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Theorem iccpartigtl 38882
Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
iccpartgtprec.p  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
Assertion
Ref Expression
iccpartigtl  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) )
Distinct variable groups:    i, M    P, i    ph, i

Proof of Theorem iccpartigtl
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 3865 . . . 4  |-  A. i  e.  (/)  ( P ` 
0 )  <  ( P `  i )
2 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( M  =  1  ->  (
1..^ M )  =  ( 1..^ 1 ) )
3 fzo0 11969 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
42, 3syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( M  =  1  ->  (
1..^ M )  =  (/) )
54raleqdv 2979 . . . 4  |-  ( M  =  1  ->  ( A. i  e.  (
1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i )  <->  A. i  e.  (/)  ( P ` 
0 )  <  ( P `  i )
) )
61, 5mpbiri 241 . . 3  |-  ( M  =  1  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  0
)  <  ( P `  i ) )
76a1d 25 . 2  |-  ( M  =  1  ->  ( ph  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) ) )
8 iccpartgtprec.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
9 iccpartgtprec.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
108nnnn0d 10949 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
11 0elfz 11915 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
1210, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
138, 9, 12iccpartxr 38878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  e.  RR* )
1413adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  1 )  -> 
( P `  0
)  e.  RR* )
15 elxr 11439 . . . . 5  |-  ( ( P `  0 )  e.  RR*  <->  ( ( P `
 0 )  e.  RR  \/  ( P `
 0 )  = +oo  \/  ( P `
 0 )  = -oo ) )
16 0zd 10973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  0  e.  ZZ )
17 elfzouz 11951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
18 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1918fveq2i 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  1 )
2017, 19syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
2120adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
22 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
2322eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  k ) )
2423eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
( P `  0
)  e.  RR  <->  ( P `  k )  e.  RR ) )
2524biimpcd 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  0 )  e.  RR  ->  (
k  =  0  -> 
( P `  k
)  e.  RR ) )
2625ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P `
 0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\ 
-.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
k  =  0  -> 
( P `  k
)  e.  RR ) )
278adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  ( k  e.  ( 0 ... i
)  /\  k  =/=  0 ) ) )  ->  M  e.  NN )
289adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  ( k  e.  ( 0 ... i
)  /\  k  =/=  0 ) ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
29 elfz2nn0 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 0 ... i )  <->  ( k  e.  NN0  /\  i  e. 
NN0  /\  k  <_  i ) )
30 elfzo2 11950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  <->  ( i  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M ) )
31 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0  /\  k  <_  i )  /\  ( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
32 simpr2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0  /\  k  <_  i )  /\  ( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M ) )  ->  M  e.  ZZ )
33 nn0ge0 10919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  NN0  ->  0  <_ 
i )
34 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
35 eluzelre 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  i  e.  RR )
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  i  e.  RR )
37 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
39 lelttr 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  i  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  i  /\  i  <  M )  ->  0  <  M
) )
4034, 36, 38, 39syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( 0  <_  i  /\  i  <  M )  ->  0  <  M
) )
4140expcomd 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
i  <  M  ->  ( 0  <_  i  ->  0  <  M ) ) )
42413impia 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  < 
M )  ->  (
0  <_  i  ->  0  <  M ) )
4333, 42syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  < 
M )  ->  0  <  M ) )
44433ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0  /\  k  <_  i )  ->  (
( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M )  ->  0  <  M ) )
4544imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0  /\  k  <_  i )  /\  ( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M ) )  -> 
0  <  M )
46 elnnz 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  NN  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  < 
M ) )
4732, 45, 46sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0  /\  k  <_  i )  /\  ( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M ) )  ->  M  e.  NN )
48 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
4948ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )
)  ->  k  e.  RR )
50 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )  -> 
i  e.  RR )
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )
)  ->  i  e.  RR )
5338adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )
)  ->  M  e.  RR )
54 lelttr 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( k  e.  RR  /\  i  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( k  <_  i  /\  i  <  M )  ->  k  <  M
) )
5554expd 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( k  e.  RR  /\  i  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
k  <_  i  ->  ( i  <  M  -> 
k  <  M )
) )
5649, 52, 53, 55syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )
)  ->  ( k  <_  i  ->  ( i  <  M  ->  k  <  M ) ) )
5756exp31 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( (
k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( k  <_  i  ->  ( i  <  M  ->  k  <  M ) ) ) ) )
5857com34 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( k  <_  i  ->  ( (
k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( i  <  M  ->  k  <  M ) ) ) ) )
5958com35 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( i  <  M  ->  ( (
k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( k  <_  i  ->  k  <  M ) ) ) ) )
60593imp 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  < 
M )  ->  (
( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( k  <_  i  ->  k  <  M ) ) )
6160expdcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( i  e.  NN0  ->  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  < 
M )  ->  (
k  <_  i  ->  k  <  M ) ) ) )
6261com34 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( i  e.  NN0  ->  ( k  <_  i  ->  (
( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M )  ->  k  <  M ) ) ) )
63623imp1 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0  /\  k  <_  i )  /\  ( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M ) )  -> 
k  <  M )
64 elfzo0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 0..^ M )  <->  ( k  e. 
NN0  /\  M  e.  NN  /\  k  <  M
) )
6531, 47, 63, 64syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0  /\  k  <_  i )  /\  ( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M ) )  -> 
k  e.  ( 0..^ M ) )
6665ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0  /\  k  <_  i )  ->  (
( i  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) ) )
6730, 66syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  i  e.  NN0  /\  k  <_  i )  ->  (
i  e.  ( 1..^ M )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) ) )
6829, 67sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... i )  ->  (
i  e.  ( 1..^ M )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) ) )
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... i )  /\  k  =/=  0 )  -> 
( i  e.  ( 1..^ M )  -> 
k  e.  ( 0..^ M ) ) )
7069impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  (
k  e.  ( 0 ... i )  /\  k  =/=  0 ) )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) )
71 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... i )  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  =/=  0 )
7271adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  (
k  e.  ( 0 ... i )  /\  k  =/=  0 ) )  ->  k  =/=  0
)
73 fzo1fzo0n0 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1..^ M )  <->  ( k  e.  ( 0..^ M )  /\  k  =/=  0
) )
7470, 72, 73sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  (
k  e.  ( 0 ... i )  /\  k  =/=  0 ) )  ->  k  e.  ( 1..^ M ) )
7574adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  ( k  e.  ( 0 ... i
)  /\  k  =/=  0 ) ) )  ->  k  e.  ( 1..^ M ) )
7627, 28, 75iccpartipre 38880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 1..^ M )  /\  ( k  e.  ( 0 ... i
)  /\  k  =/=  0 ) ) )  ->  ( P `  k )  e.  RR )
7776exp32 616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 1..^ M )  -> 
( ( k  e.  ( 0 ... i
)  /\  k  =/=  0 )  ->  ( P `  k )  e.  RR ) ) )
7877ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( ( k  e.  ( 0 ... i )  /\  k  =/=  0 )  ->  ( P `  k )  e.  RR ) ) )
7978imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( (
k  e.  ( 0 ... i )  /\  k  =/=  0 )  -> 
( P `  k
)  e.  RR ) )
8079expdimp 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P `
 0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\ 
-.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
k  =/=  0  -> 
( P `  k
)  e.  RR ) )
8126, 80pm2.61dne 2729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P `
 0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\ 
-.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  ( P `  k )  e.  RR )
828adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  1 )  ->  M  e.  NN )
8382ad3antlr 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P `
 0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\ 
-.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  /\  k  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  M  e.  NN )
849adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  1 )  ->  P  e.  (RePart `  M
) )
8584ad3antlr 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P `
 0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\ 
-.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  /\  k  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  P  e.  (RePart `  M )
)
86 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  i  e.  ZZ )
8786adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  i  e.  ZZ )
88 fzoval 11948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0..^ i )  =  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )
8988eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( i  - 
1 ) )  =  ( 0..^ i ) )
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( 0 ... ( i  - 
1 ) )  =  ( 0..^ i ) )
9190eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) )  <->  k  e.  ( 0..^ i ) ) )
92 elfzouz2 11961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  i )
)
9392adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  i )
)
94 fzoss2 11973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( 0..^ i )  C_  (
0..^ M ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( 0..^ i )  C_  (
0..^ M ) )
9695sseld 3417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( k  e.  ( 0..^ i )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) ) )
9791, 96sylbid 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) ) )
9897imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P `
 0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\ 
-.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  /\  k  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) )
99 iccpartimp 38876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  P  e.  (RePart `  M
)  /\  k  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P  e.  ( RR*  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
10083, 85, 98, 99syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P `
 0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\ 
-.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  /\  k  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( P  e.  ( RR*  ^m  ( 0 ... M
) )  /\  ( P `  k )  <  ( P `  (
k  +  1 ) ) ) )
101100simprd 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P `
 0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\ 
-.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  /\  k  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( P `  k )  <  ( P `  (
k  +  1 ) ) )
10216, 21, 81, 101smonoord 38863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  0 )  < 
( P `  i
) )
103102ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  RR  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) )
104103ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( P `  0 )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  -.  M  =  1 )  ->  A. i  e.  (
1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) ) )
105 lbfzo0 11983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  ( 0..^ M )  <->  M  e.  NN )
1068, 105sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
1078, 9, 1063jca 1210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  P  e.  (RePart `  M )  /\  0  e.  ( 0..^ M ) ) )
108107ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P `  0
)  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  ( M  e.  NN  /\  P  e.  (RePart `  M )  /\  0  e.  (
0..^ M ) ) )
109108adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( M  e.  NN  /\  P  e.  (RePart `  M )  /\  0  e.  (
0..^ M ) ) )
110 iccpartimp 38876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  P  e.  (RePart `  M
)  /\  0  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P  e.  ( RR*  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( P ` 
0 )  <  ( P `  ( 0  +  1 ) ) ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P  e.  ( RR*  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( P ` 
0 )  <  ( P `  ( 0  +  1 ) ) ) )
112111simprd 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  0 )  < 
( P `  (
0  +  1 ) ) )
113 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  0 )  = +oo  ->  (
( P `  0
)  <  ( P `  ( 0  +  1 ) )  <-> +oo  <  ( P `  ( 0  +  1 ) ) ) )
114113adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P `  0
)  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  ( ( P `
 0 )  < 
( P `  (
0  +  1 ) )  <-> +oo  <  ( P `  ( 0  +  1 ) ) ) )
115114adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( ( P `  0 )  <  ( P `  (
0  +  1 ) )  <-> +oo  <  ( P `  ( 0  +  1 ) ) ) )
116112, 115mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  -> +oo  <  ( P `  ( 0  +  1 ) ) )
1178ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P `  0
)  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  M  e.  NN )
118117adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  M  e.  NN )
1199ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P `  0
)  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
120119adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
121 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN0
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
123 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
124 nnge1 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
125122, 123, 1243jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  1  <_  M ) )
1268, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  1  <_  M ) )
127 elfz2nn0 11911 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  M  e. 
NN0  /\  1  <_  M ) )
128126, 127sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 0 ... M ) )
12918, 128syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
130129ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P `  0
)  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  ( 0  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
131130adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( 0  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
132118, 120, 131iccpartxr 38878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  ( 0  +  1 ) )  e.  RR* )
133 pnfnlt 11453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  ( 0  +  1 ) )  e.  RR*  ->  -. +oo  <  ( P `  (
0  +  1 ) ) )
134132, 133syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  -. +oo  <  ( P `  ( 0  +  1 ) ) )
135116, 134pm2.21dd 179 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  0 )  < 
( P `  i
) )
136135ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  0
)  = +oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) )
137136ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( P `  0 )  = +oo  ->  (
( ph  /\  -.  M  =  1 )  ->  A. i  e.  (
1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) ) )
1388adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  M  e.  NN )
1399adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
140 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  i  e.  ( 1..^ M ) )
141138, 139, 140iccpartipre 38880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  ->  ( P `  i )  e.  RR )
142 mnflt 11448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  i )  e.  RR  -> -oo  <  ( P `  i ) )
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1..^ M ) )  -> -oo  <  ( P `
 i ) )
144143ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) -oo  <  ( P `  i
) )
145144ad2antrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P `  0
)  = -oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) -oo  <  ( P `  i
) )
146 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  0 )  = -oo  ->  (
( P `  0
)  <  ( P `  i )  <-> -oo  <  ( P `  i )
) )
147146adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  0
)  = -oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  ( ( P `
 0 )  < 
( P `  i
)  <-> -oo  <  ( P `  i ) ) )
148147ralbidv 2829 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P `  0
)  = -oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  0
)  <  ( P `  i )  <->  A. i  e.  ( 1..^ M ) -oo  <  ( P `  i ) ) )
149145, 148mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  0
)  = -oo  /\  ( ph  /\  -.  M  =  1 ) )  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) )
150149ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( P `  0 )  = -oo  ->  (
( ph  /\  -.  M  =  1 )  ->  A. i  e.  (
1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) ) )
151104, 137, 1503jaoi 1357 . . . . 5  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  RR  \/  ( P `  0 )  = +oo  \/  ( P `  0 )  = -oo )  ->  (
( ph  /\  -.  M  =  1 )  ->  A. i  e.  (
1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) ) )
15215, 151sylbi 200 . . . 4  |-  ( ( P `  0 )  e.  RR*  ->  ( (
ph  /\  -.  M  =  1 )  ->  A. i  e.  (
1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) ) )
15314, 152mpcom 36 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  1 )  ->  A. i  e.  (
1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) )
154153expcom 442 . 2  |-  ( -.  M  =  1  -> 
( ph  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  0
)  <  ( P `  i ) ) )
1557, 154pm2.61i 169 1  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  i ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942  RePartciccp 38872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-iccp 38873
This theorem is referenced by:  iccpartlt  38883  iccpartgtl  38885  iccpartgt  38886
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