Theorem iccpartiltu 38730

Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	|- ( ph -> M e. NN )
iccpartgtprec.p	|- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
iccpartiltu	|- ( ph -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) )

Distinct variable groups:   i, M   P, i   ph, i

Proof of Theorem iccpartiltu

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
2		ral0 3873	. . . . 5 |- A. i e. (/) ( P ` i ) < ( P ` 1 )
3		oveq2 6296	. . . . . . 7 |- ( M = 1 -> ( 1..^ M ) = ( 1..^ 1 ) )
4		fzo0 11939	. . . . . . 7 |- ( 1..^ 1 ) = (/)
5	3, 4	syl6eq 2500	. . . . . 6 |- ( M = 1 -> ( 1..^ M ) = (/) )
6		fveq2 5863	. . . . . . 7 |- ( M = 1 -> ( P ` M ) = ( P ` 1 ) )
7	6	breq2d 4413	. . . . . 6 |- ( M = 1 -> ( ( P ` i ) < ( P ` M ) <-> ( P ` i ) < ( P ` 1 ) ) )
8	5, 7	raleqbidv 3000	. . . . 5 |- ( M = 1 -> ( A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) <-> A. i e. (/) ( P ` i ) < ( P ` 1 ) ) )
9	2, 8	mpbiri 237	. . . 4 |- ( M = 1 -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) )
10	9	2a1d 27	. . 3 |- ( M = 1 -> ( ph -> ( M e. NN -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) ) )
11		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> M e. NN )
12		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )
13	12	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> P e. (RePart ` M ) )
14	13	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> P e. (RePart ` M ) )
15		nnnn0 10873	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
16		nn0fz0 11887	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 <-> M e. ( 0 ... M ) )
17	15, 16	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. ( 0 ... M ) )
18	17	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> M e. ( 0 ... M ) )
19	11, 14, 18	iccpartxr 38727	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> ( P ` M ) e. RR* )
20		elxr 11413	. . . . . . 7 |- ( ( P ` M ) e. RR* <-> ( ( P ` M ) e. RR \/ ( P ` M ) = +oo \/ ( P ` M ) = -oo ) )
21		elfzoelz 11917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> i e. ZZ )
22	21	ad2antll 734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> i e. ZZ )
23		elfzo2 11920	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1..^ M ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) )
24		eluzelz 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> i e. ZZ )
25	24	peano2zd 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
26	25	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
27		simp2 1008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> M e. ZZ )
28		zltp1le 10983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( i < M <-> ( i + 1 ) <_ M ) )
29	24, 28	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> ( i < M <-> ( i + 1 ) <_ M ) )
30	29	biimp3a 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> ( i + 1 ) <_ M )
31		eluz2 11162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( i + 1 ) <_ M ) )
32	26, 27, 30, 31	syl3anbrc 1191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) )
33	23, 32	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) )
34	33	ad2antll 734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) )
35		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = M -> ( P ` k ) = ( P ` M ) )
36	35	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = M -> ( P ` M ) = ( P ` k ) )
37	36	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = M -> ( ( P ` M ) e. RR <-> ( P ` k ) e. RR ) )
38	37	biimpcd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P ` M ) e. RR -> ( k = M -> ( P ` k ) e. RR ) )
39	38	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( k = M -> ( P ` k ) e. RR ) )
40	39	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> ( k = M -> ( P ` k ) e. RR ) )
41	40	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = M -> ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> ( P ` k ) e. RR ) )
42	11	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> M e. NN )
43	42	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> M e. NN )
44	43	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> M e. NN )
45	44	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. k = M /\ ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) ) -> M e. NN )
46	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
47	46	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
48	47	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
49	48	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. k = M /\ ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
50		elfz2 11788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( i ... M ) <-> ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) )
51		eluz2 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ i e. ZZ /\ 1 <_ i ) )
52		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 1 e. RR )
53		zre 10938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( i e. ZZ -> i e. RR )
54	53	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> i e. RR )
55		zre 10938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
56	55	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
57		letr 9724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( 1 e. RR /\ i e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 1 <_ i /\ i <_ k ) -> 1 <_ k ) )
58	52, 54, 56, 57	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ i /\ i <_ k ) -> 1 <_ k ) )
59	58	expcomd 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( i <_ k -> ( 1 <_ i -> 1 <_ k ) ) )
60	59	adantrd 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( i <_ k /\ k <_ M ) -> ( 1 <_ i -> 1 <_ k ) ) )
61	60	3adant2 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( i <_ k /\ k <_ M ) -> ( 1 <_ i -> 1 <_ k ) ) )
62	61	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> ( 1 <_ i -> 1 <_ k ) )
63	62	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( 1 <_ i -> ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> 1 <_ k ) )
64	63	3ad2ant3 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 1 e. ZZ /\ i e. ZZ /\ 1 <_ i ) -> ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> 1 <_ k ) )
65	51, 64	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> 1 <_ k ) )
66	65	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> 1 <_ k ) )
67	23, 66	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> 1 <_ k ) )
68	50, 67	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i ... M ) -> 1 <_ k ) )
69	68	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> 1 <_ k )
70	69	3adant3 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> 1 <_ k )
71		zre 10938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
72	71, 55	anim12ci 570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. RR /\ M e. RR ) )
73	72	3adant1 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. RR /\ M e. RR ) )
74		ltlen 9732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( k e. RR /\ M e. RR ) -> ( k < M <-> ( k <_ M /\ M =/= k ) ) )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k < M <-> ( k <_ M /\ M =/= k ) ) )
76		nesym 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( M =/= k <-> -. k = M )
77	76	anbi2i 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( k <_ M /\ M =/= k ) <-> ( k <_ M /\ -. k = M ) )
78	75, 77	syl6rbb 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k <_ M /\ -. k = M ) <-> k < M ) )
79	78	biimpd 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k <_ M /\ -. k = M ) -> k < M ) )
80	79	expd 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k <_ M -> ( -. k = M -> k < M ) ) )
81	80	adantld 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( i <_ k /\ k <_ M ) -> ( -. k = M -> k < M ) ) )
82	81	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> ( -. k = M -> k < M ) )
83	50, 82	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... M ) -> ( -. k = M -> k < M ) )
84	83	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> k < M )
85	84	3adant1 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> k < M )
86	70, 85	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> ( 1 <_ k /\ k < M ) )
87		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... M ) -> k e. ZZ )
88		1zzd 10965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... M ) -> 1 e. ZZ )
89		elfzel2 11795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... M ) -> M e. ZZ )
90	87, 88, 89	3jca 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( i ... M ) -> ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
91	90	3ad2ant2 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
92		elfzo 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k e. ( 1..^ M ) <-> ( 1 <_ k /\ k < M ) ) )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> ( k e. ( 1..^ M ) <-> ( 1 <_ k /\ k < M ) ) )
94	86, 93	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> k e. ( 1..^ M ) )
95	94	3exp 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i ... M ) -> ( -. k = M -> k e. ( 1..^ M ) ) ) )
96	95	ad2antll 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( k e. ( i ... M ) -> ( -. k = M -> k e. ( 1..^ M ) ) ) )
97	96	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> ( -. k = M -> k e. ( 1..^ M ) ) )
98	97	impcom 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. k = M /\ ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) ) -> k e. ( 1..^ M ) )
99	45, 49, 98	iccpartipre 38729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. k = M /\ ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
100	99	ex 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. k = M -> ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> ( P ` k ) e. RR ) )
101	41, 100	pm2.61i 168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
102	43	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. NN )
103	47	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
104		1eluzge0 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
105		fzoss1 11942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1..^ M ) C_ ( 0..^ M ) )
106	104, 105	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( 1..^ M ) C_ ( 0..^ M ) )
107		elfzoel2 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> M e. ZZ )
108		fzoval 11918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M e. ZZ -> ( i..^ M ) = ( i ... ( M - 1 ) ) )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( i..^ M ) = ( i ... ( M - 1 ) ) )
110	109	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( i ... ( M - 1 ) ) = ( i..^ M ) )
111	110	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i ... ( M - 1 ) ) <-> k e. ( i..^ M ) ) )
112		elfzouz 11921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
113		fzoss1 11942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( i..^ M ) C_ ( 1..^ M ) )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( i..^ M ) C_ ( 1..^ M ) )
115	114	sseld 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i..^ M ) -> k e. ( 1..^ M ) ) )
116	111, 115	sylbid 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> k e. ( 1..^ M ) ) )
117	116	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> k e. ( 1..^ M ) )
118	106, 117	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
119	118	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> k e. ( 0..^ M ) ) )
120	119	ad2antll 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( k e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> k e. ( 0..^ M ) ) )
121	120	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
122		iccpartimp 38725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ P e. (RePart ` M ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
123	102, 103, 121, 122	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
124	123	simprd 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
125	22, 34, 101, 124	smonoord 38712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) )
126	125	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ` M ) e. RR -> ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
127		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> i e. ( 1..^ M ) )
128	42, 46, 127	iccpartipre 38729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
129		ltpnf 11419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P ` i ) e. RR -> ( P ` i ) < +oo )
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < +oo )
131		breq2 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P ` M ) = +oo -> ( ( P ` i ) < ( P ` M ) <-> ( P ` i ) < +oo ) )
132	130, 131	syl5ibr 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ` M ) = +oo -> ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
133	42	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> M e. NN )
134	46	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
135		elfzofz 11932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> i e. ( 1 ... M ) )
136	135	ad2antll 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
137		elfzubelfz 11808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> M e. ( 1 ... M ) )
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> M e. ( 1 ... M ) )
139	133, 134, 138	iccpartgtprec 38728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( P ` ( M - 1 ) ) < ( P ` M ) )
140		breq2 4405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -oo = ( P ` M ) -> ( ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo <-> ( P ` ( M - 1 ) ) < ( P ` M ) ) )
141	140	eqcoms 2458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P ` M ) = -oo -> ( ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo <-> ( P ` ( M - 1 ) ) < ( P ` M ) ) )
142	141	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo <-> ( P ` ( M - 1 ) ) < ( P ` M ) ) )
143	139, 142	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo )
144	15	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> M e. NN0 )
145	144	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> M e. NN0 )
146		nnne0 10639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
147	146	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> M =/= 0 )
148		df-ne 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M =/= 1 <-> -. M = 1 )
149	148	biimpri 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. M = 1 -> M =/= 1 )
150	149	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> M =/= 1 )
151	150	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> M =/= 1 )
152	144, 147, 151	3jca 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> ( M e. NN0 /\ M =/= 0 /\ M =/= 1 ) )
153	152	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( M e. NN0 /\ M =/= 0 /\ M =/= 1 ) )
154		nn0n0n1ge2 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN0 /\ M =/= 0 /\ M =/= 1 ) -> 2 <_ M )
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> 2 <_ M )
156	145, 155	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( M e. NN0 /\ 2 <_ M ) )
157	156	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( M e. NN0 /\ 2 <_ M ) )
158		ige2m1fz 11881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ 2 <_ M ) -> ( M - 1 ) e. ( 0 ... M ) )
159	157, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( M - 1 ) e. ( 0 ... M ) )
160	133, 134, 159	iccpartxr 38727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( P ` ( M - 1 ) ) e. RR* )
161		nltmnf 11428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P ` ( M - 1 ) ) e. RR* -> -. ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo )
162	160, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> -. ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo )
163	143, 162	pm2.21dd 178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) )
164	163	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ` M ) = -oo -> ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
165	126, 132, 164	3jaoi 1330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P ` M ) e. RR \/ ( P ` M ) = +oo \/ ( P ` M ) = -oo ) -> ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
166	165	impl 625	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( P ` M ) e. RR \/ ( P ` M ) = +oo \/ ( P ` M ) = -oo ) /\ ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) )
167	166	ralrimiva 2801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR \/ ( P ` M ) = +oo \/ ( P ` M ) = -oo ) /\ ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) )
168	167	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ` M ) e. RR \/ ( P ` M ) = +oo \/ ( P ` M ) = -oo ) -> ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
169	20, 168	sylbi 199	. . . . . 6 |- ( ( P ` M ) e. RR* -> ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
170	19, 169	mpcom 37	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) )
171	170	ex 436	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> ( M e. NN -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
172	171	expcom 437	. . 3 |- ( -. M = 1 -> ( ph -> ( M e. NN -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) ) )
173	10, 172	pm2.61i 168	. 2 |- ( ph -> ( M e. NN -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
174	1, 173	mpd 15	1 |- ( ph -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   \/ w3o 983   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   C_ wss 3403   (/)c0 3730   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ^m cmap 7469   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   +oocpnf 9669   -oocmnf 9670   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   ...cfz 11781  ..^cfzo 11912  RePartciccp 38721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-iccp 38722

This theorem is referenced by:  iccpartlt  38732  iccpartltu  38733  iccpartgt  38735