Theorem iccpartgt 38741

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the bounds are strictly ordered. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	|- ( ph -> M e. NN )
iccpartgtprec.p	|- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
iccpartgt	|- ( ph -> A. i e. ( 0 ... M ) A. j e. ( 0 ... M ) ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )

Distinct variable groups:   i, M   P, i   ph, i   j, M   P, j, i   ph, j

Proof of Theorem iccpartgt

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	nnnn0d 10925	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN0 )
3		elnn0uz 11196	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 <-> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4	2, 3	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		fzpred 11844	. . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0 ... M ) = ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... M ) ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... M ) ) )
7		0p1e1 10721	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
8	7	oveq1i 6300	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 + 1 ) ... M ) = ( 1 ... M )
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... M ) = ( 1 ... M ) )
10	9	uneq2d 3588	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... M ) ) = ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) )
11	6, 10	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) )
12	11	eleq2d 2514	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. ( 0 ... M ) <-> i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) ) )
13		elun 3574	. . . . . . 7 |- ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) <-> ( i e. { 0 } \/ i e. ( 1 ... M ) ) )
14		elsn 3982	. . . . . . . 8 |- ( i e. { 0 } <-> i = 0 )
15	14	orbi1i 523	. . . . . . 7 |- ( ( i e. { 0 } \/ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) )
16	13, 15	bitri 253	. . . . . 6 |- ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) <-> ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) )
17		fzisfzounsn 12020	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0 ... M ) = ( ( 0..^ M ) u. { M } ) )
18	4, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = ( ( 0..^ M ) u. { M } ) )
19	18	eleq2d 2514	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> j e. ( ( 0..^ M ) u. { M } ) ) )
20		elun 3574	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ( 0..^ M ) u. { M } ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j e. { M } ) )
21		elsn 3982	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. { M } <-> j = M )
22	21	orbi2i 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j e. { M } ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) )
23	20, 22	bitri 253	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ( 0..^ M ) u. { M } ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) )
24	19, 23	syl6bb 265	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) ) )
25		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )
26	1, 25	iccpartigtl 38737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) )
27		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> j e. ( 0..^ M ) )
28		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> 0 < j )
29	28	gt0ne0d 10178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> j =/= 0 )
30		fzo1fzo0n0 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. ( 1..^ M ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) /\ j =/= 0 ) )
31	27, 29, 30	sylanbrc 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> j e. ( 1..^ M ) )
32	31	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) ) -> j e. ( 1..^ M ) )
33		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = j -> ( P ` k ) = ( P ` j ) )
34	33	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = j -> ( ( P ` 0 ) < ( P ` k ) <-> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
35	34	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 1..^ M ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
36	32, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
37	36	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) ) )
38	26, 37	mpid 42	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
39	38	expd 438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( j e. ( 0..^ M ) -> ( 0 < j -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) ) )
40	39	impcom 432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ph ) -> ( 0 < j -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
41		breq1 4405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = 0 -> ( i < j <-> 0 < j ) )
42		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = 0 -> ( P ` i ) = ( P ` 0 ) )
43	42	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = 0 -> ( ( P ` i ) < ( P ` j ) <-> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
44	41, 43	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = 0 -> ( ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) <-> ( 0 < j -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) ) )
45	40, 44	syl5ibr 225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = 0 -> ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ph ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
46	45	expd 438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = 0 -> ( j e. ( 0..^ M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
47	46	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( i = 0 -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
48	1, 25	iccpartlt 38738	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P ` 0 ) < ( P ` M ) )
49		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = M -> ( P ` j ) = ( P ` M ) )
50	42, 49	breqan12rd 4419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j = M /\ i = 0 ) -> ( ( P ` i ) < ( P ` j ) <-> ( P ` 0 ) < ( P ` M ) ) )
51	48, 50	syl5ibr 225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j = M /\ i = 0 ) -> ( ph -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )
52	51	a1dd 47	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j = M /\ i = 0 ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
53	52	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = M -> ( i = 0 -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
54	47, 53	jaoi 381	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( i = 0 -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
55	54	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 0 -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
56		elfzelz 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. ZZ )
57	56	ad3antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> i e. ZZ )
58	56	peano2zd 11043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
59	58	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
60		elfzoelz 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. ZZ )
61	60	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> j e. ZZ )
62		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> i < j )
63	60, 56	anim12ci 571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
64	63	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
65		zltp1le 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( i < j <-> ( i + 1 ) <_ j ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i < j <-> ( i + 1 ) <_ j ) )
67	62, 66	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i + 1 ) <_ j )
68	59, 61, 67	3jca 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ j e. ZZ /\ ( i + 1 ) <_ j ) )
69	68	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ j e. ZZ /\ ( i + 1 ) <_ j ) )
70		eluz2 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ j e. ZZ /\ ( i + 1 ) <_ j ) )
71	69, 70	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> j e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) )
72	1	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> M e. NN )
73	25	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
74		1zzd 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> 1 e. ZZ )
75		elfzelz 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( i ... j ) -> k e. ZZ )
76	75	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. ZZ )
77		elfzle1 11802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 1 <_ i )
78		elfzle1 11802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( i ... j ) -> i <_ k )
79		1red 9658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... j ) -> 1 e. RR )
80		elfzel1 11799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( i ... j ) -> i e. ZZ )
81	80	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... j ) -> i e. RR )
82	75	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... j ) -> k e. RR )
83		letr 9727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 e. RR /\ i e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 1 <_ i /\ i <_ k ) -> 1 <_ k ) )
84	79, 81, 82, 83	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( i ... j ) -> ( ( 1 <_ i /\ i <_ k ) -> 1 <_ k ) )
85	78, 84	mpan2d 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( i ... j ) -> ( 1 <_ i -> 1 <_ k ) )
86	77, 85	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( k e. ( i ... j ) -> 1 <_ k ) )
87	86	ad3antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( k e. ( i ... j ) -> 1 <_ k ) )
88	87	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> 1 <_ k )
89		eluz2 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ k e. ZZ /\ 1 <_ k ) )
90	74, 76, 88, 89	syl3anbrc 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
91		elfzel2 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> M e. ZZ )
92	91	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> M e. ZZ )
93	92	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> M e. ZZ )
94	82	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. RR )
95	60	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. RR )
96	95	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> j e. RR )
97	72	nnred 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> M e. RR )
98		elfzle2 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( i ... j ) -> k <_ j )
99	98	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k <_ j )
100		elfzolt2 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j < M )
101	100	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> j < M )
102	94, 96, 97, 99, 101	lelttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k < M )
103		elfzo2 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1..^ M ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ k < M ) )
104	90, 93, 102, 103	syl3anbrc 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. ( 1..^ M ) )
105	72, 73, 104	iccpartipre 38735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
106	1	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> M e. NN )
107	25	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
108	60	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> j e. ZZ )
109		fzoval 11921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ZZ -> ( i..^ j ) = ( i ... ( j - 1 ) ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( i..^ j ) = ( i ... ( j - 1 ) ) )
111		elfzo0le 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j <_ M )
112		0le1 10137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 <_ 1
113		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 0 e. RR )
114		1red 9658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 1 e. RR )
115	56	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. RR )
116		letr 9727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ i e. RR ) -> ( ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ i ) -> 0 <_ i ) )
117	113, 114, 115, 116	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ i ) -> 0 <_ i ) )
118	112, 117	mpani 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( 1 <_ i -> 0 <_ i ) )
119	77, 118	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 0 <_ i )
120	111, 119	anim12ci 571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) )
121	120	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) )
122		0zd 10949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> 0 e. ZZ )
123		elfzoel2 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> M e. ZZ )
124	122, 123	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
125	124	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
126		ssfzo12bi 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ i < j ) -> ( ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) ) )
127	64, 125, 62, 126	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) ) )
128	121, 127	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) )
129	128	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) )
130	110, 129	eqsstr3d 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( i ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0..^ M ) )
131	130	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
132		iccpartimp 38731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN /\ P e. (RePart ` M ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
133	106, 107, 131, 132	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
134	133	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
135	57, 71, 105, 134	smonoord 38718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( P ` i ) < ( P ` j ) )
136	135	exp31 609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i < j -> ( ph -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
137	136	com23 81	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
138	137	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
139	1, 25	iccpartiltu 38736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` k ) < ( P ` M ) )
140		elfzuz 11796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
141	140	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
142	91	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> M e. ZZ )
143		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> i < M )
144		elfzo2 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( 1..^ M ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) )
145	141, 142, 143, 144	syl3anbrc 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> i e. ( 1..^ M ) )
146	145	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) ) -> i e. ( 1..^ M ) )
147		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = i -> ( P ` k ) = ( P ` i ) )
148	147	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = i -> ( ( P ` k ) < ( P ` M ) <-> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
149	148	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` k ) < ( P ` M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
150	146, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` k ) < ( P ` M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
151	150	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` k ) < ( P ` M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) ) )
152	139, 151	mpid 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
153	152	expd 438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( i < M -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) ) )
154	153	impcom 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) -> ( i < M -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
155	154	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) )
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = M -> ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
157		breq2 4406	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = M -> ( i < j <-> i < M ) )
158	157	anbi2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = M -> ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < j ) <-> ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < M ) ) )
159	49	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = M -> ( ( P ` i ) < ( P ` j ) <-> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
160	156, 158, 159	3imtr4d 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = M -> ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < j ) -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )
161	160	exp4c 613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = M -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
162	138, 161	jaoi 381	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
163	162	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
164	55, 163	jaoi 381	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
165	164	com13 83	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
166	24, 165	sylbid 219	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
167	166	com3r 82	. . . . . 6 |- ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
168	16, 167	sylbi 199	. . . . 5 |- ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) -> ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
169	168	com12 32	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
170	12, 169	sylbid 219	. . 3 |- ( ph -> ( i e. ( 0 ... M ) -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
171	170	imp32 435	. 2 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )
172	171	ralrimivva 2809	1 |- ( ph -> A. i e. ( 0 ... M ) A. j e. ( 0 ... M ) ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   u. cun 3402   C_ wss 3404   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915  RePartciccp 38727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-iccp 38728

This theorem is referenced by:  icceuelpartlem  38749  iccpartnel  38752