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Theorem iccpartgt 38886
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the bounds are strictly ordered. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
iccpartgtprec.p  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
Assertion
Ref Expression
iccpartgt  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0 ... M ) A. j  e.  ( 0 ... M ) ( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) )
Distinct variable groups:    i, M    P, i    ph, i    j, M    P, j, i    ph, j

Proof of Theorem iccpartgt
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21nnnn0d 10949 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
3 elnn0uz 11220 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  <->  M  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
42, 3sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
5 fzpred 11870 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... M )  =  ( { 0 }  u.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) ) )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  =  ( { 0 }  u.  (
( 0  +  1 ) ... M ) ) )
7 0p1e1 10743 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
87oveq1i 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 ) ... M )  =  ( 1 ... M
)
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... M
)  =  ( 1 ... M ) )
109uneq2d 3579 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { 0 }  u.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) )  =  ( { 0 }  u.  ( 1 ... M ) ) )
116, 10eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  =  ( { 0 }  u.  (
1 ... M ) ) )
1211eleq2d 2534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0 ... M )  <-> 
i  e.  ( { 0 }  u.  (
1 ... M ) ) ) )
13 elun 3565 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( { 0 }  u.  ( 1 ... M ) )  <-> 
( i  e.  {
0 }  \/  i  e.  ( 1 ... M
) ) )
14 elsn 3973 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { 0 }  <-> 
i  =  0 )
1514orbi1i 529 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  { 0 }  \/  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M
) ) )
1613, 15bitri 257 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( { 0 }  u.  ( 1 ... M ) )  <-> 
( i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
17 fzisfzounsn 12051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... M )  =  ( ( 0..^ M )  u.  { M } ) )
184, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  =  ( ( 0..^ M )  u. 
{ M } ) )
1918eleq2d 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0 ... M )  <-> 
j  e.  ( ( 0..^ M )  u. 
{ M } ) ) )
20 elun 3565 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ( 0..^ M )  u.  { M } )  <->  ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  e.  { M } ) )
21 elsn 3973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  { M }  <->  j  =  M )
2221orbi2i 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  e.  { M } )  <-> 
( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M ) )
2320, 22bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( ( 0..^ M )  u.  { M } )  <->  ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M ) )
2419, 23syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0 ... M )  <-> 
( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M ) ) )
25 iccpartgtprec.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
261, 25iccpartigtl 38882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  k ) )
27 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j )  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
28 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j )  ->  0  <  j )
2928gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j )  ->  j  =/=  0 )
30 fzo1fzo0n0 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ( 1..^ M )  <->  ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  j  =/=  0
) )
3127, 29, 30sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j )  ->  j  e.  ( 1..^ M ) )
3231adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j
) )  ->  j  e.  ( 1..^ M ) )
33 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  j  ->  ( P `  k )  =  ( P `  j ) )
3433breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  j  ->  (
( P `  0
)  <  ( P `  k )  <->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) )
3534rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1..^ M )  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `
 0 )  < 
( P `  k
)  ->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) )
3632, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j
) )  ->  ( A. k  e.  (
1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  k )  ->  ( P `  0 )  <  ( P `  j
) ) )
3736ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j
)  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `
 0 )  < 
( P `  k
)  ->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) ) )
3826, 37mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j
)  ->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) )
3938expd 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0..^ M )  -> 
( 0  <  j  ->  ( P `  0
)  <  ( P `  j ) ) ) )
4039impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ph )  ->  ( 0  < 
j  ->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) )
41 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  0  ->  (
i  <  j  <->  0  <  j ) )
42 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
0 ) )
4342breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  0  ->  (
( P `  i
)  <  ( P `  j )  <->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) )
4441, 43imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) )  <->  ( 0  <  j  ->  ( P `  0 )  <  ( P `  j
) ) ) )
4540, 44syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  0  ->  (
( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ph )  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) )
4645expd 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  0  ->  (
j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ph  ->  ( i  < 
j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) ) )
4746com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  =  0  ->  ( ph  ->  ( i  < 
j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) ) )
481, 25iccpartlt 38883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  <  ( P `  M ) )
49 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  M  ->  ( P `  j )  =  ( P `  M ) )
5042, 49breqan12rd 4412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  =  M  /\  i  =  0 )  ->  ( ( P `
 i )  < 
( P `  j
)  <->  ( P ` 
0 )  <  ( P `  M )
) )
5148, 50syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  =  M  /\  i  =  0 )  ->  ( ph  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j ) ) )
5251a1dd 46 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  =  M  /\  i  =  0 )  ->  ( ph  ->  ( i  <  j  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) )
5352ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  M  ->  (
i  =  0  -> 
( ph  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j
) ) ) ) )
5447, 53jaoi 386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  (
i  =  0  -> 
( ph  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j
) ) ) ) )
5554com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  (
( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  ( ph  ->  ( i  <  j  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
56 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  ZZ )
5756ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  i  e.  ZZ )
5856peano2zd 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
i  +  1 )  e.  ZZ )
5958ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ZZ )
60 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ZZ )
6160ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  j  e.  ZZ )
62 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  i  <  j )
6360, 56anim12ci 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )
)
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
65 zltp1le 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  <  j  <->  ( i  +  1 )  <_  j ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( i  <  j  <->  ( i  +  1 )  <_  j
) )
6762, 66mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( i  +  1 )  <_ 
j )
6859, 61, 673jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( (
i  +  1 )  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  <_ 
j ) )
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  <_ 
j ) )
70 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
i  +  1 ) )  <->  ( ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  <_ 
j ) )
7169, 70sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) )
721ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  M  e.  NN )
7325ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
74 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  1  e.  ZZ )
75 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  k  e.  ZZ )
7675adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  e.  ZZ )
77 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  1  <_  i )
78 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  i  <_  k )
79 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  1  e.  RR )
80 elfzel1 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  i  e.  ZZ )
8180zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  i  e.  RR )
8275zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  k  e.  RR )
83 letr 9745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  i  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( 1  <_  i  /\  i  <_  k )  ->  1  <_  k
) )
8479, 81, 82, 83syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  (
( 1  <_  i  /\  i  <_  k )  ->  1  <_  k
) )
8578, 84mpan2d 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  (
1  <_  i  ->  1  <_  k ) )
8677, 85syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
k  e.  ( i ... j )  -> 
1  <_  k )
)
8786ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( k  e.  ( i ... j
)  ->  1  <_  k ) )
8887imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  1  <_  k )
89 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k ) )
9074, 76, 88, 89syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
91 elfzel2 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  M  e.  ZZ )
9291ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  M  e.  ZZ )
9392ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  M  e.  ZZ )
9482adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  e.  RR )
9560zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  RR )
9695ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  j  e.  RR )
9772nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  M  e.  RR )
98 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  k  <_  j )
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  <_  j )
100 elfzolt2 11956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  <  M )
101100ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  j  <  M )
10294, 96, 97, 99, 101lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  <  M )
103 elfzo2 11950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1..^ M )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  k  <  M ) )
10490, 93, 102, 103syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  e.  ( 1..^ M ) )
10572, 73, 104iccpartipre 38880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  ( P `  k )  e.  RR )
1061ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... ( j  -  1 ) ) )  ->  M  e.  NN )
10725ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... ( j  -  1 ) ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
10860ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  j  e.  ZZ )
109 fzoval 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
i..^ j )  =  ( i ... (
j  -  1 ) ) )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( i..^ j )  =  ( i ... ( j  - 
1 ) ) )
111 elfzo0le 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  <_  M )
112 0le1 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <_  1
113 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  e.  RR )
114 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  1  e.  RR )
11556zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  RR )
116 letr 9745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  i  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  1  /\  1  <_  i )  ->  0  <_  i
) )
117113, 114, 115, 116syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( 0  <_  1  /\  1  <_  i )  ->  0  <_  i
) )
118112, 117mpani 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
1  <_  i  ->  0  <_  i ) )
11977, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <_  i )
120111, 119anim12ci 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
0  <_  i  /\  j  <_  M ) )
121120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( 0  <_  i  /\  j  <_  M ) )
122 0zd 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  0  e.  ZZ )
123 elfzoel2 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  M  e.  ZZ )
124122, 123jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
125124ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
126 ssfzo12bi 12035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  i  <  j )  ->  (
( i..^ j ) 
C_  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_ 
i  /\  j  <_  M ) ) )
12764, 125, 62, 126syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( (
i..^ j )  C_  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  i  /\  j  <_  M ) ) )
128121, 127mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( i..^ j )  C_  (
0..^ M ) )
129128adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( i..^ j )  C_  ( 0..^ M ) )
130110, 129eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( i ... ( j  -  1 ) )  C_  (
0..^ M ) )
131130sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... ( j  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) )
132 iccpartimp 38876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN  /\  P  e.  (RePart `  M
)  /\  k  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P  e.  ( RR*  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
133106, 107, 131, 132syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... ( j  -  1 ) ) )  ->  ( P  e.  ( RR*  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
134133simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... ( j  -  1 ) ) )  ->  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
13557, 71, 105, 134smonoord 38863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
)
136135exp31 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
i  <  j  ->  (
ph  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) )
137136com23 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  ->  ( i  < 
j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) )
138137ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  e.  ( 1 ... M
)  ->  ( ph  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
1391, 25iccpartiltu 38881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `  k )  <  ( P `  M ) )
140 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
141140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  i  <  M )  -> 
i  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
14291adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  i  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
143 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  i  <  M )  -> 
i  <  M )
144 elfzo2 11950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  <->  ( i  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M ) )
145141, 142, 143, 144syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  i  <  M )  -> 
i  e.  ( 1..^ M ) )
146145adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  i  <  M ) )  ->  i  e.  ( 1..^ M ) )
147 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  i  ->  ( P `  k )  =  ( P `  i ) )
148147breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  i  ->  (
( P `  k
)  <  ( P `  M )  <->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
149148rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `
 k )  < 
( P `  M
)  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
150146, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  i  <  M ) )  ->  ( A. k  e.  (
1..^ M ) ( P `  k )  <  ( P `  M )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M
) ) )
151150ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  i  <  M )  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `
 k )  < 
( P `  M
)  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) ) )
152139, 151mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  i  <  M )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
153152expd 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  ( i  < 
M  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) ) )
154153impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ph )  ->  ( i  <  M  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
155154imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ph )  /\  i  <  M )  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  M ) )
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  M  ->  (
( ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  ph )  /\  i  <  M )  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  M ) ) )
157 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  M  ->  (
i  <  j  <->  i  <  M ) )
158157anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  M  ->  (
( ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  ph )  /\  i  <  j )  <->  ( (
i  e.  ( 1 ... M )  /\  ph )  /\  i  < 
M ) ) )
15949breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  M  ->  (
( P `  i
)  <  ( P `  j )  <->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
160156, 158, 1593imtr4d 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  M  ->  (
( ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  ph )  /\  i  <  j )  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) )
161160exp4c 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  M  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ph  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j
) ) ) ) )
162138, 161jaoi 386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ph  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j
) ) ) ) )
163162com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  ( ph  ->  ( i  <  j  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
16455, 163jaoi 386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  ( ph  ->  ( i  < 
j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) ) )
165164com13 82 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  ( (
i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( i  < 
j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) ) )
16624, 165sylbid 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( ( i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j ) ) ) ) )
167166com3r 81 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0 ... M )  -> 
( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
16816, 167sylbi 200 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( { 0 }  u.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0 ... M )  -> 
( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
169168com12 31 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( { 0 }  u.  ( 1 ... M
) )  ->  (
j  e.  ( 0 ... M )  -> 
( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
17012, 169sylbid 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  ( j  e.  ( 0 ... M
)  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) ) )
171170imp32 440 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... M
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) )
172171ralrimivva 2814 1  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0 ... M ) A. j  e.  ( 0 ... M ) ( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942  RePartciccp 38872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-iccp 38873
This theorem is referenced by:  icceuelpartlem  38894  iccpartnel  38897
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