MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccmax Structured version   Unicode version

Theorem iccmax 11710
Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccmax  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*

Proof of Theorem iccmax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11414 . . 3  |- -oo  e.  RR*
2 pnfxr 11412 . . 3  |- +oo  e.  RR*
3 iccval 11675 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo [,] +oo )  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 676 . 2  |-  ( -oo [,] +oo )  =  {
x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) }
5 rabid2 3013 . . 3  |-  ( RR*  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) } 
<-> 
A. x  e.  RR*  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) )
6 mnfle 11435 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  -> -oo  <_  x )
7 pnfge 11432 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_ +oo )
86, 7jca 534 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) )
95, 8mprgbir 2796 . 2  |-  RR*  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) }
104, 9eqtr4i 2461 1  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673    <_ cle 9675   [,]cicc 11638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-icc 11642
This theorem is referenced by:  leordtval2  20159  lecldbas  20166
  Copyright terms: Public domain W3C validator