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Theorem iccpnfcnv 21613
Description: Define a bijection from  [ 0 ,  1 ] to  [
0 , +oo ]. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iccpnfhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
iccpnfcnv  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem iccpnfcnv
StepHypRef Expression
1 iccpnfhmeo.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
2 0xr 9629 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 11324 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
4 0lepnf 11343 . . . . . . 7  |-  0  <_ +oo
5 ubicc2 11640 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
62, 3, 4, 5mp3an 1322 . . . . . 6  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  =  1 )  -> +oo  e.  (
0 [,] +oo )
)
8 icossicc 11614 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
9 1re 9584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
109rexri 9635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
11 0le1 10072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
12 snunico 11650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  0  <_ 
1 )  ->  (
( 0 [,) 1
)  u.  { 1 } )  =  ( 0 [,] 1 ) )
132, 10, 11, 12mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,) 1 )  u.  { 1 } )  =  ( 0 [,] 1 )
1413eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 0 [,) 1 )  u. 
{ 1 } )  <-> 
x  e.  ( 0 [,] 1 ) )
15 elun 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( 0 [,) 1 )  u. 
{ 1 } )  <-> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 )  \/  x  e.  {
1 } ) )
1614, 15bitr3i 251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  \/  x  e. 
{ 1 } ) )
17 pm2.53 371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  \/  x  e.  { 1 } )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  e.  {
1 } ) )
1816, 17sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  e.  {
1 } ) )
19 elsni 4041 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  x  =  1 )
2018, 19syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  e.  (
0 [,) 1 )  ->  x  =  1 ) )
2120con1d 124 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  =  1  ->  x  e.  ( 0 [,) 1 ) ) )
2221imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  x  e.  ( 0 [,) 1
) )
23 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
2423icopnfcnv 21611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
2524simpli 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )
26 f1of 5798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  -> 
( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) --> ( 0 [,) +oo ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) --> ( 0 [,) +oo )
2823fmpt 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,) 1 ) ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) : ( 0 [,) 1
) --> ( 0 [,) +oo ) )
2927, 28mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  ( 0 [,) 1
) ( x  / 
( 1  -  x
) )  e.  ( 0 [,) +oo )
3029rspec 2822 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3122, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
328, 31sseldi 3487 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
337, 32ifclda 3961 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3433adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
35 1elunit 11642 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  = +oo )  ->  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )
37 icossicc 11614 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) 1 )  C_  ( 0 [,] 1
)
38 snunico 11650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  ( ( 0 [,) +oo )  u.  { +oo } )  =  ( 0 [,] +oo ) )
392, 3, 4, 38mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,) +oo )  u.  { +oo } )  =  ( 0 [,] +oo )
4039eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 [,) +oo )  u. 
{ +oo } )  <->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )
41 elun 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 [,) +oo )  u. 
{ +oo } )  <->  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  y  e.  { +oo } ) )
4240, 41bitr3i 251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  y  e.  { +oo } ) )
43 pm2.53 371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  y  e.  { +oo } )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 [,) +oo )  -> 
y  e.  { +oo } ) )
4442, 43sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 [,) +oo )  -> 
y  e.  { +oo } ) )
45 elsni 4041 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { +oo }  ->  y  = +oo )
4644, 45syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -.  y  e.  ( 0 [,) +oo )  -> 
y  = +oo )
)
4746con1d 124 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -.  y  = +oo  ->  y  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
4847imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  y  e.  ( 0 [,) +oo )
)
49 f1ocnv 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) : ( 0 [,) +oo )
-1-1-onto-> ( 0 [,) 1
) )
50 f1of 5798 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) -1-1-onto-> (
0 [,) 1 )  ->  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) --> ( 0 [,) 1 ) )
5125, 49, 50mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) --> ( 0 [,) 1 )
5224simpri 460 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
5352fmpt 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,) +oo ) ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  `' (
x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) --> ( 0 [,) 1 ) )
5451, 53mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  ( 0 [,) +oo ) ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )
5554rspec 2822 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1
) )
5648, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
5737, 56sseldi 3487 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5836, 57ifclda 3961 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  if ( y  = +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5958adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
60 eqeq2 2469 . . . . . 6  |-  ( 1  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( x  =  1  <-> 
x  =  if ( y  = +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
6160bibi1d 317 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( ( x  =  1  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )  <->  ( x  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  (
1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
62 eqeq2 2469 . . . . . 6  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
x  =  if ( y  = +oo , 
1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) )
6362bibi1d 317 . . . . 5  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )  -> 
( ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )  <->  ( x  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  (
1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
64 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  y  = +oo )
65 iftrue 3935 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  = +oo )
6665eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  <-> 
y  = +oo )
)
6764, 66syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( x  =  1  ->  y  =  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) ) )
68 pnfnre 9624 . . . . . . . . 9  |- +oo  e/  RR
69 neleq1 2792 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  = +oo  ->  (
y  e/  RR  <-> +oo  e/  RR ) )
7069adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( y  e/  RR  <-> +oo  e/  RR ) )
7168, 70mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  y  e/  RR )
72 neleq1 2792 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  -> 
( y  e/  RR  <->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR ) )
7371, 72syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR ) )
74 df-nel 2652 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR  <->  -.  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR )
75 iffalse 3938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )
7675adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  if (
x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
77 rge0ssre 11631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
7877, 31sseldi 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e.  RR )
7976, 78eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1
)  ->  if (
x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR )
8079ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  e.  RR ) )
8180ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e.  RR ) )
8281con1d 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( -.  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  e.  RR  ->  x  =  1 ) )
8374, 82syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  e/  RR  ->  x  =  1 ) )
8473, 83syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  ->  x  =  1 ) )
8567, 84impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  y  = +oo )  ->  ( x  =  1  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
86 eqeq2 2469 . . . . . . 7  |-  ( +oo  =  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
y  = +oo  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
8786bibi2d 316 . . . . . 6  |-  ( +oo  =  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) )  ->  (
( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <-> 
y  = +oo )  <->  ( x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
88 eqeq2 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  -> 
( y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) )  <-> 
y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
8988bibi2d 316 . . . . . 6  |-  ( ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )  -> 
( ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  <->  ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) ) )
90 0re 9585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
91 elico2 11591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <-> 
( ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  ( 1  +  y ) )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  <  1 ) ) )
9290, 10, 91mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( (
y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
9356, 92sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
1  +  y ) )  /\  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <  1 ) )
9493simp1d 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  ( y  / 
( 1  +  y ) )  e.  RR )
9593simp3d 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <  1
)
9694, 95gtned 9709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo )  ->  1  =/=  (
y  /  ( 1  +  y ) ) )
9796adantll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  -.  y  = +oo )  ->  1  =/=  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
9897neneqd 2656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  -.  y  = +oo )  ->  -.  1  =  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )
99 eqeq1 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  1  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) )
10099notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  x  =  (
y  /  ( 1  +  y ) )  <->  -.  1  =  (
y  /  ( 1  +  y ) ) ) )
10198, 100syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  -.  y  = +oo )  ->  (
x  =  1  ->  -.  x  =  (
y  /  ( 1  +  y ) ) ) )
102101imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  y  = +oo )  /\  x  =  1
)  ->  -.  x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )
103 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  y  = +oo )  /\  x  =  1
)  ->  -.  y  = +oo )
104102, 1032falsed 349 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  y  = +oo )  /\  x  =  1
)  ->  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  y  = +oo ) )
105 f1ocnvfvb 6160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  x  e.  (
0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( (
( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  x
)  =  y  <->  ( `' ( x  e.  (
0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  y
)  =  x ) )
10625, 105mp3an1 1309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `  x )  =  y  <->  ( `' ( x  e.  (
0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  y
)  =  x ) )
107 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  x  e.  ( 0 [,) 1 ) )
108 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  /  ( 1  -  x ) )  e. 
_V
10923fvmpt2 5939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  ( x  /  (
1  -  x ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1
)  |->  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) `  x )  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )
110107, 108, 109sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 x )  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) )
111110eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `  x )  =  y  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y ) )
112 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  y  e.  ( 0 [,) +oo )
)
113 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  /  ( 1  +  y ) )  e. 
_V
11452fvmpt2 5939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( y  /  (
1  +  y ) )  e.  _V )  ->  ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `
 y )  =  ( y  /  (
1  +  y ) ) )
115112, 113, 114sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  |->  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) `  y )  =  ( y  / 
( 1  +  y ) ) )
116115eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( `' ( x  e.  ( 0 [,) 1 ) 
|->  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) `  y
)  =  x  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x ) )
117106, 111, 1163bitr3rd 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x  <->  ( x  / 
( 1  -  x
) )  =  y ) )
118 eqcom 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  ( y  /  ( 1  +  y ) )  =  x )
119 eqcom 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  / 
( 1  -  x
) )  <->  ( x  /  ( 1  -  x ) )  =  y )
120117, 118, 1193bitr4g 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( x  =  ( y  /  (
1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
12122, 48, 120syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  =  1 )  /\  (
y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  y  = +oo ) )  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
122121an4s 824 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  ( -.  x  =  1  /\  -.  y  = +oo ) )  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
123122anass1rs 805 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  -.  y  = +oo )  /\  -.  x  =  1 )  ->  ( x  =  ( y  / 
( 1  +  y ) )  <->  y  =  ( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
12487, 89, 104, 123ifbothda 3964 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  -.  y  = +oo )  ->  (
x  =  ( y  /  ( 1  +  y ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
12561, 63, 85, 124ifbothda 3964 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  (
1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
126125adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )  -> 
( x  =  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) )  <->  y  =  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) )
1271, 34, 59, 126f1ocnv2d 6499 . 2  |-  ( T. 
->  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  (
y  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  ( 1  +  y ) ) ) ) ) )
128127trud 1407 1  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( y  = +oo ,  1 ,  ( y  /  (
1  +  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823    =/= wne 2649    e/ wnel 2650   A.wral 2804   _Vcvv 3106    u. cun 3459   ifcif 3929   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   [,)cico 11534   [,]cicc 11535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-rp 11222  df-ico 11538  df-icc 11539
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