MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icco1 Structured version   Unicode version

Theorem icco1 13345
Description: Derive eventual boundedness from separate upper and lower eventual bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
icco1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
icco1.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
icco1.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
icco1.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
icco1.5  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
icco1.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  ( M [,] N ) )
Assertion
Ref Expression
icco1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, M    x, N    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem icco1
StepHypRef Expression
1 icco1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 icco1.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3 icco1.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 icco1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
5 icco1.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  ( M [,] N ) )
6 icco1.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7 elicc2 11600 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
86, 4, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( B  e.  ( M [,] N )  <-> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) ) )
105, 9mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( B  e.  RR  /\  M  <_  B  /\  B  <_  N ) )
1110simp3d 1011 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  <_  N )
121, 2, 3, 4, 11ello1d 13328 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_O(1) )
132renegcld 9993 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
146renegcld 9993 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  RR )
1510simp2d 1010 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  M  <_  B )
166adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  M  e.  RR )
172adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  B  e.  RR )
1816, 17lenegd 10138 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  -> 
( M  <_  B  <->  -u B  <_  -u M ) )
1915, 18mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  C  <_  x ) )  ->  -u B  <_  -u M )
201, 13, 3, 14, 19ello1d 13328 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. 
<_O(1) )
212o1lo1 13342 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1)  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_O(1)  /\  ( x  e.  A  |->  -u B )  e. 
<_O(1) ) ) )
2212, 20, 21mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    e. wcel 1804    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495  (class class class)co 6281   RRcr 9494    <_ cle 9632   -ucneg 9811   [,]cicc 11543   O(1)co1 13291   <_O(1)clo1 13292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-ico 11546  df-icc 11547  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-o1 13295  df-lo1 13296
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator