Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartdisj Structured version   Unicode version

Theorem iccpartdisj 38621
Description: The segments of a partitioned half opened interval of extended reals are a disjoint collection. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
iccpartiun.p  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
Assertion
Ref Expression
iccpartdisj  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  ( 0..^ M ) ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, M    P, i    ph, i

Proof of Theorem iccpartdisj
Dummy variables  j  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1755 . . . . 5  |-  F/ i
ph
2 nfreu1 2996 . . . . 5  |-  F/ i E! i  e.  ( 0..^ M ) p  e.  ( ( P `
 i ) [,) ( P `  (
i  +  1 ) ) )
3 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ph )
4 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
54adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  NN )
6 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
76adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
8 nnnn0 10883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
9 0elfz 11896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
104, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
1110adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
125, 7, 11iccpartxr 38603 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P ` 
0 )  e.  RR* )
13 nn0fz0 11897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN0  <->  M  e.  (
0 ... M ) )
1413biimpi 197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
154, 8, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
1615adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
175, 7, 16iccpartxr 38603 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P `  M )  e.  RR* )
184, 6iccpartgel 38613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 0 ... M ) ( P `  0
)  <_  ( P `  j ) )
19 elfzofz 11942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
2019adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
21 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  i  ->  ( P `  j )  =  ( P `  i ) )
2221breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  i  ->  (
( P `  0
)  <_  ( P `  j )  <->  ( P `  0 )  <_ 
( P `  i
) ) )
2322rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... M ) ( P `  0 )  <_  ( P `  j )  ->  ( P `  0 )  <_  ( P `  i
) ) )
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A. j  e.  ( 0 ... M
) ( P ` 
0 )  <_  ( P `  j )  ->  ( P `  0
)  <_  ( P `  i ) ) )
2524ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  -> 
( A. j  e.  ( 0 ... M
) ( P ` 
0 )  <_  ( P `  j )  ->  ( P `  0
)  <_  ( P `  i ) ) ) )
2618, 25mpid 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  -> 
( P `  0
)  <_  ( P `  i ) ) )
2726imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P ` 
0 )  <_  ( P `  i )
)
284, 6iccpartleu 38612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( 0 ... M ) ( P `  j
)  <_  ( P `  M ) )
29 fzofzp1 12014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
3029adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
31 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( P `  j )  =  ( P `  ( i  +  1 ) ) )
3231breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
( P `  j
)  <_  ( P `  M )  <->  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  M )
) )
3332rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  ( A. j  e.  (
0 ... M ) ( P `  j )  <_  ( P `  M )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  M ) ) )
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A. j  e.  ( 0 ... M
) ( P `  j )  <_  ( P `  M )  ->  ( P `  (
i  +  1 ) )  <_  ( P `  M ) ) )
3534ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  -> 
( A. j  e.  ( 0 ... M
) ( P `  j )  <_  ( P `  M )  ->  ( P `  (
i  +  1 ) )  <_  ( P `  M ) ) ) )
3628, 35mpid 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  -> 
( P `  (
i  +  1 ) )  <_  ( P `  M ) ) )
3736imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  M )
)
38 icossico 11711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  RR*  /\  ( P `  M
)  e.  RR* )  /\  ( ( P ` 
0 )  <_  ( P `  i )  /\  ( P `  (
i  +  1 ) )  <_  ( P `  M ) ) )  ->  ( ( P `
 i ) [,) ( P `  (
i  +  1 ) ) )  C_  (
( P `  0
) [,) ( P `
 M ) ) )
3912, 17, 27, 37, 38syl22anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( P `
 i ) [,) ( P `  (
i  +  1 ) ) )  C_  (
( P `  0
) [,) ( P `
 M ) ) )
4039sseld 3463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( p  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) )  ->  p  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
) ) )
414, 6icceuelpart 38620 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
) )  ->  E! i  e.  ( 0..^ M ) p  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) )
423, 40, 41syl6an 547 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( p  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) )  ->  E! i  e.  ( 0..^ M ) p  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
4342ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  -> 
( p  e.  ( ( P `  i
) [,) ( P `
 ( i  +  1 ) ) )  ->  E! i  e.  ( 0..^ M ) p  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
441, 2, 43rexlimd 2906 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. i  e.  ( 0..^ M ) p  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) )  ->  E! i  e.  (
0..^ M ) p  e.  ( ( P `
 i ) [,) ( P `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
45 rmo5 3046 . . . 4  |-  ( E* i  e.  ( 0..^ M ) p  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( E. i  e.  ( 0..^ M ) p  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) )  ->  E! i  e.  (
0..^ M ) p  e.  ( ( P `
 i ) [,) ( P `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
4644, 45sylibr 215 . . 3  |-  ( ph  ->  E* i  e.  ( 0..^ M ) p  e.  ( ( P `
 i ) [,) ( P `  (
i  +  1 ) ) ) )
4746alrimiv 1767 . 2  |-  ( ph  ->  A. p E* i  e.  ( 0..^ M ) p  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) )
48 df-disj 4395 . 2  |-  (Disj  i  e.  ( 0..^ M ) ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) )  <->  A. p E* i  e.  ( 0..^ M ) p  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) )
4947, 48sylibr 215 1  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  ( 0..^ M ) ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   E!wreu 2773   E*wrmo 2774    C_ wss 3436  Disj wdisj 4394   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549   RR*cxr 9681    <_ cle 9683   NNcn 10616   NN0cn0 10876   [,)cico 11644   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922  RePartciccp 38597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-ico 11648  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-iccp 38598
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator