Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccdifioo Structured version   Unicode version

Theorem iccdifioo 37416
Description: If the open inverval is removed from the closed interval, only the bounds are left. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iccdifioo  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A [,] B
)  \  ( A (,) B ) )  =  { A ,  B } )

Proof of Theorem iccdifioo
StepHypRef Expression
1 uncom 3607 . . . 4  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } )  =  ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) )
2 prunioo 11755 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
31, 2syl5reqr 2476 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  =  ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) ) )
43difeq1d 3579 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A [,] B
)  \  ( A (,) B ) )  =  ( ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) ) 
\  ( A (,) B ) ) )
5 difun2 3872 . . 3  |-  ( ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )
65a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) ) 
\  ( A (,) B ) )  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) ) )
7 incom 3652 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  ( { A ,  B }  i^i  ( A (,) B ) )
8 iooinlbub 37398 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  (/)
97, 8eqtr3i 2451 . . . . 5  |-  ( { A ,  B }  i^i  ( A (,) B
) )  =  (/)
10 disj3 3834 . . . . 5  |-  ( ( { A ,  B }  i^i  ( A (,) B ) )  =  (/) 
<->  { A ,  B }  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) ) )
119, 10mpbi 211 . . . 4  |-  { A ,  B }  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )
1211eqcomi 2433 . . 3  |-  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )  =  { A ,  B }
1312a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )  =  { A ,  B } )
144, 6, 133eqtrd 2465 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A [,] B
)  \  ( A (,) B ) )  =  { A ,  B } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    \ cdif 3430    u. cun 3431    i^i cin 3432   (/)c0 3758   {cpr 3995   class class class wbr 4417  (class class class)co 6297   RR*cxr 9670    <_ cle 9672   (,)cioo 11631   [,]cicc 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7954  df-inf 7955  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-q 11261  df-ioo 11635  df-ico 11637  df-icc 11638
This theorem is referenced by:  ibliooicc  37635
  Copyright terms: Public domain W3C validator