Theorem iccdil 15861

Description: Membership in a dilated interval.

Hypotheses

Ref	Expression
iccdil.1	|- (A x. R) = C
iccdil.2	|- (B x. R) = D

Assertion

Ref	Expression
iccdil	|- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> (X e. (A[,]B) <-> (X x. R) e. (C[,]D)))

Proof of Theorem iccdil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 346	. . . . 5 |- ((X e. RR /\ R e. RR+) -> X e. RR)
2		axmulrcl 6427	. . . . . 6 |- ((X e. RR /\ R e. RR) -> (X x. R) e. RR)
3		rpre 7236	. . . . . 6 |- (R e. RR+ -> R e. RR)
4	2, 3	sylan2 500	. . . . 5 |- ((X e. RR /\ R e. RR+) -> (X x. R) e. RR)
5		pm5.35 746	. . . . 5 |- ((((X e. RR /\ R e. RR+) -> X e. RR) /\ ((X e. RR /\ R e. RR+) -> (X x. R) e. RR)) -> ((X e. RR /\ R e. RR+) -> (X e. RR <-> (X x. R) e. RR)))
6	1, 4, 5	mp2an 761	. . . 4 |- ((X e. RR /\ R e. RR+) -> (X e. RR <-> (X x. R) e. RR))
7	6	adantl 424	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> (X e. RR <-> (X x. R) e. RR))
8		lemul1 7011	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ X e. RR /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (A <_ X <-> (A x. R) <_ (X x. R)))
9		elrp 7233	. . . . . . 7 |- (R e. RR+ <-> (R e. RR /\ 0 < R))
10	8, 9	syl3an3b 1135	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ X e. RR /\ R e. RR+) -> (A <_ X <-> (A x. R) <_ (X x. R)))
11	10	3expb 1068	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> (A <_ X <-> (A x. R) <_ (X x. R)))
12	11	adantlr 429	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> (A <_ X <-> (A x. R) <_ (X x. R)))
13		iccdil.1	. . . . 5 |- (A x. R) = C
14	13	breq1i 3345	. . . 4 |- ((A x. R) <_ (X x. R) <-> C <_ (X x. R))
15	12, 14	syl6bb 595	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> (A <_ X <-> C <_ (X x. R)))
16		lemul1 7011	. . . . . . . 8 |- ((X e. RR /\ B e. RR /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (X <_ B <-> (X x. R) <_ (B x. R)))
17	16, 9	syl3an3b 1135	. . . . . . 7 |- ((X e. RR /\ B e. RR /\ R e. RR+) -> (X <_ B <-> (X x. R) <_ (B x. R)))
18	17	3expb 1068	. . . . . 6 |- ((X e. RR /\ (B e. RR /\ R e. RR+)) -> (X <_ B <-> (X x. R) <_ (B x. R)))
19	18	an1s 544	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> (X <_ B <-> (X x. R) <_ (B x. R)))
20	19	adantll 428	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> (X <_ B <-> (X x. R) <_ (B x. R)))
21		iccdil.2	. . . . 5 |- (B x. R) = D
22	21	breq2i 3346	. . . 4 |- ((X x. R) <_ (B x. R) <-> (X x. R) <_ D)
23	20, 22	syl6bb 595	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> (X <_ B <-> (X x. R) <_ D))
24	7, 15, 23	3anbi123d 1168	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> ((X e. RR /\ A <_ X /\ X <_ B) <-> ((X x. R) e. RR /\ C <_ (X x. R) /\ (X x. R) <_ D)))
25		elicc2 7560	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (X e. (A[,]B) <-> (X e. RR /\ A <_ X /\ X <_ B)))
26	25	adantr 425	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> (X e. (A[,]B) <-> (X e. RR /\ A <_ X /\ X <_ B)))
27		elicc2 7560	. . . . . 6 |- ((C e. RR /\ D e. RR) -> ((X x. R) e. (C[,]D) <-> ((X x. R) e. RR /\ C <_ (X x. R) /\ (X x. R) <_ D)))
28		remulcl 6457	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ R e. RR) -> (A x. R) e. RR)
29	28, 13	syl5eqelr 1976	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ R e. RR) -> C e. RR)
30		remulcl 6457	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ R e. RR) -> (B x. R) e. RR)
31	30, 21	syl5eqelr 1976	. . . . . 6 |- ((B e. RR /\ R e. RR) -> D e. RR)
32	27, 29, 31	syl2an 503	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ R e. RR) /\ (B e. RR /\ R e. RR)) -> ((X x. R) e. (C[,]D) <-> ((X x. R) e. RR /\ C <_ (X x. R) /\ (X x. R) <_ D)))
33	32	anandirs 571	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ R e. RR) -> ((X x. R) e. (C[,]D) <-> ((X x. R) e. RR /\ C <_ (X x. R) /\ (X x. R) <_ D)))
34	33, 3	sylan2 500	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ R e. RR+) -> ((X x. R) e. (C[,]D) <-> ((X x. R) e. RR /\ C <_ (X x. R) /\ (X x. R) <_ D)))
35	34	adantrl 430	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> ((X x. R) e. (C[,]D) <-> ((X x. R) e. RR /\ C <_ (X x. R) /\ (X x. R) <_ D)))
36	24, 26, 35	3bitr4d 609	1 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (X e. RR /\ R e. RR+)) -> (X e. (A[,]B) <-> (X x. R) e. (C[,]D)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   <_ cle 6448  RR+crp 6453   < clt 6653  [,]cicc 7527

This theorem is referenced by:  iccdili 15862  lincmb01cmp 15878

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-rp 7232  df-icc 7531

Copyright terms: Public domain