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Theorem iccpartnel 38752
Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. Corresponds to fourierdlem12 37981 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 8-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartnel.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
iccpartnel.p  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
iccpartnel.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  P
)
Assertion
Ref Expression
iccpartnel  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) )

Proof of Theorem iccpartnel
Dummy variables  i 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioo3g 11665 . . 3  |-  ( X  e.  ( ( P `
 I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) )  <->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) ) )
2 iccpartnel.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  P
)
3 iccpartnel.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
4 iccpartnel.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
5 iccpart 38730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (RePart `  M
)  <->  ( P  e.  ( RR*  ^m  (
0 ... M ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( P `  i
)  <  ( P `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  e.  (RePart `  M )  <->  ( P  e.  ( RR*  ^m  (
0 ... M ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( P `  i
)  <  ( P `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
7 elmapfn 7494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( RR*  ^m  (
0 ... M ) )  ->  P  Fn  (
0 ... M ) )
87adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( RR*  ^m  ( 0 ... M
) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( P `
 i )  < 
( P `  (
i  +  1 ) ) )  ->  P  Fn  ( 0 ... M
) )
96, 8syl6bi 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  e.  (RePart `  M )  ->  P  Fn  ( 0 ... M
) ) )
103, 9mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  Fn  ( 0 ... M ) )
11 fvelrnb 5912 . . . . . . . 8  |-  ( P  Fn  ( 0 ... M )  ->  ( X  e.  ran  P  <->  E. x  e.  ( 0 ... M
) ( P `  x )  =  X ) )
1210, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ran  P  <->  E. x  e.  (
0 ... M ) ( P `  x )  =  X ) )
132, 12mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( 0 ... M ) ( P `  x
)  =  X )
14 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 ... M )  ->  x  e.  ZZ )
1514zred 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 ... M )  ->  x  e.  RR )
1615adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  ->  x  e.  RR )
17 elfzoelz 11920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ZZ )
1817zred 11040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  RR )
19 lelttric 9741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( x  <_  I  \/  I  <  x ) )
2016, 18, 19syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  <_  I  \/  I  < 
x ) )
21 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P `  x )  =  X  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  <->  ( P `  I )  <  X
) )
22 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P `  x )  =  X  ->  (
( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) )  <->  X  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) ) )
2321, 22anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  x )  =  X  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( P `  I )  <  X  /\  X  < 
( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
24 leloe 9720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( x  <_  I  <->  ( x  <  I  \/  x  =  I ) ) )
2516, 18, 24syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  <_  I  <->  ( x  < 
I  \/  x  =  I ) ) )
264, 3iccpartgt 38741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0 ... M ) A. k  e.  ( 0 ... M ) ( i  <  k  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  k ) ) )
2726adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A. i  e.  ( 0 ... M
) A. k  e.  ( 0 ... M
) ( i  < 
k  ->  ( P `  i )  <  ( P `  k )
) )
2827adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A. i  e.  ( 0 ... M
) A. k  e.  ( 0 ... M
) ( i  < 
k  ->  ( P `  i )  <  ( P `  k )
) )
29 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  ->  x  e.  ( 0 ... M
) )
30 elfzofz 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ( 0 ... M
) )
31 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  x  ->  (
i  <  k  <->  x  <  k ) )
32 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  =  x  ->  ( P `  i )  =  ( P `  x ) )
3332breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  x  ->  (
( P `  i
)  <  ( P `  k )  <->  ( P `  x )  <  ( P `  k )
) )
3431, 33imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  x  ->  (
( i  <  k  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  k ) )  <->  ( x  <  k  ->  ( P `  x )  <  ( P `  k )
) ) )
35 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  I  ->  (
x  <  k  <->  x  <  I ) )
36 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  =  I  ->  ( P `  k )  =  ( P `  I ) )
3736breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  I  ->  (
( P `  x
)  <  ( P `  k )  <->  ( P `  x )  <  ( P `  I )
) )
3835, 37imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  =  I  ->  (
( x  <  k  ->  ( P `  x
)  <  ( P `  k ) )  <->  ( x  <  I  ->  ( P `  x )  <  ( P `  I )
) ) )
3934, 38rspc2v 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  ( 0 ... M )  /\  I  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0 ... M
) A. k  e.  ( 0 ... M
) ( i  < 
k  ->  ( P `  i )  <  ( P `  k )
)  ->  ( x  <  I  ->  ( P `  x )  <  ( P `  I )
) ) )
4029, 30, 39syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0 ... M ) A. k  e.  ( 0 ... M ) ( i  <  k  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  k ) )  -> 
( x  <  I  ->  ( P `  x
)  <  ( P `  I ) ) ) )
4128, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  <  I  ->  ( P `  x )  <  ( P `  I )
) )
42 pm3.35 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  <  I  /\  ( x  <  I  -> 
( P `  x
)  <  ( P `  I ) ) )  ->  ( P `  x )  <  ( P `  I )
)
434adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  NN )
443adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  ->  P  e.  (RePart `  M )
)
4543, 44, 29iccpartxr 38733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( P `  x )  e.  RR* )
4645adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P `  x )  e.  RR* )
47 simp1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  ( P `  I )  e.  RR* )
48 xrltle 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( P `  x
)  e.  RR*  /\  ( P `  I )  e.  RR* )  ->  (
( P `  x
)  <  ( P `  I )  ->  ( P `  x )  <_  ( P `  I
) ) )
4946, 47, 48syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  (
( P `  x
)  <  ( P `  I )  ->  ( P `  x )  <_  ( P `  I
) ) )
50 xrlenlt 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( P `  x
)  e.  RR*  /\  ( P `  I )  e.  RR* )  ->  (
( P `  x
)  <_  ( P `  I )  <->  -.  ( P `  I )  <  ( P `  x
) ) )
5146, 47, 50syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  (
( P `  x
)  <_  ( P `  I )  <->  -.  ( P `  I )  <  ( P `  x
) ) )
5249, 51sylibd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  (
( P `  x
)  <  ( P `  I )  ->  -.  ( P `  I )  <  ( P `  x ) ) )
5352ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( P `
 x )  < 
( P `  I
)  ->  -.  ( P `  I )  <  ( P `  x
) ) ) )
5453com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( P `  x )  <  ( P `  I )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  -.  ( P `  I )  <  ( P `  x ) ) ) )
5554imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  x
)  <  ( P `  I )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  -.  ( P `  I )  <  ( P `  x ) ) )
5655imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( P `  x )  <  ( P `  I )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* ) )  ->  -.  ( P `  I
)  <  ( P `  x ) )
5756pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( P `  x )  <  ( P `  I )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* ) )  -> 
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
5857ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P `  x
)  <  ( P `  I )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) )
5958ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( P `  x )  <  ( P `  I )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
6042, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  <  I  /\  ( x  <  I  -> 
( P `  x
)  <  ( P `  I ) ) )  ->  ( ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
6160ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  <  I  ->  (
( x  <  I  ->  ( P `  x
)  <  ( P `  I ) )  -> 
( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
6261com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
x  <  I  ->  ( P `  x )  <  ( P `  I ) )  -> 
( x  <  I  ->  ( ( ( P `
 I )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  ( ( P `  I )  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
6341, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  <  I  ->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
6463com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  <  I  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
65 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  I  ->  ( P `  x )  =  ( P `  I ) )
6665breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  I  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  <->  ( P `  I )  <  ( P `  I )
) )
6766adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  =  I  /\  ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* ) )  -> 
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  <->  ( P `  I )  <  ( P `  I ) ) )
68 xrltnr 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  I )  e.  RR*  ->  -.  ( P `  I )  <  ( P `  I
) )
69683ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  -.  ( P `  I )  <  ( P `  I ) )
7069adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  =  I  /\  ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* ) )  ->  -.  ( P `  I
)  <  ( P `  I ) )
7170pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  =  I  /\  ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* ) )  -> 
( ( P `  I )  <  ( P `  I )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
7267, 71sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  =  I  /\  ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* ) )  -> 
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
7372ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  I  ->  (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) )
7473a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  I  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
7564, 74jaoi 381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  <  I  \/  x  =  I )  ->  ( ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
x  <  I  \/  x  =  I )  ->  ( ( ( P `
 I )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  ( ( P `  I )  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
7725, 76sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  <_  I  ->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
7877com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
x  <_  I  ->  ( ( P `  I
)  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
7978com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P `  I )  <  ( P `  x )  ->  (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  (
x  <_  I  ->  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
8079adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P `  I
)  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x )  <  ( P `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  (
x  <_  I  ->  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
8123, 80syl6bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  x )  =  X  ->  (
( ( P `  I )  <  X  /\  X  <  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
x  <_  I  ->  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
8281com14 91 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  <_  I  ->  (
( ( P `  I )  <  X  /\  X  <  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  x
)  =  X  -> 
( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
8382com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  <_  I  ->  (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  X  /\  X  <  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P `
 x )  =  X  ->  ( (
( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
8483impd 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  <_  I  ->  (
( ( ( P `
 I )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  /\  ( ( P `  I )  <  X  /\  X  <  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( P `  x )  =  X  ->  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
8584com24 90 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  <_  I  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( P `
 x )  =  X  ->  ( (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
8614adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  ->  x  e.  ZZ )
87 zltp1le 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( I  <  x  <->  ( I  +  1 )  <_  x ) )
8817, 86, 87syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  <  x  <->  ( I  + 
1 )  <_  x
) )
8917peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ZZ )
9089zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
91 leloe 9720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( I  + 
1 )  <_  x  <->  ( ( I  +  1 )  <  x  \/  ( I  +  1 )  =  x ) ) )
9290, 16, 91syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
I  +  1 )  <_  x  <->  ( (
I  +  1 )  <  x  \/  (
I  +  1 )  =  x ) ) )
9388, 92bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  <  x  <->  ( ( I  +  1 )  < 
x  \/  ( I  +  1 )  =  x ) ) )
94 fzofzp1 12008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
95 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
i  <  k  <->  ( I  +  1 )  < 
k ) )
96 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  ( P `  i )  =  ( P `  ( I  +  1
) ) )
9796breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( P `  i
)  <  ( P `  k )  <->  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  k )
) )
9895, 97imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( i  <  k  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  k ) )  <->  ( (
I  +  1 )  <  k  ->  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  k ) ) ) )
99 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  =  x  ->  (
( I  +  1 )  <  k  <->  ( I  +  1 )  < 
x ) )
100 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  x  ->  ( P `  k )  =  ( P `  x ) )
101100breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  =  x  ->  (
( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 k )  <->  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  x )
) )
10299, 101imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  =  x  ->  (
( ( I  + 
1 )  <  k  ->  ( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 k ) )  <-> 
( ( I  + 
1 )  <  x  ->  ( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 x ) ) ) )
10398, 102rspc2v 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0 ... M
) A. k  e.  ( 0 ... M
) ( i  < 
k  ->  ( P `  i )  <  ( P `  k )
)  ->  ( (
I  +  1 )  <  x  ->  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  x ) ) ) )
10494, 29, 103syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0 ... M ) A. k  e.  ( 0 ... M ) ( i  <  k  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  k ) )  -> 
( ( I  + 
1 )  <  x  ->  ( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 x ) ) ) )
10528, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
I  +  1 )  <  x  ->  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  x ) ) )
106 pm3.35 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( I  +  1 )  <  x  /\  ( ( I  + 
1 )  <  x  ->  ( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 x ) ) )  ->  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  x )
)
107 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
108 xrltnsym 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( P `  x
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  (
( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) )  ->  -.  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  x ) ) )
10946, 107, 108syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( P `
 I )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )
)  ->  ( ( P `  x )  <  ( P `  (
I  +  1 ) )  ->  -.  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  x ) ) )
110109imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( P `
 I )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )
)  /\  ( P `  x )  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  x ) )
111110pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( P `
 I )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )
)  /\  ( P `  x )  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  ( ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
112111expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( P `  x )  <  ( P `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( P `
 I )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )
)  ->  ( ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  x )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) ) )
113112expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  x )  <  ( P `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 x )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
114113adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  I
)  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x )  <  ( P `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 x )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
115114com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  x )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
116106, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( I  +  1 )  <  x  /\  ( ( I  + 
1 )  <  x  ->  ( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 x ) ) )  ->  ( (
( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
117116ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( I  +  1 )  <  x  ->  (
( ( I  + 
1 )  <  x  ->  ( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 x ) )  ->  ( ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
118117com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
( I  +  1 )  <  x  -> 
( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 x ) )  ->  ( ( I  +  1 )  < 
x  ->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
119105, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
I  +  1 )  <  x  ->  (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
120119com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  +  1 )  <  x  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
121 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( I  +  1 )  =  x  ->  ( P `  ( I  +  1 ) )  =  ( P `  x ) )
122121breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( I  +  1 )  =  x  ->  (
( P `  I
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) )  <->  ( P `  I )  <  ( P `  x )
) )
123121breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( I  +  1 )  =  x  ->  (
( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 ( I  + 
1 ) )  <->  ( P `  x )  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) ) )
124122, 123anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( I  +  1 )  =  x  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  ( I  +  1 ) )  /\  ( P `  ( I  +  1
) )  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( P `
 I )  < 
( P `  x
)  /\  ( P `  x )  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
125 xrltnr 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  ->  -.  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  ( I  +  1
) ) )
1261253ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  -.  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  ( I  +  1
) ) )
127126pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  (
I  +  1 ) )  <  ( P `
 ( I  + 
1 ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
128127com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
129128adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( P `  I
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) )  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  <  ( P `  ( I  +  1
) ) )  -> 
( ( ( P `
 I )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
130124, 129syl6bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( I  +  1 )  =  x  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( P `
 I )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) )
131130com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  +  1 )  =  x  ->  (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) )
132131a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  +  1 )  =  x  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
133120, 132jaoi 381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( I  +  1 )  <  x  \/  ( I  +  1 )  =  x )  ->  ( ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
134133com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
( I  +  1 )  <  x  \/  ( I  +  1 )  =  x )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
13593, 134sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  <  x  ->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
136135com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
I  <  x  ->  ( ( ( P `  I )  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x
)  <  ( P `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
137136com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P `  I
)  <  ( P `  x )  /\  ( P `  x )  <  ( P `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  (
I  <  x  ->  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
13823, 137syl6bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  x )  =  X  ->  (
( ( P `  I )  <  X  /\  X  <  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
I  <  x  ->  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
139138com14 91 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  <  x  ->  (
( ( P `  I )  <  X  /\  X  <  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  ->  (
( P `  x
)  =  X  -> 
( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
140139com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  <  x  ->  (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  ->  (
( ( P `  I )  <  X  /\  X  <  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) )  ->  ( ( P `
 x )  =  X  ->  ( (
( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
141140impd 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  <  x  ->  (
( ( ( P `
 I )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  /\  ( ( P `  I )  <  X  /\  X  <  ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( P `  x )  =  X  ->  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
142141com24 90 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  <  x  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( P `
 x )  =  X  ->  ( (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
14385, 142jaoi 381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  <_  I  \/  I  <  x )  -> 
( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M ) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( P `
 x )  =  X  ->  ( (
( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
144143com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( (
x  <_  I  \/  I  <  x )  -> 
( ( P `  x )  =  X  ->  ( ( ( ( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
14520, 144mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( P `  x )  =  X  ->  ( ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) )
146145ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
I  e.  ( 0..^ M )  ->  (
( P `  x
)  =  X  -> 
( ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
147146com23 81 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( P `  x
)  =  X  -> 
( I  e.  ( 0..^ M )  -> 
( ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
148147rexlimdva 2879 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( 0 ... M
) ( P `  x )  =  X  ->  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ( ( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) ) )
14913, 148mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 0..^ M )  -> 
( ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) ) )
150149imp 431 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( ( P `  I
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e. 
RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
151150com12 32 . . 3  |-  ( ( ( ( P `  I )  e.  RR*  /\  ( P `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  X  e.  RR* )  /\  (
( P `  I
)  <  X  /\  X  <  ( P `  ( I  +  1
) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
1521, 151sylbi 199 . 2  |-  ( X  e.  ( ( P `
 I ) (,) ( P `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( ph  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
153 ax-1 6 . 2  |-  ( -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1
) ) )  -> 
( ( ph  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  (
( P `  I
) (,) ( P `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
154152, 153pm2.61i 168 1  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( P `  I ) (,) ( P `  ( I  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ran crn 4835    Fn wfn 5577   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   NNcn 10609   ZZcz 10937   (,)cioo 11635   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915  RePartciccp 38727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-ioo 11639  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-iccp 38728
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