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Theorem icceuelpart 38370
Description: An element of a partitioned half opened interval of extended reals is an element of exactly one part of the partition. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
iccpartiun.p  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
Assertion
Ref Expression
icceuelpart  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
) )  ->  E! i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, M    P, i    i, X    ph, i

Proof of Theorem icceuelpart
Dummy variables  j  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartiun.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
21adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
) )  ->  P  e.  (RePart `  M )
)
3 iccpartiun.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4 iccelpart 38367 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  A. p  e.  (RePart `  M )
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 M ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. p  e.  (RePart `  M ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  M
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
65adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
) )  ->  A. p  e.  (RePart `  M )
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 M ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
7 fveq1 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  0 )  =  ( P ` 
0 ) )
8 fveq1 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  M )  =  ( P `  M ) )
97, 8oveq12d 6315 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( p `  0
) [,) ( p `
 M ) )  =  ( ( P `
 0 ) [,) ( P `  M
) ) )
109eleq2d 2490 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  M
) )  <->  X  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
) ) )
11 fveq1 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  i )  =  ( P `  i ) )
12 fveq1 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( i  +  1 ) ) )
1311, 12oveq12d 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
( p `  i
) [,) ( p `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( P `
 i ) [,) ( P `  (
i  +  1 ) ) ) )
1413eleq2d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  ( X  e.  ( (
p `  i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) )  <->  X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
1514rexbidv 2937 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( E. i  e.  (
0..^ M ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) )  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
1610, 15imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 M ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) )  <->  ( X  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
)  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
1716rspcva 3177 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (RePart `  M )  /\  A. p  e.  (RePart `  M
) ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  M )
)  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( X  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
)  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
1817adantld 468 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (RePart `  M )  /\  A. p  e.  (RePart `  M
) ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  M )
)  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  X  e.  ( ( P `  0
) [,) ( P `
 M ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
1918com12 32 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
) )  ->  (
( P  e.  (RePart `  M )  /\  A. p  e.  (RePart `  M
) ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  M )
)  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
202, 6, 19mp2and 683 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) )
213adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  NN )
221adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
23 elfzofz 11929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
2423adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
2521, 22, 24iccpartxr 38353 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P `  i )  e.  RR* )
26 fzofzp1 12001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
2726adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
2821, 22, 27iccpartxr 38353 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
2925, 28jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( P `
 i )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* ) )
3029adantrr 721 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( P `  i )  e.  RR*  /\  ( P `
 ( i  +  1 ) )  e. 
RR* ) )
31 elico1 11675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  i
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  (
i  +  1 ) ) )  <->  ( X  e.  RR*  /\  ( P `
 i )  <_  X  /\  X  <  ( P `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
3230, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
333adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  NN )
341adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  P  e.  (RePart `  M ) )
35 elfzofz 11929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
3635adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M ) )
3733, 34, 36iccpartxr 38353 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P `  j )  e.  RR* )
38 fzofzp1 12001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
3938adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
4033, 34, 39iccpartxr 38353 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( P `  ( j  +  1 ) )  e.  RR* )
4137, 40jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( P `
 j )  e. 
RR*  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  e.  RR* ) )
4241adantrl 720 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( P `  j )  e.  RR*  /\  ( P `
 ( j  +  1 ) )  e. 
RR* ) )
43 elico1 11675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  j
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( ( P `  j ) [,) ( P `  (
j  +  1 ) ) )  <->  ( X  e.  RR*  /\  ( P `
 j )  <_  X  /\  X  <  ( P `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
4442, 43syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( X  e.  ( ( P `  j ) [,) ( P `  ( j  +  1 ) ) )  <->  ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
4532, 44anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  (
i  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( ( P `  j ) [,) ( P `  ( j  +  1 ) ) ) )  <->  ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e.  RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )
46 elfzoelz 11914 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ZZ )
4746zred 11036 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  RR )
48 elfzoelz 11914 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ZZ )
4948zred 11036 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  RR )
5047, 49anim12i 568 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  e.  RR  /\  j  e.  RR ) )
5150adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( i  e.  RR  /\  j  e.  RR ) )
52 lttri4 9714 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( i  <  j  \/  i  =  j  \/  j  <  i ) )
5351, 52syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( i  <  j  \/  i  =  j  \/  j  < 
i ) )
543, 1icceuelpartlem 38369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  < 
j  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )
) ) )
5554imp31 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  i  <  j )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j ) )
56 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )  ->  X  e.  RR* )
5728adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
5857adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
5937adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( P `  j )  e.  RR* )
6059adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )  ->  ( P `  j )  e.  RR* )
61 nltle2tri 38336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( P `  j )  e.  RR* )  ->  -.  ( X  <  ( P `
 ( i  +  1 ) )  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )  /\  ( P `  j )  <_  X ) )
6256, 58, 60, 61syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )  ->  -.  ( X  <  ( P `
 ( i  +  1 ) )  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )  /\  ( P `  j )  <_  X ) )
6362pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )  ->  (
( X  <  ( P `  ( i  +  1 ) )  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )  /\  ( P `  j
)  <_  X )  ->  i  =  j ) )
64633expd 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )  ->  ( X  <  ( P `  ( i  +  1 ) )  ->  (
( P `  (
i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )  ->  (
( P `  j
)  <_  X  ->  i  =  j ) ) ) )
6564ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  RR*  ->  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( X  <  ( P `  (
i  +  1 ) )  ->  ( ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )  ->  (
( P `  j
)  <_  X  ->  i  =  j ) ) ) ) )
6665com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  RR*  ->  ( X  <  ( P `  ( i  +  1 ) )  ->  (
( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  (
( P `  (
i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )  ->  (
( P `  j
)  <_  X  ->  i  =  j ) ) ) ) )
6766com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  RR*  ->  ( ( P `  j )  <_  X  ->  (
( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  (
( P `  (
i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )  ->  ( X  <  ( P `  ( i  +  1 ) )  ->  i  =  j ) ) ) ) )
6867imp4b 593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  j )  <_  X )  ->  (
( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )
)  ->  ( X  <  ( P `  (
i  +  1 ) )  ->  i  =  j ) ) )
6968com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  j )  <_  X )  ->  ( X  <  ( P `  ( i  +  1 ) )  ->  (
( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )
)  ->  i  =  j ) ) )
70693adant3 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
j  +  1 ) ) )  ->  ( X  <  ( P `  ( i  +  1 ) )  ->  (
( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )
)  ->  i  =  j ) ) )
7170com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  <  ( P `  ( i  +  1 ) )  ->  (
( X  e.  RR*  /\  ( P `  j
)  <_  X  /\  X  <  ( P `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )
)  ->  i  =  j ) ) )
72713ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( X  e.  RR*  /\  ( P `  j
)  <_  X  /\  X  <  ( P `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )
)  ->  i  =  j ) ) )
7372imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  i
)  <_  X  /\  X  <  ( P `  ( i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e.  RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j )
)  ->  i  =  j ) )
7473com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( i  +  1 ) )  <_  ( P `  j ) )  -> 
( ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e.  RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
i  =  j ) )
7555, 74syldan 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  i  <  j )  ->  (
( ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( j  +  1 ) ) ) )  ->  i  =  j ) )
7675expcom 436 . . . . . . 7  |-  ( i  <  j  ->  (
( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  (
( ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( j  +  1 ) ) ) )  ->  i  =  j ) ) )
77 2a1 28 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  (
( ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( j  +  1 ) ) ) )  ->  i  =  j ) ) )
783, 1icceuelpartlem 38369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( j  < 
i  ->  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )
) ) )
7978ancomsd 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( j  < 
i  ->  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )
) ) )
8079imp31 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  j  <  i )  ->  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i ) )
8140adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( P `  ( j  +  1 ) )  e.  RR* )
8281adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )  ->  ( P `  ( j  +  1 ) )  e.  RR* )
8325adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( P `  i )  e.  RR* )
8483adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )  ->  ( P `  i )  e.  RR* )
85 nltle2tri 38336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( P `  i )  e.  RR* )  ->  -.  ( X  <  ( P `
 ( j  +  1 ) )  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )  /\  ( P `  i )  <_  X ) )
8656, 82, 84, 85syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )  ->  -.  ( X  <  ( P `
 ( j  +  1 ) )  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )  /\  ( P `  i )  <_  X ) )
8786pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )  ->  (
( X  <  ( P `  ( j  +  1 ) )  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )  /\  ( P `  i
)  <_  X )  ->  i  =  j ) )
88873expd 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )  ->  ( X  <  ( P `  ( j  +  1 ) )  ->  (
( P `  (
j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )  ->  (
( P `  i
)  <_  X  ->  i  =  j ) ) ) )
8988ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  RR*  ->  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( X  <  ( P `  (
j  +  1 ) )  ->  ( ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )  ->  (
( P `  i
)  <_  X  ->  i  =  j ) ) ) ) )
9089com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  RR*  ->  ( X  <  ( P `  ( j  +  1 ) )  ->  (
( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  (
( P `  (
j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )  ->  (
( P `  i
)  <_  X  ->  i  =  j ) ) ) ) )
9190imp4b 593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <  ( P `  (
j  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )
)  ->  ( ( P `  i )  <_  X  ->  i  =  j ) ) )
9291com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  X  <  ( P `  (
j  +  1 ) ) )  ->  (
( P `  i
)  <_  X  ->  ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )
)  ->  i  =  j ) ) )
93923adant2 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
j  +  1 ) ) )  ->  (
( P `  i
)  <_  X  ->  ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )
)  ->  i  =  j ) ) )
9493com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  i )  <_  X  ->  (
( X  e.  RR*  /\  ( P `  j
)  <_  X  /\  X  <  ( P `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )
)  ->  i  =  j ) ) )
95943ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( X  e.  RR*  /\  ( P `  j
)  <_  X  /\  X  <  ( P `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )
)  ->  i  =  j ) ) )
9695imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  i
)  <_  X  /\  X  <  ( P `  ( i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e.  RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i )
)  ->  i  =  j ) )
9796com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  ( P `  ( j  +  1 ) )  <_  ( P `  i ) )  -> 
( ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e.  RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
i  =  j ) )
9880, 97syldan 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  /\  j  <  i )  ->  (
( ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( j  +  1 ) ) ) )  ->  i  =  j ) )
9998expcom 436 . . . . . . 7  |-  ( j  <  i  ->  (
( ph  /\  (
i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  (
( ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e. 
RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  <  ( P `
 ( j  +  1 ) ) ) )  ->  i  =  j ) ) )
10076, 77, 993jaoi 1327 . . . . . 6  |-  ( ( i  <  j  \/  i  =  j  \/  j  <  i )  ->  ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( ( X  e.  RR*  /\  ( P `  i )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e.  RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
i  =  j ) ) )
10153, 100mpcom 37 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( (
( X  e.  RR*  /\  ( P `  i
)  <_  X  /\  X  <  ( P `  ( i  +  1 ) ) )  /\  ( X  e.  RR*  /\  ( P `  j )  <_  X  /\  X  < 
( P `  (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
i  =  j ) )
10245, 101sylbid 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  (
i  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( ( P `  j ) [,) ( P `  ( j  +  1 ) ) ) )  ->  i  =  j ) )
103102ralrimivva 2844 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) A. j  e.  ( 0..^ M ) ( ( X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( ( P `  j ) [,) ( P `  (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
i  =  j ) )
104103adantr 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) A. j  e.  ( 0..^ M ) ( ( X  e.  ( ( P `  i
) [,) ( P `
 ( i  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( ( P `  j
) [,) ( P `
 ( j  +  1 ) ) ) )  ->  i  =  j ) )
105 fveq2 5873 . . . . 5  |-  ( i  =  j  ->  ( P `  i )  =  ( P `  j ) )
106 oveq1 6304 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
107106fveq2d 5877 . . . . 5  |-  ( i  =  j  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( j  +  1 ) ) )
108105, 107oveq12d 6315 . . . 4  |-  ( i  =  j  ->  (
( P `  i
) [,) ( P `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( P `
 j ) [,) ( P `  (
j  +  1 ) ) ) )
109108eleq2d 2490 . . 3  |-  ( i  =  j  ->  ( X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  (
i  +  1 ) ) )  <->  X  e.  ( ( P `  j ) [,) ( P `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
110109reu4 3262 . 2  |-  ( E! i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) A. j  e.  ( 0..^ M ) ( ( X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( ( P `  j ) [,) ( P `  ( j  +  1 ) ) ) )  ->  i  =  j ) ) )
11120, 104, 110sylanbrc 668 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( ( P ` 
0 ) [,) ( P `  M )
) )  ->  E! i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( P `  i ) [,) ( P `  ( i  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   E!wreu 2775   class class class wbr 4417   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   RRcr 9534   0cc0 9535   1c1 9536    + caddc 9538   RR*cxr 9670    < clt 9671    <_ cle 9672   NNcn 10605   [,)cico 11633   ...cfz 11778  ..^cfzo 11909  RePartciccp 38347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-nn 10606  df-2 10664  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-ico 11637  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-iccp 38348
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