Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccdifprioo Structured version   Unicode version

Theorem iccdifprioo 37448
Description: An open interval is the closed interval without the bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iccdifprioo  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  \  { A ,  B } )  =  ( A (,) B
) )

Proof of Theorem iccdifprioo
StepHypRef Expression
1 prunioo 11762 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
21eqcomd 2430 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
) )
32difeq1d 3582 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A [,] B
)  \  { A ,  B } )  =  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  \  { A ,  B }
) )
4 difun2 3875 . . . . 5  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  \  { A ,  B }
)  =  ( ( A (,) B ) 
\  { A ,  B } )
5 iooinlbub 37429 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  (/)
6 disj3 3837 . . . . . 6  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { A ,  B } )  =  (/) 
<->  ( A (,) B
)  =  ( ( A (,) B ) 
\  { A ,  B } ) )
75, 6mpbi 211 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  =  ( ( A (,) B )  \  { A ,  B }
)
84, 7eqtr4i 2454 . . . 4  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  \  { A ,  B }
)  =  ( A (,) B )
93, 8syl6eq 2479 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A [,] B
)  \  { A ,  B } )  =  ( A (,) B
) )
1093expa 1205 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \  { A ,  B }
)  =  ( A (,) B ) )
11 difssd 3593 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  ( ( A [,] B )  \  { A ,  B }
)  C_  ( A [,] B ) )
12 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  -.  A  <_  B )
13 xrlenlt 9700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
1413adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
1512, 14mtbid 301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  -.  -.  B  <  A )
1615notnotrd 116 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  B  <  A )
17 icc0 11685 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
1817adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  ( ( A [,] B )  =  (/) 
<->  B  <  A ) )
1916, 18mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
2011, 19sseqtrd 3500 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  ( ( A [,] B )  \  { A ,  B }
)  C_  (/) )
21 ss0 3793 . . . 4  |-  ( ( ( A [,] B
)  \  { A ,  B } )  C_  (/) 
->  ( ( A [,] B )  \  { A ,  B }
)  =  (/) )
2220, 21syl 17 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  ( ( A [,] B )  \  { A ,  B }
)  =  (/) )
23 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  B  e.  RR* )
24 simpll 758 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  A  e.  RR* )
2523, 24, 16xrltled 37326 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  B  <_  A )
26 ioo0 11662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
2726adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  ( ( A (,) B )  =  (/) 
<->  B  <_  A )
)
2825, 27mpbird 235 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
2922, 28eqtr4d 2466 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  ( ( A [,] B )  \  { A ,  B }
)  =  ( A (,) B ) )
3010, 29pm2.61dan 798 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  \  { A ,  B } )  =  ( A (,) B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {cpr 3998   class class class wbr 4420  (class class class)co 6302   RR*cxr 9675    < clt 9676    <_ cle 9677   (,)cioo 11636   [,]cicc 11639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-q 11266  df-ioo 11640  df-ico 11642  df-icc 11643
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator