108 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e. 
_V
10923fvmpt2 5917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  ( x  /  (
1  -  x ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) `  x )  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )
110107, 108, 109sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 x )  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
111110eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `  x )  =  y  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y ) )
112 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  y  e.  ( 0 [,) +oo )
)
113 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e. 
_V
11452fvmpt2 5917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  e.  _V )  ->  ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 y )  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
115112, 113, 114sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `  y )  =  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )
116115eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  y
)  =  x  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x ) )
117106, 111, 1163bitr3rd 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x  <->  ( x  / 
( 1  -  x
) )  =  y ) )
118 eqcom 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x )
119 eqcom 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  / 
( 1  -  x
) )  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y )
120117, 118, 1193bitr4g 291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
12122, 48, 120syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1 )  /\  (
y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo ) )  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
122121an4s 833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  ( -.  x  =  1  /\  -.  y  = +oo ) )  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
123122anass1rs 814 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  y  = +oo )  /\  -.  x  =  1 )  ->  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
12487, 89, 104, 123ifbothda 3889 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  -.  y  = +oo )  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
12561, 63, 85, 124ifbothda 3889 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  (
1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
126125adantl 467 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )  -> 
( x  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
1271, 34, 59, 126f1ocnv2d 6478 . 2  |-  ( T. 
->  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  (
y  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) ) )
128127trud 1446 1  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872    =/= wne 2599    e/ wnel 2600   A.wral 2714   _Vcvv 3022    u. cun 3377   ifcif 3854   {csn 3941   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   `'ccnv 4795   -->wf 5540   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493   +oocpnf 9623   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811    / cdiv 10220   [,)cico 11588   [,]cicc 11589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-rp 11254  df-ico 11592  df-icc 11593
This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  21915  xrhmeo  21916
  Copyright terms: Public domain W3C validator