MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccmax Structured version   Unicode version

Theorem iccmax 11477
Description: The closed interval from minus to plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iccmax  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*

Proof of Theorem iccmax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11200 . . 3  |- -oo  e.  RR*
2 pnfxr 11198 . . 3  |- +oo  e.  RR*
3 iccval 11445 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo [,] +oo )  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) } )
41, 2, 3mp2an 672 . 2  |-  ( -oo [,] +oo )  =  {
x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) }
5 rabid2 2998 . . 3  |-  ( RR*  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) } 
<-> 
A. x  e.  RR*  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) )
6 mnfle 11219 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  -> -oo  <_  x )
7 pnfge 11216 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_ +oo )
86, 7jca 532 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) )
95, 8mprgbir 2898 . 2  |-  RR*  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <_  x  /\  x  <_ +oo ) }
104, 9eqtr4i 2484 1  |-  ( -oo [,] +oo )  =  RR*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2800   class class class wbr 4395  (class class class)co 6195   +oocpnf 9521   -oocmnf 9522   RR*cxr 9523    <_ cle 9525   [,]cicc 11409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-icc 11413
This theorem is referenced by:  leordtval2  18943  lecldbas  18950
  Copyright terms: Public domain W3C validator