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Theorem iccelpart 38882
Description: An element of any partitioned half opened interval of extended reals is an element of a part of this partition. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
iccelpart  |-  ( M  e.  NN  ->  A. p  e.  (RePart `  M )
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 M ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, M, p    i, X, p

Proof of Theorem iccelpart
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5892 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (RePart `  x )  =  (RePart `  1 ) )
2 fveq2 5892 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
p `  x )  =  ( p ` 
1 ) )
32oveq2d 6336 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( p `  0
) [,) ( p `
 x ) )  =  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  1
) ) )
43eleq2d 2525 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  x
) )  <->  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  1 )
) ) )
5 oveq2 6328 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
0..^ x )  =  ( 0..^ 1 ) )
6 fzo01 12032 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
75, 6syl6eq 2512 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
0..^ x )  =  { 0 } )
87rexeqdv 3006 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( E. i  e.  (
0..^ x ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) )  <->  E. i  e.  { 0 } X  e.  ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 326 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 x ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ x ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) )  <->  ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  1 )
)  ->  E. i  e.  { 0 } X  e.  ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
101, 9raleqbidv 3013 . 2  |-  ( x  =  1  ->  ( A. p  e.  (RePart `  x ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  x
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ x ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  <->  A. p  e.  (RePart `  1 ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  1
) )  ->  E. i  e.  { 0 } X  e.  ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
11 fveq2 5892 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (RePart `  x )  =  (RePart `  y ) )
12 fveq2 5892 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
p `  x )  =  ( p `  y ) )
1312oveq2d 6336 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( p `  0
) [,) ( p `
 x ) )  =  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) ) )
1413eleq2d 2525 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  x
) )  <->  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
) ) )
15 oveq2 6328 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
0..^ x )  =  ( 0..^ y ) )
1615rexeqdv 3006 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. i  e.  (
0..^ x ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) )  <->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
1714, 16imbi12d 326 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 x ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ x ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) )  <->  ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
)  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
1811, 17raleqbidv 3013 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( A. p  e.  (RePart `  x ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  x
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ x ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  <->  A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
19 fveq2 5892 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (RePart `  x )  =  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )
20 fveq2 5892 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
p `  x )  =  ( p `  ( y  +  1 ) ) )
2120oveq2d 6336 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( p `  0
) [,) ( p `
 x ) )  =  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) ) )
2221eleq2d 2525 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  x
) )  <->  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
23 oveq2 6328 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
0..^ x )  =  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) )
2423rexeqdv 3006 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( E. i  e.  (
0..^ x ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) )  <->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
2522, 24imbi12d 326 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 x ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ x ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) )  <->  ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
2619, 25raleqbidv 3013 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. p  e.  (RePart `  x ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  x
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ x ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  <->  A. p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
27 fveq2 5892 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  (RePart `  x )  =  (RePart `  M ) )
28 fveq2 5892 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
p `  x )  =  ( p `  M ) )
2928oveq2d 6336 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( p `  0
) [,) ( p `
 x ) )  =  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  M
) ) )
3029eleq2d 2525 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  x
) )  <->  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  M )
) ) )
31 oveq2 6328 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
0..^ x )  =  ( 0..^ M ) )
3231rexeqdv 3006 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  ( E. i  e.  (
0..^ x ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) )  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
3330, 32imbi12d 326 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  (
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 x ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ x ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) )  <->  ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  M )
)  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
3427, 33raleqbidv 3013 . 2  |-  ( x  =  M  ->  ( A. p  e.  (RePart `  x ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  x
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ x ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  <->  A. p  e.  (RePart `  M ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  M
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
35 0nn0 10918 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
36 fveq2 5892 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
p `  i )  =  ( p ` 
0 ) )
37 oveq1 6327 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
38 0p1e1 10754 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3937, 38syl6eq 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  1 )
4039fveq2d 5896 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
p `  ( i  +  1 ) )  =  ( p ` 
1 ) )
4136, 40oveq12d 6338 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
( p `  i
) [,) ( p `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  1
) ) )
4241eleq2d 2525 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( X  e.  ( (
p `  i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) )  <->  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  1 )
) ) )
4342rexsng 4019 . . . . 5  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( E. i  e.  { 0 } X  e.  ( ( p `  i
) [,) ( p `
 ( i  +  1 ) ) )  <-> 
X  e.  ( ( p `  0 ) [,) ( p ` 
1 ) ) ) )
4435, 43ax-mp 5 . . . 4  |-  ( E. i  e.  { 0 } X  e.  ( ( p `  i
) [,) ( p `
 ( i  +  1 ) ) )  <-> 
X  e.  ( ( p `  0 ) [,) ( p ` 
1 ) ) )
4544biimpri 211 . . 3  |-  ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  1
) )  ->  E. i  e.  { 0 } X  e.  ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) ) )
4645rgenw 2761 . 2  |-  A. p  e.  (RePart `  1 )
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 1 ) )  ->  E. i  e.  {
0 } X  e.  ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) ) )
47 nfv 1772 . . . . 5  |-  F/ p  y  e.  NN
48 nfra1 2781 . . . . 5  |-  F/ p A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )
4947, 48nfan 2022 . . . 4  |-  F/ p
( y  e.  NN  /\ 
A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
50 nnnn0 10910 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
51 fzonn0p1 12027 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) )
5352ad2antrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( p `  y
)  <_  X )  /\  ( p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )  -> 
y  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) )
54 fveq2 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  y  ->  (
p `  i )  =  ( p `  y ) )
55 oveq1 6327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  y  ->  (
i  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
5655fveq2d 5896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  y  ->  (
p `  ( i  +  1 ) )  =  ( p `  ( y  +  1 ) ) )
5754, 56oveq12d 6338 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  y  ->  (
( p `  i
) [,) ( p `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( p `
 y ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) ) )
5857eleq2d 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  y  ->  ( X  e.  ( (
p `  i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) )  <->  X  e.  ( ( p `  y ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
5958adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  ( p `
 y )  <_  X )  /\  (
p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )  /\  i  =  y )  ->  ( X  e.  ( ( p `  i
) [,) ( p `
 ( i  +  1 ) ) )  <-> 
X  e.  ( ( p `  y ) [,) ( p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
60 peano2nn 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
6160adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
62 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )
6360nnnn0d 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN0 )
64 0elfz 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +  1 )  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... (
y  +  1 ) ) )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  0  e.  ( 0 ... (
y  +  1 ) ) )
6665adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... (
y  +  1 ) ) )
6761, 62, 66iccpartxr 38868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
p `  0 )  e.  RR* )
68 nn0fz0 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +  1 )  e.  NN0  <->  ( y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( y  +  1 ) ) )
6963, 68sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( y  +  1 ) ) )
7069adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  ( 0 ... ( y  +  1 ) ) )
7161, 62, 70iccpartxr 38868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
p `  ( y  +  1 ) )  e.  RR* )
7267, 71jca 539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
( p `  0
)  e.  RR*  /\  (
p `  ( y  +  1 ) )  e.  RR* ) )
7372adantlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( p `  y
)  <_  X )  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  -> 
( ( p ` 
0 )  e.  RR*  /\  ( p `  (
y  +  1 ) )  e.  RR* )
)
74 elico1 11713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p `  0
)  e.  RR*  /\  (
p `  ( y  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) )  <->  ( X  e.  RR*  /\  ( p `
 0 )  <_  X  /\  X  <  (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( p `  y
)  <_  X )  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  -> 
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 ( y  +  1 ) ) )  <-> 
( X  e.  RR*  /\  ( p `  0
)  <_  X  /\  X  <  ( p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
76 simp1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) )  ->  X  e.  RR* )
7776adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p `  y
)  <_  X  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  RR* )
78 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p `  y
)  <_  X  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  -> 
( p `  y
)  <_  X )
79 simpr3 1022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p `  y
)  <_  X  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  ->  X  <  ( p `  ( y  +  1 ) ) )
8077, 78, 793jca 1194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p `  y
)  <_  X  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  -> 
( X  e.  RR*  /\  ( p `  y
)  <_  X  /\  X  <  ( p `  ( y  +  1 ) ) ) )
8180ex 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p `  y )  <_  X  ->  (
( X  e.  RR*  /\  ( p `  0
)  <_  X  /\  X  <  ( p `  ( y  +  1 ) ) )  -> 
( X  e.  RR*  /\  ( p `  y
)  <_  X  /\  X  <  ( p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
8281adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( p `  y
)  <_  X )  ->  ( ( X  e. 
RR*  /\  ( p `  0 )  <_  X  /\  X  <  (
p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  ( X  e.  RR*  /\  ( p `
 y )  <_  X  /\  X  <  (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
8382adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( p `  y
)  <_  X )  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  -> 
( ( X  e. 
RR*  /\  ( p `  0 )  <_  X  /\  X  <  (
p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  ( X  e.  RR*  /\  ( p `
 y )  <_  X  /\  X  <  (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
8475, 83sylbid 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( p `  y
)  <_  X )  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  -> 
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 ( y  +  1 ) ) )  ->  ( X  e. 
RR*  /\  ( p `  y )  <_  X  /\  X  <  ( p `
 ( y  +  1 ) ) ) ) )
8584impr 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( p `  y
)  <_  X )  /\  ( p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( X  e.  RR*  /\  ( p `  y
)  <_  X  /\  X  <  ( p `  ( y  +  1 ) ) ) )
86 nn0fz0 11925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  <->  y  e.  ( 0 ... y ) )
8750, 86sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ( 0 ... y
) )
88 fzelp1 11883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( 0 ... y )  ->  y  e.  ( 0 ... (
y  +  1 ) ) )
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ( 0 ... (
y  +  1 ) ) )
9089adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ( 0 ... (
y  +  1 ) ) )
9161, 62, 90iccpartxr 38868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
p `  y )  e.  RR* )
9291, 71jca 539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
( p `  y
)  e.  RR*  /\  (
p `  ( y  +  1 ) )  e.  RR* ) )
9392ad2ant2r 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( p `  y
)  <_  X )  /\  ( p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( ( p `  y )  e.  RR*  /\  ( p `  (
y  +  1 ) )  e.  RR* )
)
94 elico1 11713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p `  y
)  e.  RR*  /\  (
p `  ( y  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( (
p `  y ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) )  <->  ( X  e.  RR*  /\  ( p `
 y )  <_  X  /\  X  <  (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( p `  y
)  <_  X )  /\  ( p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( X  e.  ( ( p `  y
) [,) ( p `
 ( y  +  1 ) ) )  <-> 
( X  e.  RR*  /\  ( p `  y
)  <_  X  /\  X  <  ( p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
9685, 95mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( p `  y
)  <_  X )  /\  ( p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )  ->  X  e.  ( (
p `  y ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) ) )
9753, 59, 96rspcedvd 3167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  ( p `  y
)  <_  X )  /\  ( p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) )
9897exp43 621 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( p `  y
)  <_  X  ->  ( p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) ) )
9998adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( (
p `  y )  <_  X  ->  ( p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  ->  ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) ) )
100 iccpartres 38867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  (RePart `  y )
)
101 rspsbca 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  |`  (
0 ... y ) )  e.  (RePart `  y
)  /\  A. p  e.  (RePart `  y )
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 y ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) )  ->  [. ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]. ( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 y ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
102 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  p  e. 
_V
103102resex 5170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  |`  ( 0 ... y
) )  e.  _V
104 sbcimg 3321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( [. ( p  |`  (
0 ... y ) )  /  p ]. ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  <-> 
( [. ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]. X  e.  (
( p `  0
) [,) ( p `
 y ) )  ->  [. ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]. E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
105 sbcel2 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. ( p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]. X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
)  <->  X  e.  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) ) )
106 csbov12g 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  =  (
[_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ ( p `  0
) [,) [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( p `  y ) ) )
107 csbfv12 5927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( p ` 
0 )  =  (
[_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ p `  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ 0 )
108 csbvarg 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ p  =  ( p  |`  ( 0 ... y ) ) )
109 csbconstg 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ 0  =  0 )
110108, 109fveq12d 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( [_ ( p  |`  (
0 ... y ) )  /  p ]_ p `  [_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ 0 )  =  ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) )
111107, 110syl5eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( p ` 
0 )  =  ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 0 ) )
112 csbfv12 5927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( p `  y )  =  (
[_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ p `  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ y )
113 csbconstg 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ y  =  y )
114108, 113fveq12d 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( [_ ( p  |`  (
0 ... y ) )  /  p ]_ p `  [_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ y )  =  ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 y ) )
115112, 114syl5eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( p `  y )  =  ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 y ) )
116111, 115oveq12d 6338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( [_ ( p  |`  (
0 ... y ) )  /  p ]_ (
p `  0 ) [,) [_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ ( p `  y
) )  =  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) ) )
117106, 116eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  =  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) ) )
118117eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( X  e.  [_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
)  <->  X  e.  (
( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) ) ) )
119105, 118syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( [. ( p  |`  (
0 ... y ) )  /  p ]. X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
)  <->  X  e.  (
( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) ) ) )
120 sbcrex 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. ( p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]. E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) )  <->  E. i  e.  ( 0..^ y ) [. ( p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]. X  e.  ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) ) )
121 sbcel2 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. ( p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]. X  e.  ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) )  <->  X  e.  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) )
122 csbov12g 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) )  =  (
[_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ ( p `  i
) [,) [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )
123 csbfv12 5927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( p `  i )  =  (
[_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ p `  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ i )
124 csbconstg 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ i  =  i )
125108, 124fveq12d 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( [_ ( p  |`  (
0 ... y ) )  /  p ]_ p `  [_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ i )  =  ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 i ) )
126123, 125syl5eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( p `  i )  =  ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 i ) )
127 csbfv12 5927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( p `  ( i  +  1 ) )  =  (
[_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ p `  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( i  +  1 ) )
128 csbconstg 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( i  +  1 )  =  ( i  +  1 ) )
129108, 128fveq12d 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( [_ ( p  |`  (
0 ... y ) )  /  p ]_ p `  [_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ ( i  +  1 ) )  =  ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 ( i  +  1 ) ) )
130127, 129syl5eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( p `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 ( i  +  1 ) ) )
131126, 130oveq12d 6338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( [_ ( p  |`  (
0 ... y ) )  /  p ]_ (
p `  i ) [,) [_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ ( p `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  i
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 ( i  +  1 ) ) ) )
132122, 131eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  [_ (
p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]_ ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  i
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 ( i  +  1 ) ) ) )
133132eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( X  e.  [_ ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]_ ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) )  <->  X  e.  (
( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  i
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
134121, 133syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( [. ( p  |`  (
0 ... y ) )  /  p ]. X  e.  ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) )  <->  X  e.  (
( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  i
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
135134rexbidv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( E. i  e.  (
0..^ y ) [. ( p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]. X  e.  ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) )  <->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
136120, 135syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( [. ( p  |`  (
0 ... y ) )  /  p ]. E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) (
p `  ( i  +  1 ) ) )  <->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
137119, 136imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  (
( [. ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]. X  e.  (
( p `  0
) [,) ( p `
 y ) )  ->  [. ( p  |`  ( 0 ... y
) )  /  p ]. E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) )  <->  ( X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
138104, 137bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  _V  ->  ( [. ( p  |`  (
0 ... y ) )  /  p ]. ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  <-> 
( X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
139103, 138ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]. ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  <-> 
( X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
14072, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) )  <->  ( X  e.  RR*  /\  ( p `
 0 )  <_  X  /\  X  <  (
p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
141140adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  ( p `  y
)  <_  X )  ->  ( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 ( y  +  1 ) ) )  <-> 
( X  e.  RR*  /\  ( p `  0
)  <_  X  /\  X  <  ( p `  ( y  +  1 ) ) ) ) )
14276adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  (
p `  y )  <_  X )  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  RR* )
143 simpr2 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  (
p `  y )  <_  X )  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  -> 
( p `  0
)  <_  X )
144 xrltnle 9732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  (
p `  y )  e.  RR* )  ->  ( X  <  ( p `  y )  <->  -.  (
p `  y )  <_  X ) )
14576, 91, 144syl2anr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  -> 
( X  <  (
p `  y )  <->  -.  ( p `  y
)  <_  X )
)
146145exbiri 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
( X  e.  RR*  /\  ( p `  0
)  <_  X  /\  X  <  ( p `  ( y  +  1 ) ) )  -> 
( -.  ( p `
 y )  <_  X  ->  X  <  (
p `  y )
) ) )
147146com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  ( -.  ( p `  y
)  <_  X  ->  ( ( X  e.  RR*  /\  ( p `  0
)  <_  X  /\  X  <  ( p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  X  <  ( p `  y ) ) ) )
148147imp31 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  (
p `  y )  <_  X )  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  ->  X  <  ( p `  y ) )
149142, 143, 1483jca 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  (
p `  y )  <_  X )  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  -> 
( X  e.  RR*  /\  ( p `  0
)  <_  X  /\  X  <  ( p `  y ) ) )
15067, 91jca 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
( p `  0
)  e.  RR*  /\  (
p `  y )  e.  RR* ) )
151150ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  (
p `  y )  <_  X )  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( p ` 
0 )  e.  RR*  /\  ( p `  y
)  e.  RR* )
)
152 elico1 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p `  0
)  e.  RR*  /\  (
p `  y )  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) )  <->  ( X  e.  RR*  /\  ( p `
 0 )  <_  X  /\  X  <  (
p `  y )
) ) )
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  (
p `  y )  <_  X )  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  -> 
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 y ) )  <-> 
( X  e.  RR*  /\  ( p `  0
)  <_  X  /\  X  <  ( p `  y ) ) ) )
154149, 153mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  (
p `  y )  <_  X )  /\  ( X  e.  RR*  /\  (
p `  0 )  <_  X  /\  X  < 
( p `  (
y  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) ) )
155154ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  ( p `  y
)  <_  X )  ->  ( ( X  e. 
RR*  /\  ( p `  0 )  <_  X  /\  X  <  (
p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
) ) )
156141, 155sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  ( p `  y
)  <_  X )  ->  ( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 ( y  +  1 ) ) )  ->  X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 y ) ) ) )
157 0elfz 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... y
) )
15850, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  NN  ->  0  e.  ( 0 ... y
) )
159158adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... y
) )
160 fvres 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  e.  ( 0 ... y )  ->  (
( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 0 )  =  ( p `  0
) )
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 0 )  =  ( p `  0
) )
162161eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
p `  0 )  =  ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) )
16387adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ( 0 ... y
) )
164 fvres 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( 0 ... y )  ->  (
( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 y )  =  ( p `  y
) )
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 y )  =  ( p `  y
) )
166165eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
p `  y )  =  ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  y
) )
167162, 166oveq12d 6338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  (
( p `  0
) [,) ( p `
 y ) )  =  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 0 ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  y
) ) )
168167eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) )  <->  X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) ) ) )
169168biimpa 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) ) )  ->  X  e.  ( (
( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 0 ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  y
) ) )
170 elfzofz 11972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  i  e.  ( 0 ... y
) )
171170adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  i  e.  ( 0 ... y
) )
172 fvres 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( 0 ... y )  ->  (
( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 i )  =  ( p `  i
) )
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
p  |`  ( 0 ... y ) ) `  i )  =  ( p `  i ) )
174 fzofzp1 12045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... y
) )
175174adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 0 ... y ) )
176 fvres 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... y )  ->  (
( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 ( i  +  1 ) )  =  ( p `  (
i  +  1 ) ) )
177175, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  -> 
( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( p `
 ( i  +  1 ) ) )
178177adantlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
p  |`  ( 0 ... y ) ) `  ( i  +  1 ) )  =  ( p `  ( i  +  1 ) ) )
179173, 178oveq12d 6338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( p `  i
) [,) ( p `
 ( i  +  1 ) ) ) )
180179eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  i
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 ( i  +  1 ) ) )  <-> 
X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
181180rexbidva 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) ) )  -> 
( E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) )  <->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
182 nnz 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
183 uzid 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  ( ZZ>= `  y )
)
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ( ZZ>= `  y )
)
185 peano2uz 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  y
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  y )
)
186 fzoss2 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  y
)  ->  ( 0..^ y )  C_  (
0..^ ( y  +  1 ) ) )
187184, 185, 1863syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  NN  ->  (
0..^ y )  C_  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) )
188187ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) ) )  -> 
( 0..^ y ) 
C_  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) )
189 ssrexv 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0..^ y )  C_  ( 0..^ ( y  +  1 ) )  -> 
( E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
190188, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) ) )  -> 
( E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
191181, 190sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) ) )  -> 
( E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
192169, 191embantd 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) ) )  -> 
( ( X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
193192ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  (
( X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
194193adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  ( p `  y
)  <_  X )  ->  ( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 y ) )  ->  ( ( X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 0 ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
195156, 194syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  /\  -.  ( p `  y
)  <_  X )  ->  ( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 ( y  +  1 ) ) )  ->  ( ( X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 0 ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
196195ex 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  ( -.  ( p `  y
)  <_  X  ->  ( X  e.  ( ( p `  0 ) [,) ( p `  ( y  +  1 ) ) )  -> 
( ( X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) ) )
197196com34 86 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  ( -.  ( p `  y
)  <_  X  ->  ( ( X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  0
) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 y ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  ( 0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) )  -> 
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 ( y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) ) )
198197com13 83 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  ( ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 0 ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( ( p  |`  (
0 ... y ) ) `
 i ) [,) ( ( p  |`  ( 0 ... y
) ) `  (
i  +  1 ) ) ) )  -> 
( -.  ( p `
 y )  <_  X  ->  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) )  ->  ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) ) )
199139, 198sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( p  |`  ( 0 ... y ) )  /  p ]. ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( -.  (
p `  y )  <_  X  ->  ( (
y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) ) )
200101, 199syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  |`  (
0 ... y ) )  e.  (RePart `  y
)  /\  A. p  e.  (RePart `  y )
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 y ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( -.  (
p `  y )  <_  X  ->  ( (
y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) ) )
201200ex 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  (RePart `  y
)  ->  ( A. p  e.  (RePart `  y
) ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  y )
)  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( -.  (
p `  y )  <_  X  ->  ( (
y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
202201com24 90 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  |`  ( 0 ... y ) )  e.  (RePart `  y
)  ->  ( (
y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  ( -.  ( p `  y
)  <_  X  ->  ( A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
203100, 202mpcom 37 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  p  e.  (RePart `  (
y  +  1 ) ) )  ->  ( -.  ( p `  y
)  <_  X  ->  ( A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) ) )
204203ex 440 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  ->  ( -.  ( p `  y
)  <_  X  ->  ( A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
205204com24 90 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( -.  (
p `  y )  <_  X  ->  ( p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  ->  ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
206205imp 435 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( -.  ( p `  y
)  <_  X  ->  ( p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  ->  ( X  e.  ( (
p `  0 ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) ) )
20799, 206pm2.61d 163 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) )  ->  ( X  e.  ( ( p ` 
0 ) [,) (
p `  ( y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
20849, 207ralrimi 2800 . . 3  |-  ( ( y  e.  NN  /\  A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  A. p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) ( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 ( y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
209208ex 440 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. p  e.  (RePart `  y ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  y
) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ y ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  A. p  e.  (RePart `  ( y  +  1 ) ) ( X  e.  ( ( p `
 0 ) [,) ( p `  (
y  +  1 ) ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) X  e.  ( ( p `  i ) [,) ( p `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
21010, 18, 26, 34, 46, 209nnind 10660 1  |-  ( M  e.  NN  ->  A. p  e.  (RePart `  M )
( X  e.  ( ( p `  0
) [,) ( p `
 M ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) X  e.  ( ( p `
 i ) [,) ( p `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   [.wsbc 3279   [_csb 3375    C_ wss 3416   {csn 3980   class class class wbr 4418    |` cres 4858   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   0cc0 9570   1c1 9571    + caddc 9573   RR*cxr 9705    < clt 9706    <_ cle 9707   NNcn 10642   NN0cn0 10903   ZZcz 10971   ZZ>=cuz 11193   [,)cico 11671   ...cfz 11819  ..^cfzo 11952  RePartciccp 38862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-ico 11675  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-iccp 38863
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