MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccmbl Structured version   Unicode version

Theorem iccmbl 21016
Description: A closed real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccmbl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  dom  vol )

Proof of Theorem iccmbl
StepHypRef Expression
1 iccssre 11369 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
2 dfss4 3577 . . 3  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  <->  ( RR  \ 
( RR  \  ( A [,] B ) ) )  =  ( A [,] B ) )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )  =  ( A [,] B ) )
4 difreicc 11409 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) )
5 ioombl 21015 . . . . 5  |-  ( -oo (,) A )  e.  dom  vol
6 ioombl 21015 . . . . 5  |-  ( B (,) +oo )  e. 
dom  vol
7 unmbl 20988 . . . . 5  |-  ( ( ( -oo (,) A
)  e.  dom  vol  /\  ( B (,) +oo )  e.  dom  vol )  ->  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
85, 6, 7mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) )  e.  dom  vol
94, 8syl6eqel 2525 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  e.  dom  vol )
10 cmmbl 20985 . . 3  |-  ( ( RR  \  ( A [,] B ) )  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( RR 
\  ( A [,] B ) ) )  e.  dom  vol )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )  e.  dom  vol )
123, 11eqeltrrd 2512 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3318    u. cun 3319    C_ wss 3321   dom cdm 4832  (class class class)co 6086   RRcr 9273   +oocpnf 9407   -oocmnf 9408   (,)cioo 11292   [,]cicc 11295   volcvol 20916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xadd 11082  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-xmet 17779  df-met 17780  df-ovol 20917  df-vol 20918
This theorem is referenced by:  iccvolcl  21017  ovolioo  21018  dyadmbl  21049  volsup2  21054  volcn  21055  volivth  21056  mbfi1fseqlem4  21165  cniccibl  21287  ftc1lem4  21480  cnicciblnc  28406  ftc1cnnclem  28408  areacirc  28432  iocmbl  29531  arearect  29534  areaquad  29535
  Copyright terms: Public domain W3C validator