Theorem iccconn 15453

Description: A closed interval is connected.

Assertion

Ref	Expression
iccconn	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (subSp` <.(A[,]B), (topGen` ran (,))>.) e. Con)

Proof of Theorem iccconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 4	. . . . . . . . 9 |- (z e. RR -> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> z e. RR))
2	1	3ad2ant1 897	. . . . . . . 8 |- ((z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y) -> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> z e. RR))
3	2	com12 14	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> ((z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y) -> z e. RR))
4		simplll 452	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> A e. RR)
5		iccssre 7565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A[,]B) C_ RR)
6	5	sseld 2619	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (x e. (A[,]B) -> x e. RR))
7	6	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ x e. (A[,]B)) -> x e. RR)
8	7	adantrr 431	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> x e. RR)
9	8	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> x e. RR)
10		simp1 876	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y) -> z e. RR)
11	10	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> z e. RR)
12		elicc2 7560	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (x e. (A[,]B) <-> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)))
13	12	biimpa 460	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ x e. (A[,]B)) -> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B))
14	13	simp2d 889	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ x e. (A[,]B)) -> A <_ x)
15	14	adantrr 431	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> A <_ x)
16	15	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> A <_ x)
17		simpr 350	. . . . . . . . . 10 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ x <_ z) -> x <_ z)
18	17	3ad2antr2 1042	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> x <_ z)
19	4, 9, 11, 16, 18	letrd 6696	. . . . . . . 8 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> A <_ z)
20	19	ex 402	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> ((z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y) -> A <_ z))
21		simpr 350	. . . . . . . . . 10 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ z e. RR) -> z e. RR)
22	21	3ad2antr1 1041	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> z e. RR)
23	5	sseld 2619	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (y e. (A[,]B) -> y e. RR))
24	23	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ y e. (A[,]B)) -> y e. RR)
25	24	adantrl 430	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> y e. RR)
26	25	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> y e. RR)
27		simpllr 453	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> B e. RR)
28		simp3 878	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y) -> z <_ y)
29	28	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> z <_ y)
30		iccleub 7551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ y e. (A[,]B)) -> y <_ B)
31	30	3expa 1067	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR* /\ B e. RR*) /\ y e. (A[,]B)) -> y <_ B)
32		rexr 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. RR -> A e. RR*)
33		rexr 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. RR -> B e. RR*)
34	32, 33	anim12i 360	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A e. RR* /\ B e. RR*))
35	31, 34	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ y e. (A[,]B)) -> y <_ B)
36	35	adantrl 430	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> y <_ B)
37	36	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> y <_ B)
38	22, 26, 27, 29, 37	letrd 6696	. . . . . . . 8 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) /\ (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)) -> z <_ B)
39	38	ex 402	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> ((z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y) -> z <_ B))
40	3, 20, 39	3jcad 1051	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> ((z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y) -> (z e. RR /\ A <_ z /\ z <_ B)))
41		elicc2 7560	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (z e. (x[,]y) <-> (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)))
42	8, 25, 41	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> (z e. (x[,]y) <-> (z e. RR /\ x <_ z /\ z <_ y)))
43		elicc2 7560	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (z e. (A[,]B) <-> (z e. RR /\ A <_ z /\ z <_ B)))
44	43	adantr 425	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> (z e. (A[,]B) <-> (z e. RR /\ A <_ z /\ z <_ B)))
45	40, 42, 44	3imtr4d 602	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> (z e. (x[,]y) -> z e. (A[,]B)))
46	45	ssrdv 2622	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B))) -> (x[,]y) C_ (A[,]B))
47	46	ex 402	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((x e. (A[,]B) /\ y e. (A[,]B)) -> (x[,]y) C_ (A[,]B)))
48	47	r19.21aivv 2183	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> A.x e. (A[,]B)A.y e. (A[,]B)(x[,]y) C_ (A[,]B))
49		reconn 15451	. . 3 |- ((A[,]B) C_ RR -> ((subSp` <.(A[,]B), (topGen` ran (,))>.) e. Con <-> A.x e. (A[,]B)A.y e. (A[,]B)(x[,]y) C_ (A[,]B)))
50	5, 49	syl 12	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((subSp` <.(A[,]B), (topGen` ran (,))>.) e. Con <-> A.x e. (A[,]B)A.y e. (A[,]B)(x[,]y) C_ (A[,]B)))
51	48, 50	mpbird 213	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (subSp` <.(A[,]B), (topGen` ran (,))>.) e. Con)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  <.cop 3046   class class class wbr 3338  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385   <_ cle 6448  RR*cxr 6652  (,)cioo 7524  [,]cicc 7527  topGenctg 8860  subSpcsubsp 10242  Conccon 10337

This theorem is referenced by:  ivthALT 15454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-ioo 7528  df-icc 7531  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-top 8861  df-topsp 8862  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-subsp 10243  df-con 10338

Copyright terms: Public domain