Theorem iccpartgt 38453

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the bounds are strictly ordered. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	|- ( ph -> M e. NN )
iccpartgtprec.p	|- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
iccpartgt	|- ( ph -> A. i e. ( 0 ... M ) A. j e. ( 0 ... M ) ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )

Distinct variable groups:   i, M   P, i   ph, i   j, M   P, j, i   ph, j

Proof of Theorem iccpartgt

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	nnnn0d 10926	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN0 )
3		elnn0uz 11197	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 <-> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4	2, 3	sylib 199	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		fzpred 11845	. . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0 ... M ) = ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... M ) ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... M ) ) )
7		0p1e1 10722	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
8	7	oveq1i 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 + 1 ) ... M ) = ( 1 ... M )
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... M ) = ( 1 ... M ) )
10	9	uneq2d 3620	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 0 } u. ( ( 0 + 1 ) ... M ) ) = ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) )
11	6, 10	eqtrd 2463	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) )
12	11	eleq2d 2492	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. ( 0 ... M ) <-> i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) ) )
13		elun 3606	. . . . . . 7 |- ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) <-> ( i e. { 0 } \/ i e. ( 1 ... M ) ) )
14		elsn 4010	. . . . . . . 8 |- ( i e. { 0 } <-> i = 0 )
15	14	orbi1i 522	. . . . . . 7 |- ( ( i e. { 0 } \/ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) )
16	13, 15	bitri 252	. . . . . 6 |- ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) <-> ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) )
17		fzisfzounsn 12020	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0 ... M ) = ( ( 0..^ M ) u. { M } ) )
18	4, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = ( ( 0..^ M ) u. { M } ) )
19	18	eleq2d 2492	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> j e. ( ( 0..^ M ) u. { M } ) ) )
20		elun 3606	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ( 0..^ M ) u. { M } ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j e. { M } ) )
21		elsn 4010	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. { M } <-> j = M )
22	21	orbi2i 521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j e. { M } ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) )
23	20, 22	bitri 252	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ( 0..^ M ) u. { M } ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) )
24	19, 23	syl6bb 264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) ) )
25		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )
26	1, 25	iccpartigtl 38449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) )
27		simpl 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> j e. ( 0..^ M ) )
28		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> 0 < j )
29	28	gt0ne0d 10179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> j =/= 0 )
30		fzo1fzo0n0 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. ( 1..^ M ) <-> ( j e. ( 0..^ M ) /\ j =/= 0 ) )
31	27, 29, 30	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> j e. ( 1..^ M ) )
32	31	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) ) -> j e. ( 1..^ M ) )
33		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = j -> ( P ` k ) = ( P ` j ) )
34	33	breq2d 4432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = j -> ( ( P ` 0 ) < ( P ` k ) <-> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
35	34	rspcv 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 1..^ M ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
36	32, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
37	36	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` 0 ) < ( P ` k ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) ) )
38	26, 37	mpid 42	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ 0 < j ) -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
39	38	expd 437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( j e. ( 0..^ M ) -> ( 0 < j -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) ) )
40	39	impcom 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ph ) -> ( 0 < j -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
41		breq1 4423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = 0 -> ( i < j <-> 0 < j ) )
42		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = 0 -> ( P ` i ) = ( P ` 0 ) )
43	42	breq1d 4430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = 0 -> ( ( P ` i ) < ( P ` j ) <-> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) )
44	41, 43	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = 0 -> ( ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) <-> ( 0 < j -> ( P ` 0 ) < ( P ` j ) ) ) )
45	40, 44	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = 0 -> ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ph ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
46	45	expd 437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = 0 -> ( j e. ( 0..^ M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
47	46	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( i = 0 -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
48	1, 25	iccpartlt 38450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P ` 0 ) < ( P ` M ) )
49		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = M -> ( P ` j ) = ( P ` M ) )
50	42, 49	breqan12rd 4437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j = M /\ i = 0 ) -> ( ( P ` i ) < ( P ` j ) <-> ( P ` 0 ) < ( P ` M ) ) )
51	48, 50	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j = M /\ i = 0 ) -> ( ph -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )
52	51	a1dd 47	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j = M /\ i = 0 ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
53	52	ex 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = M -> ( i = 0 -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
54	47, 53	jaoi 380	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( i = 0 -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
55	54	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 0 -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
56		elfzelz 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. ZZ )
57	56	ad3antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> i e. ZZ )
58	56	peano2zd 11044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
59	58	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
60		elfzoelz 11921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. ZZ )
61	60	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> j e. ZZ )
62		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> i < j )
63	60, 56	anim12ci 569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
64	63	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
65		zltp1le 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( i < j <-> ( i + 1 ) <_ j ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i < j <-> ( i + 1 ) <_ j ) )
67	62, 66	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i + 1 ) <_ j )
68	59, 61, 67	3jca 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ j e. ZZ /\ ( i + 1 ) <_ j ) )
69	68	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ j e. ZZ /\ ( i + 1 ) <_ j ) )
70		eluz2 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ j e. ZZ /\ ( i + 1 ) <_ j ) )
71	69, 70	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> j e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) )
72	1	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> M e. NN )
73	25	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
74		1zzd 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> 1 e. ZZ )
75		elfzelz 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( i ... j ) -> k e. ZZ )
76	75	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. ZZ )
77		elfzle1 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 1 <_ i )
78		elfzle1 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( i ... j ) -> i <_ k )
79		1red 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... j ) -> 1 e. RR )
80		elfzel1 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( i ... j ) -> i e. ZZ )
81	80	zred 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... j ) -> i e. RR )
82	75	zred 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... j ) -> k e. RR )
83		letr 9728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 e. RR /\ i e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 1 <_ i /\ i <_ k ) -> 1 <_ k ) )
84	79, 81, 82, 83	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( i ... j ) -> ( ( 1 <_ i /\ i <_ k ) -> 1 <_ k ) )
85	78, 84	mpan2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( i ... j ) -> ( 1 <_ i -> 1 <_ k ) )
86	77, 85	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( k e. ( i ... j ) -> 1 <_ k ) )
87	86	ad3antlr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( k e. ( i ... j ) -> 1 <_ k ) )
88	87	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> 1 <_ k )
89		eluz2 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ k e. ZZ /\ 1 <_ k ) )
90	74, 76, 88, 89	syl3anbrc 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
91		elfzel2 11799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> M e. ZZ )
92	91	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> M e. ZZ )
93	92	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> M e. ZZ )
94	82	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. RR )
95	60	zred 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. RR )
96	95	ad4antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> j e. RR )
97	72	nnred 10625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> M e. RR )
98		elfzle2 11804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( i ... j ) -> k <_ j )
99	98	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k <_ j )
100		elfzolt2 11930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j < M )
101	100	ad4antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> j < M )
102	94, 96, 97, 99, 101	lelttrd 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k < M )
103		elfzo2 11924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1..^ M ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ k < M ) )
104	90, 93, 102, 103	syl3anbrc 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> k e. ( 1..^ M ) )
105	72, 73, 104	iccpartipre 38447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... j ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
106	1	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> M e. NN )
107	25	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
108	60	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> j e. ZZ )
109		fzoval 11922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ZZ -> ( i..^ j ) = ( i ... ( j - 1 ) ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( i..^ j ) = ( i ... ( j - 1 ) ) )
111		elfzo0le 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j <_ M )
112		0le1 10138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 <_ 1
113		0red 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 0 e. RR )
114		1red 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 1 e. RR )
115	56	zred 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. RR )
116		letr 9728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ i e. RR ) -> ( ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ i ) -> 0 <_ i ) )
117	113, 114, 115, 116	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ i ) -> 0 <_ i ) )
118	112, 117	mpani 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( 1 <_ i -> 0 <_ i ) )
119	77, 118	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> 0 <_ i )
120	111, 119	anim12ci 569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) )
121	120	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) )
122		0zd 10950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> 0 e. ZZ )
123		elfzoel2 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> M e. ZZ )
124	122, 123	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
125	124	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
126		ssfzo12bi 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ i < j ) -> ( ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) ) )
127	64, 125, 62, 126	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ i /\ j <_ M ) ) )
128	121, 127	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) )
129	128	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( i..^ j ) C_ ( 0..^ M ) )
130	110, 129	eqsstr3d 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( i ... ( j - 1 ) ) C_ ( 0..^ M ) )
131	130	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
132		iccpartimp 38443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN /\ P e. (RePart ` M ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
133	106, 107, 131, 132	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
134	133	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) /\ k e. ( i ... ( j - 1 ) ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
135	57, 71, 105, 134	smonoord 38430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ i < j ) /\ ph ) -> ( P ` i ) < ( P ` j ) )
136	135	exp31 607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i < j -> ( ph -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
137	136	com23 81	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) )
138	137	ex 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
139	1, 25	iccpartiltu 38448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` k ) < ( P ` M ) )
140		elfzuz 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
141	140	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
142	91	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> M e. ZZ )
143		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> i < M )
144		elfzo2 11924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( 1..^ M ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) )
145	141, 142, 143, 144	syl3anbrc 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> i e. ( 1..^ M ) )
146	145	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) ) -> i e. ( 1..^ M ) )
147		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = i -> ( P ` k ) = ( P ` i ) )
148	147	breq1d 4430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = i -> ( ( P ` k ) < ( P ` M ) <-> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
149	148	rspcv 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` k ) < ( P ` M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
150	146, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` k ) < ( P ` M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
151	150	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> ( A. k e. ( 1..^ M ) ( P ` k ) < ( P ` M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) ) )
152	139, 151	mpid 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ i < M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
153	152	expd 437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( i < M -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) ) )
154	153	impcom 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) -> ( i < M -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
155	154	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) )
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = M -> ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < M ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
157		breq2 4424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = M -> ( i < j <-> i < M ) )
158	157	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = M -> ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < j ) <-> ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < M ) ) )
159	49	breq2d 4432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = M -> ( ( P ` i ) < ( P ` j ) <-> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
160	156, 158, 159	3imtr4d 271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = M -> ( ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ph ) /\ i < j ) -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )
161	160	exp4c 611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = M -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
162	138, 161	jaoi 380	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
163	162	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
164	55, 163	jaoi 380	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ph -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
165	164	com13 83	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( j e. ( 0..^ M ) \/ j = M ) -> ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
166	24, 165	sylbid 218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
167	166	com3r 82	. . . . . 6 |- ( ( i = 0 \/ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
168	16, 167	sylbi 198	. . . . 5 |- ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) -> ( ph -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
169	168	com12 32	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. ( { 0 } u. ( 1 ... M ) ) -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
170	12, 169	sylbid 218	. . 3 |- ( ph -> ( i e. ( 0 ... M ) -> ( j e. ( 0 ... M ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) ) ) )
171	170	imp32 434	. 2 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )
172	171	ralrimivva 2846	1 |- ( ph -> A. i e. ( 0 ... M ) A. j e. ( 0 ... M ) ( i < j -> ( P ` i ) < ( P ` j ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   u. cun 3434   C_ wss 3436   {csn 3996   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   ^m cmap 7477   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541   + caddc 9543   RR*cxr 9675   < clt 9676   <_ cle 9677   - cmin 9861   NNcn 10610   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   ...cfz 11785  ..^cfzo 11916  RePartciccp 38439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-iccp 38440

This theorem is referenced by:  icceuelpartlem  38461  iccpartnel  38464