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Theorem iccpartgt 38741
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the bounds are strictly ordered. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
iccpartgtprec.p  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
Assertion
Ref Expression
iccpartgt  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0 ... M ) A. j  e.  ( 0 ... M ) ( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) )
Distinct variable groups:    i, M    P, i    ph, i    j, M    P, j, i    ph, j

Proof of Theorem iccpartgt
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21nnnn0d 10925 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
3 elnn0uz 11196 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  <->  M  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
42, 3sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
5 fzpred 11844 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... M )  =  ( { 0 }  u.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) ) )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  =  ( { 0 }  u.  (
( 0  +  1 ) ... M ) ) )
7 0p1e1 10721 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
87oveq1i 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 ) ... M )  =  ( 1 ... M
)
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... M
)  =  ( 1 ... M ) )
109uneq2d 3588 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { 0 }  u.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) )  =  ( { 0 }  u.  ( 1 ... M ) ) )
116, 10eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  =  ( { 0 }  u.  (
1 ... M ) ) )
1211eleq2d 2514 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0 ... M )  <-> 
i  e.  ( { 0 }  u.  (
1 ... M ) ) ) )
13 elun 3574 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( { 0 }  u.  ( 1 ... M ) )  <-> 
( i  e.  {
0 }  \/  i  e.  ( 1 ... M
) ) )
14 elsn 3982 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { 0 }  <-> 
i  =  0 )
1514orbi1i 523 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  { 0 }  \/  i  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M
) ) )
1613, 15bitri 253 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( { 0 }  u.  ( 1 ... M ) )  <-> 
( i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M ) ) )
17 fzisfzounsn 12020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... M )  =  ( ( 0..^ M )  u.  { M } ) )
184, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  =  ( ( 0..^ M )  u. 
{ M } ) )
1918eleq2d 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0 ... M )  <-> 
j  e.  ( ( 0..^ M )  u. 
{ M } ) ) )
20 elun 3574 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ( 0..^ M )  u.  { M } )  <->  ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  e.  { M } ) )
21 elsn 3982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  { M }  <->  j  =  M )
2221orbi2i 522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  e.  { M } )  <-> 
( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M ) )
2320, 22bitri 253 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( ( 0..^ M )  u.  { M } )  <->  ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M ) )
2419, 23syl6bb 265 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0 ... M )  <-> 
( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M ) ) )
25 iccpartgtprec.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
261, 25iccpartigtl 38737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  k ) )
27 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j )  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
28 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j )  ->  0  <  j )
2928gt0ne0d 10178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j )  ->  j  =/=  0 )
30 fzo1fzo0n0 11957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ( 1..^ M )  <->  ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  j  =/=  0
) )
3127, 29, 30sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j )  ->  j  e.  ( 1..^ M ) )
3231adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j
) )  ->  j  e.  ( 1..^ M ) )
33 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  j  ->  ( P `  k )  =  ( P `  j ) )
3433breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  j  ->  (
( P `  0
)  <  ( P `  k )  <->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) )
3534rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1..^ M )  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `
 0 )  < 
( P `  k
)  ->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) )
3632, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j
) )  ->  ( A. k  e.  (
1..^ M ) ( P `  0 )  <  ( P `  k )  ->  ( P `  0 )  <  ( P `  j
) ) )
3736ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j
)  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `
 0 )  < 
( P `  k
)  ->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) ) )
3826, 37mpid 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  0  <  j
)  ->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) )
3938expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0..^ M )  -> 
( 0  <  j  ->  ( P `  0
)  <  ( P `  j ) ) ) )
4039impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ph )  ->  ( 0  < 
j  ->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) )
41 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  0  ->  (
i  <  j  <->  0  <  j ) )
42 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
0 ) )
4342breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  0  ->  (
( P `  i
)  <  ( P `  j )  <->  ( P `  0 )  < 
( P `  j
) ) )
4441, 43imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) )  <->  ( 0  <  j  ->  ( P `  0 )  <  ( P `  j
) ) ) )
4540, 44syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  0  ->  (
( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ph )  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) )
4645expd 438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  0  ->  (
j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ph  ->  ( i  < 
j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) ) )
4746com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  =  0  ->  ( ph  ->  ( i  < 
j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) ) )
481, 25iccpartlt 38738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  <  ( P `  M ) )
49 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  M  ->  ( P `  j )  =  ( P `  M ) )
5042, 49breqan12rd 4419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  =  M  /\  i  =  0 )  ->  ( ( P `
 i )  < 
( P `  j
)  <->  ( P ` 
0 )  <  ( P `  M )
) )
5148, 50syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  =  M  /\  i  =  0 )  ->  ( ph  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j ) ) )
5251a1dd 47 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  =  M  /\  i  =  0 )  ->  ( ph  ->  ( i  <  j  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) )
5352ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  M  ->  (
i  =  0  -> 
( ph  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j
) ) ) ) )
5447, 53jaoi 381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  (
i  =  0  -> 
( ph  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j
) ) ) ) )
5554com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  (
( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  ( ph  ->  ( i  <  j  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
56 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  ZZ )
5756ad3antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  i  e.  ZZ )
5856peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
i  +  1 )  e.  ZZ )
5958ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ZZ )
60 elfzoelz 11920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ZZ )
6160ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  j  e.  ZZ )
62 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  i  <  j )
6360, 56anim12ci 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )
)
6463adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
65 zltp1le 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  <  j  <->  ( i  +  1 )  <_  j ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( i  <  j  <->  ( i  +  1 )  <_  j
) )
6762, 66mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( i  +  1 )  <_ 
j )
6859, 61, 673jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( (
i  +  1 )  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  <_ 
j ) )
6968adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  <_ 
j ) )
70 eluz2 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  (
i  +  1 ) )  <->  ( ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  ( i  +  1 )  <_ 
j ) )
7169, 70sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) )
721ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  M  e.  NN )
7325ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
74 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  1  e.  ZZ )
75 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  k  e.  ZZ )
7675adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  e.  ZZ )
77 elfzle1 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  1  <_  i )
78 elfzle1 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  i  <_  k )
79 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  1  e.  RR )
80 elfzel1 11799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  i  e.  ZZ )
8180zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  i  e.  RR )
8275zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  k  e.  RR )
83 letr 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  i  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( 1  <_  i  /\  i  <_  k )  ->  1  <_  k
) )
8479, 81, 82, 83syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  (
( 1  <_  i  /\  i  <_  k )  ->  1  <_  k
) )
8578, 84mpan2d 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  (
1  <_  i  ->  1  <_  k ) )
8677, 85syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
k  e.  ( i ... j )  -> 
1  <_  k )
)
8786ad3antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( k  e.  ( i ... j
)  ->  1  <_  k ) )
8887imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  1  <_  k )
89 eluz2 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k ) )
9074, 76, 88, 89syl3anbrc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
91 elfzel2 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  M  e.  ZZ )
9291ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  M  e.  ZZ )
9392ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  M  e.  ZZ )
9482adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  e.  RR )
9560zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  RR )
9695ad4antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  j  e.  RR )
9772nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  M  e.  RR )
98 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( i ... j )  ->  k  <_  j )
9998adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  <_  j )
100 elfzolt2 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  <  M )
101100ad4antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  j  <  M )
10294, 96, 97, 99, 101lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  <  M )
103 elfzo2 11923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1..^ M )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  k  <  M ) )
10490, 93, 102, 103syl3anbrc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  k  e.  ( 1..^ M ) )
10572, 73, 104iccpartipre 38735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... j ) )  ->  ( P `  k )  e.  RR )
1061ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... ( j  -  1 ) ) )  ->  M  e.  NN )
10725ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... ( j  -  1 ) ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
10860ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  j  e.  ZZ )
109 fzoval 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
i..^ j )  =  ( i ... (
j  -  1 ) ) )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( i..^ j )  =  ( i ... ( j  - 
1 ) ) )
111 elfzo0le 11959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  <_  M )
112 0le1 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <_  1
113 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  e.  RR )
114 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  1  e.  RR )
11556zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  RR )
116 letr 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  i  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  1  /\  1  <_  i )  ->  0  <_  i
) )
117113, 114, 115, 116syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( 0  <_  1  /\  1  <_  i )  ->  0  <_  i
) )
118112, 117mpani 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
1  <_  i  ->  0  <_  i ) )
11977, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <_  i )
120111, 119anim12ci 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
0  <_  i  /\  j  <_  M ) )
121120adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( 0  <_  i  /\  j  <_  M ) )
122 0zd 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  0  e.  ZZ )
123 elfzoel2 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  M  e.  ZZ )
124122, 123jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
125124ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
126 ssfzo12bi 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  i  <  j )  ->  (
( i..^ j ) 
C_  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_ 
i  /\  j  <_  M ) ) )
12764, 125, 62, 126syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( (
i..^ j )  C_  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  i  /\  j  <_  M ) ) )
128121, 127mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  <  j
)  ->  ( i..^ j )  C_  (
0..^ M ) )
129128adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( i..^ j )  C_  ( 0..^ M ) )
130110, 129eqsstr3d 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( i ... ( j  -  1 ) )  C_  (
0..^ M ) )
131130sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... ( j  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ M ) )
132 iccpartimp 38731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN  /\  P  e.  (RePart `  M
)  /\  k  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P  e.  ( RR*  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
133106, 107, 131, 132syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... ( j  -  1 ) ) )  ->  ( P  e.  ( RR*  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
134133simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  /\  i  <  j )  /\  ph )  /\  k  e.  ( i ... ( j  -  1 ) ) )  ->  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
13557, 71, 105, 134smonoord 38718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  /\  i  < 
j )  /\  ph )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
)
136135exp31 609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
i  <  j  ->  (
ph  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) )
137136com23 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  ->  ( i  < 
j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) )
138137ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  e.  ( 1 ... M
)  ->  ( ph  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
1391, 25iccpartiltu 38736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `  k )  <  ( P `  M ) )
140 elfzuz 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
141140adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  i  <  M )  -> 
i  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
14291adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  i  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
143 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  i  <  M )  -> 
i  <  M )
144 elfzo2 11923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  <->  ( i  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  i  <  M ) )
145141, 142, 143, 144syl3anbrc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  i  <  M )  -> 
i  e.  ( 1..^ M ) )
146145adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  i  <  M ) )  ->  i  e.  ( 1..^ M ) )
147 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  i  ->  ( P `  k )  =  ( P `  i ) )
148147breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  i  ->  (
( P `  k
)  <  ( P `  M )  <->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
149148rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( 1..^ M )  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `
 k )  < 
( P `  M
)  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
150146, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  i  <  M ) )  ->  ( A. k  e.  (
1..^ M ) ( P `  k )  <  ( P `  M )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M
) ) )
151150ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  i  <  M )  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ M ) ( P `
 k )  < 
( P `  M
)  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) ) )
152139, 151mpid 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  i  <  M )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
153152expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  ( i  < 
M  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) ) )
154153impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ph )  ->  ( i  <  M  ->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
155154imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ph )  /\  i  <  M )  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  M ) )
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  M  ->  (
( ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  ph )  /\  i  <  M )  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  M ) ) )
157 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  M  ->  (
i  <  j  <->  i  <  M ) )
158157anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  M  ->  (
( ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  ph )  /\  i  <  j )  <->  ( (
i  e.  ( 1 ... M )  /\  ph )  /\  i  < 
M ) ) )
15949breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  M  ->  (
( P `  i
)  <  ( P `  j )  <->  ( P `  i )  <  ( P `  M )
) )
160156, 158, 1593imtr4d 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  M  ->  (
( ( i  e.  ( 1 ... M
)  /\  ph )  /\  i  <  j )  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) )
161160exp4c 613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  M  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ph  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j
) ) ) ) )
162138, 161jaoi 381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ph  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j
) ) ) ) )
163162com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  ( ph  ->  ( i  <  j  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
16455, 163jaoi 381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  ( ph  ->  ( i  < 
j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) ) )
165164com13 83 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  \/  j  =  M )  ->  ( (
i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( i  < 
j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) ) )
16624, 165sylbid 219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( ( i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j ) ) ) ) )
167166com3r 82 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  0  \/  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0 ... M )  -> 
( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
16816, 167sylbi 199 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( { 0 }  u.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0 ... M )  -> 
( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
169168com12 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( { 0 }  u.  ( 1 ... M
) )  ->  (
j  e.  ( 0 ... M )  -> 
( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) ) ) )
17012, 169sylbid 219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  ( j  e.  ( 0 ... M
)  ->  ( i  <  j  ->  ( P `  i )  <  ( P `  j )
) ) ) )
171170imp32 435 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... M
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) )
172171ralrimivva 2809 1  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0 ... M ) A. j  e.  ( 0 ... M ) ( i  <  j  ->  ( P `  i
)  <  ( P `  j ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737    u. cun 3402    C_ wss 3404   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915  RePartciccp 38727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-iccp 38728
This theorem is referenced by:  icceuelpartlem  38749  iccpartnel  38752
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