MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccleub Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iccleub 11718
Description: An element of a closed interval is less than or equal to its upper bound. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
iccleub  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  C  <_  B )

Proof of Theorem iccleub
StepHypRef Expression
1 elicc1 11708 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
2 simp3 1016 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  C  <_  B )
31, 2syl6bi 236 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  C  <_  B ) )
433impia 1212 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  C  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    e. wcel 1897   class class class wbr 4415  (class class class)co 6314   RR*cxr 9699    <_ cle 9701   [,]cicc 11666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-xr 9704  df-icc 11670
This theorem is referenced by:  supicc  11808  supiccub  11809  supicclub  11810  oprpiece1res1  22027  ivthlem1  22450  isosctrlem1  23795  ttgcontlem1  24963  broucube  32018  mblfinlem1  32021  ftc1cnnclem  32059  ftc2nc  32070  areaquad  36145  isosctrlem1ALT  37370  lefldiveq  37543  eliccelioc  37659  iccintsng  37661  eliccnelico  37668  eliccelicod  37669  inficc  37673  iccdificc  37678  cncfiooiccre  37810  itgioocnicc  37891  itgspltprt  37893  itgiccshift  37894  fourierdlem1  38007  fourierdlem20  38026  fourierdlem24  38030  fourierdlem25  38031  fourierdlem27  38033  fourierdlem43  38051  fourierdlem44  38052  fourierdlem50  38057  fourierdlem51  38058  fourierdlem52  38059  fourierdlem64  38071  fourierdlem73  38080  fourierdlem76  38083  fourierdlem79  38086  fourierdlem81  38088  fourierdlem92  38099  fourierdlem102  38109  fourierdlem103  38110  fourierdlem104  38111  fourierdlem114  38121  salgencntex  38239  sge0p1  38293  hoidmv1lelem3  38452  hoidmvlelem1  38454  hoidmvlelem4  38457
  Copyright terms: Public domain W3C validator