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Theorem iccpartiltu 38454
Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
iccpartgtprec.p  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
Assertion
Ref Expression
iccpartiltu  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  i )  <  ( P `  M ) )
Distinct variable groups:    i, M    P, i    ph, i

Proof of Theorem iccpartiltu
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 ral0 3903 . . . . 5  |-  A. i  e.  (/)  ( P `  i )  <  ( P `  1 )
3 oveq2 6311 . . . . . . 7  |-  ( M  =  1  ->  (
1..^ M )  =  ( 1..^ 1 ) )
4 fzo0 11944 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
53, 4syl6eq 2480 . . . . . 6  |-  ( M  =  1  ->  (
1..^ M )  =  (/) )
6 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( M  =  1  ->  ( P `  M )  =  ( P ` 
1 ) )
76breq2d 4433 . . . . . 6  |-  ( M  =  1  ->  (
( P `  i
)  <  ( P `  M )  <->  ( P `  i )  <  ( P `  1 )
) )
85, 7raleqbidv 3040 . . . . 5  |-  ( M  =  1  ->  ( A. i  e.  (
1..^ M ) ( P `  i )  <  ( P `  M )  <->  A. i  e.  (/)  ( P `  i )  <  ( P `  1 )
) )
92, 8mpbiri 237 . . . 4  |-  ( M  =  1  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  i
)  <  ( P `  M ) )
1092a1d 28 . . 3  |-  ( M  =  1  ->  ( ph  ->  ( M  e.  NN  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  i
)  <  ( P `  M ) ) ) )
11 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
12 iccpartgtprec.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
1312adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  1 )  ->  P  e.  (RePart `  M
) )
1413adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
15 nnnn0 10878 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
16 nn0fz0 11892 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  <->  M  e.  (
0 ... M ) )
1715, 16sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
1817adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
1911, 14, 18iccpartxr 38451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `  M )  e.  RR* )
20 elxr 11418 . . . . . . 7  |-  ( ( P `  M )  e.  RR*  <->  ( ( P `
 M )  e.  RR  \/  ( P `
 M )  = +oo  \/  ( P `
 M )  = -oo ) )
21 elfzoelz 11922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  i  e.  ZZ )
2221ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
23 elfzo2 11925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  <->  ( i  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M ) )
24 eluzelz 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  i  e.  ZZ )
2524peano2zd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ZZ )
26253ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  < 
M )  ->  (
i  +  1 )  e.  ZZ )
27 simp2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  < 
M )  ->  M  e.  ZZ )
28 zltp1le 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( i  <  M  <->  ( i  +  1 )  <_  M ) )
2924, 28sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
i  <  M  <->  ( i  +  1 )  <_  M ) )
3029biimp3a 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  < 
M )  ->  (
i  +  1 )  <_  M )
31 eluz2 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  (
i  +  1 ) )  <->  ( ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  <_  M ) )
3226, 27, 30, 31syl3anbrc 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  < 
M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) )
3323, 32sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) )
3433ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) )
35 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  M  ->  ( P `  k )  =  ( P `  M ) )
3635eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  M  ->  ( P `  M )  =  ( P `  k ) )
3736eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  M  ->  (
( P `  M
)  e.  RR  <->  ( P `  k )  e.  RR ) )
3837biimpcd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  M )  e.  RR  ->  (
k  =  M  -> 
( P `  k
)  e.  RR ) )
3938adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  (
k  =  M  -> 
( P `  k
)  e.  RR ) )
4039adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... M
) )  ->  (
k  =  M  -> 
( P `  k
)  e.  RR ) )
4140com12 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  M  ->  (
( ( ( P `
 M )  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... M
) )  ->  ( P `  k )  e.  RR ) )
4211adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  M  e.  NN )
4342adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  M  e.  NN )
4443adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... M
) )  ->  M  e.  NN )
4544adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  k  =  M  /\  ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  (
( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... M
) ) )  ->  M  e.  NN )
4614adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
4746adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  P  e.  (RePart `  M )
)
4847adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... M
) )  ->  P  e.  (RePart `  M )
)
4948adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  k  =  M  /\  ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  (
( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... M
) ) )  ->  P  e.  (RePart `  M
) )
50 elfz2 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( i ... M )  <->  ( (
i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
i  <_  k  /\  k  <_  M ) ) )
51 eluz2 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ  /\  1  <_ 
i ) )
52 1red 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
53 zre 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  RR )
5453adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  i  e.  RR )
55 zre 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
5655adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  RR )
57 letr 9729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  i  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( 1  <_  i  /\  i  <_  k )  ->  1  <_  k
) )
5852, 54, 56, 57syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
i  /\  i  <_  k )  ->  1  <_  k ) )
5958expcomd 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( i  <_  k  ->  ( 1  <_  i  ->  1  <_  k )
) )
6059adantrd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( i  <_ 
k  /\  k  <_  M )  ->  ( 1  <_  i  ->  1  <_  k ) ) )
61603adant2 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( i  <_  k  /\  k  <_  M )  ->  ( 1  <_ 
i  ->  1  <_  k ) ) )
6261imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( i  <_  k  /\  k  <_  M ) )  ->  ( 1  <_  i  ->  1  <_  k ) )
6362com12 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( 1  <_  i  ->  (
( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
i  <_  k  /\  k  <_  M ) )  ->  1  <_  k
) )
64633ad2ant3 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ  /\  1  <_  i )  ->  (
( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
i  <_  k  /\  k  <_  M ) )  ->  1  <_  k
) )
6551, 64sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( i  <_  k  /\  k  <_  M ) )  ->  1  <_  k ) )
66653ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  < 
M )  ->  (
( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
i  <_  k  /\  k  <_  M ) )  ->  1  <_  k
) )
6723, 66sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( (
( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( i  <_  k  /\  k  <_  M ) )  ->  1  <_  k ) )
6850, 67syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( k  e.  ( i ... M
)  ->  1  <_  k ) )
6968imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  k  e.  ( i ... M
) )  ->  1  <_  k )
70693adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  k  e.  ( i ... M
)  /\  -.  k  =  M )  ->  1  <_  k )
71 zre 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
7271, 55anim12ci 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
73723adant1 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  RR  /\  M  e.  RR )
)
74 ltlen 9737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( k  <  M  <->  ( k  <_  M  /\  M  =/=  k ) ) )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  <  M  <->  ( k  <_  M  /\  M  =/=  k ) ) )
76 nesym 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  =/=  k  <->  -.  k  =  M )
7776anbi2i 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( k  <_  M  /\  M  =/=  k )  <->  ( k  <_  M  /\  -.  k  =  M ) )
7875, 77syl6rbb 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( k  <_  M  /\  -.  k  =  M )  <->  k  <  M
) )
7978biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( k  <_  M  /\  -.  k  =  M )  ->  k  <  M ) )
8079expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  <_  M  ->  ( -.  k  =  M  ->  k  <  M
) ) )
8180adantld 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( i  <_  k  /\  k  <_  M )  ->  ( -.  k  =  M  ->  k  < 
M ) ) )
8281imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( i  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( i  <_  k  /\  k  <_  M ) )  ->  ( -.  k  =  M  ->  k  <  M ) )
8350, 82sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( i ... M )  ->  ( -.  k  =  M  ->  k  <  M ) )
8483imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ( i ... M )  /\  -.  k  =  M
)  ->  k  <  M )
85843adant1 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  k  e.  ( i ... M
)  /\  -.  k  =  M )  ->  k  <  M )
8670, 85jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  k  e.  ( i ... M
)  /\  -.  k  =  M )  ->  (
1  <_  k  /\  k  <  M ) )
87 elfzelz 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( i ... M )  ->  k  e.  ZZ )
88 1zzd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( i ... M )  ->  1  e.  ZZ )
89 elfzel2 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( i ... M )  ->  M  e.  ZZ )
9087, 88, 893jca 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( i ... M )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
91903ad2ant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  k  e.  ( i ... M
)  /\  -.  k  =  M )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
92 elfzo 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 1..^ M )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <  M ) ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  k  e.  ( i ... M
)  /\  -.  k  =  M )  ->  (
k  e.  ( 1..^ M )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <  M ) ) )
9486, 93mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  k  e.  ( i ... M
)  /\  -.  k  =  M )  ->  k  e.  ( 1..^ M ) )
95943exp 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( k  e.  ( i ... M
)  ->  ( -.  k  =  M  ->  k  e.  ( 1..^ M ) ) ) )
9695ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  (
k  e.  ( i ... M )  -> 
( -.  k  =  M  ->  k  e.  ( 1..^ M ) ) ) )
9796imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... M
) )  ->  ( -.  k  =  M  ->  k  e.  ( 1..^ M ) ) )
9897impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  k  =  M  /\  ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  (
( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... M
) ) )  -> 
k  e.  ( 1..^ M ) )
9945, 49, 98iccpartipre 38453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  k  =  M  /\  ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  (
( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... M
) ) )  -> 
( P `  k
)  e.  RR )
10099ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  k  =  M  -> 
( ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  (
( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... M
) )  ->  ( P `  k )  e.  RR ) )
10141, 100pm2.61i 168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... M
) )  ->  ( P `  k )  e.  RR )
10243adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  NN )
10347adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  P  e.  (RePart `  M )
)
104 1eluzge0 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
105 fzoss1 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ M )  C_  (
0..^ M ) )
106104, 105mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  k  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
1..^ M )  C_  ( 0..^ M ) )
107 elfzoel2 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  ZZ )
108 fzoval 11923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
i..^ M )  =  ( i ... ( M  -  1 ) ) )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( i..^ M )  =  ( i ... ( M  -  1 ) ) )
110109eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( i ... ( M  -  1 ) )  =  ( i..^ M ) )
111110eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( k  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  <->  k  e.  ( i..^ M ) ) )
112 elfzouz 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
113 fzoss1 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( i..^ M )  C_  (
1..^ M ) )
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( i..^ M )  C_  (
1..^ M ) )
115114sseld 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( k  e.  ( i..^ M )  ->  k  e.  ( 1..^ M ) ) )
116111, 115sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( k  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 1..^ M ) ) )
117116imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  k  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 1..^ M ) )
118106, 117sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  k  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) )
119118ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( k  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) ) )
120119ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  (
k  e.  ( i ... ( M  - 
1 ) )  -> 
k  e.  ( 0..^ M ) ) )
121120imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) )
122 iccpartimp 38449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  P  e.  (RePart `  M
)  /\  k  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P  e.  ( RR*  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
123102, 103, 121, 122syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( P  e.  ( RR*  ^m  ( 0 ... M
) )  /\  ( P `  k )  <  ( P `  (
k  +  1 ) ) ) )
124123simprd 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  /\  k  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( P `  k )  <  ( P `  (
k  +  1 ) ) )
12522, 34, 101, 124smonoord 38436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M
) )
126125ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  M )  e.  RR  ->  (
( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
127 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  i  e.  ( 1..^ M ) )
12842, 46, 127iccpartipre 38453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  i )  e.  RR )
129 ltpnf 11424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  i )  e.  RR  ->  ( P `  i )  < +oo )
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  i )  < +oo )
131 breq2 4425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  M )  = +oo  ->  (
( P `  i
)  <  ( P `  M )  <->  ( P `  i )  < +oo ) )
132130, 131syl5ibr 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  M )  = +oo  ->  (
( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
13342adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  M  e.  NN )
13446adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  P  e.  (RePart `  M )
)
135 elfzofz 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
136135ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
137 elfzubelfz 11813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
139133, 134, 138iccpartgtprec 38452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  ( P `  ( M  -  1 ) )  <  ( P `  M ) )
140 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -oo  =  ( P `  M )  ->  (
( P `  ( M  -  1 ) )  < -oo  <->  ( P `  ( M  -  1 ) )  <  ( P `  M )
) )
141140eqcoms 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  M )  = -oo  ->  (
( P `  ( M  -  1 ) )  < -oo  <->  ( P `  ( M  -  1 ) )  <  ( P `  M )
) )
142141adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  (
( P `  ( M  -  1 ) )  < -oo  <->  ( P `  ( M  -  1 ) )  <  ( P `  M )
) )
143139, 142mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  ( P `  ( M  -  1 ) )  < -oo )
14415adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  NN0 )
145144adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  M  e.  NN0 )
146 nnne0 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
147146adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  ->  M  =/=  0
)
148 df-ne 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  =/=  1  <->  -.  M  =  1 )
149148biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  M  =  1  ->  M  =/=  1 )
150149adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  1 )  ->  M  =/=  1 )
151150adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  ->  M  =/=  1
)
152144, 147, 1513jca 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  e. 
NN0  /\  M  =/=  0  /\  M  =/=  1
) )
153152adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( M  e.  NN0  /\  M  =/=  0  /\  M  =/=  1 ) )
154 nn0n0n1ge2 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  =/=  0  /\  M  =/=  1 )  ->  2  <_  M )
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  2  <_  M )
156145, 155jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( M  e.  NN0  /\  2  <_  M ) )
157156adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  ( M  e.  NN0  /\  2  <_  M ) )
158 ige2m1fz 11886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  2  <_  M )  -> 
( M  -  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
159157, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
160133, 134, 159iccpartxr 38451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  ( P `  ( M  -  1 ) )  e.  RR* )
161 nltmnf 11433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P `  ( M  -  1 ) )  e.  RR*  ->  -.  ( P `  ( M  -  1 ) )  < -oo )
162160, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  -.  ( P `  ( M  -  1 ) )  < -oo )
163143, 162pm2.21dd 178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P `  M
)  = -oo  /\  ( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) ) )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M
) )
164163ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  M )  = -oo  ->  (
( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
165126, 132, 1643jaoi 1328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  \/  ( P `  M )  = +oo  \/  ( P `  M )  = -oo )  ->  (
( ( ( ph  /\ 
-.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
166165impl 625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P `
 M )  e.  RR  \/  ( P `
 M )  = +oo  \/  ( P `
 M )  = -oo )  /\  (
( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )
)  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
)
167166ralrimiva 2840 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR  \/  ( P `  M
)  = +oo  \/  ( P `  M )  = -oo )  /\  ( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN ) )  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  i
)  <  ( P `  M ) )
168167ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  \/  ( P `  M )  = +oo  \/  ( P `  M )  = -oo )  ->  (
( ( ph  /\  -.  M  =  1
)  /\  M  e.  NN )  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  i
)  <  ( P `  M ) ) )
16920, 168sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( ( P `  M )  e.  RR*  ->  ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  i )  <  ( P `  M ) ) )
17019, 169mpcom 38 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  M  =  1 )  /\  M  e.  NN )  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  i )  <  ( P `  M ) )
171170ex 436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  1 )  -> 
( M  e.  NN  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  i )  <  ( P `  M ) ) )
172171expcom 437 . . 3  |-  ( -.  M  =  1  -> 
( ph  ->  ( M  e.  NN  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  i
)  <  ( P `  M ) ) ) )
17310, 172pm2.61i 168 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  i )  <  ( P `  M ) ) )
1741, 173mpd 15 1  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  i )  <  ( P `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    \/ w3o 982    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776    C_ wss 3437   (/)c0 3762   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    ^m cmap 7478   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544   +oocpnf 9674   -oocmnf 9675   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862   NNcn 10611   2c2 10661   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   ...cfz 11786  ..^cfzo 11917  RePartciccp 38445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-iccp 38446
This theorem is referenced by:  iccpartlt  38456  iccpartltu  38457  iccpartgt  38459
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