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Theorem icccmplem2 21841
Description: Lemma for icccmp 21843. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
icccmp.2  |-  T  =  ( Jt  ( A [,] B ) )
icccmp.3  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
icccmp.4  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] x )  C_  U. z }
icccmp.5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
icccmp.6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
icccmp.7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
icccmp.8  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
icccmp.9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
icccmp.10  |-  ( ph  ->  V  e.  U )
icccmp.11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
icccmp.12  |-  ( ph  ->  ( G ( ball `  D ) C ) 
C_  V )
icccmp.13  |-  G  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
icccmp.14  |-  R  =  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )
Assertion
Ref Expression
icccmplem2  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
Distinct variable groups:    x, z, B    x, A, z    x, D    x, T, z    z, J    x, U, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    C( x, z)    D( z)    R( x, z)    S( x, z)    G( x, z)    J( x)    V( x, z)

Proof of Theorem icccmplem2
Dummy variables  t  n  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.13 . . . . . . 7  |-  G  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
2 icccmp.4 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] x )  C_  U. z }
3 ssrab2 3514 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( A [,] B
)  |  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] x )  C_  U. z }  C_  ( A [,] B )
42, 3eqsstri 3462 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  ( A [,] B )
5 icccmp.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6 icccmp.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 iccssre 11716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
85, 6, 7syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
94, 8syl5ss 3443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
10 icccmp.1 . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
11 icccmp.2 . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( Jt  ( A [,] B ) )
12 icccmp.3 . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
13 icccmp.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
14 icccmp.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
15 icccmp.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
1610, 11, 12, 2, 5, 6, 13, 14, 15icccmplem1 21840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  /\  A. y  e.  S  y  <_  B ) )
1716simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
18 ne0i 3737 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
2016simprd 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  y  <_  B )
21 breq2 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  B  ->  (
y  <_  n  <->  y  <_  B ) )
2221ralbidv 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  B  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  n  <->  A. y  e.  S  y  <_  B ) )
2322rspcev 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. y  e.  S  y  <_  B )  ->  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n )
246, 20, 23syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n )
25 suprcl 10569 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
269, 19, 24, 25syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
271, 26syl5eqel 2533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
28 icccmp.11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
2928rphalfcld 11353 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
3027, 29ltaddrpd 11371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  <  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) )
3129rpred 11341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR )
3227, 31readdcld 9670 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( C  /  2 ) )  e.  RR )
3327, 32ltnled 9782 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  <  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <->  -.  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  G )
)
3430, 33mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( G  +  ( C  /  2
) )  <_  G
)
35 icccmp.14 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )
3632, 6ifcld 3924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )  e.  RR )
3735, 36syl5eqel 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
38 suprub 10570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
399, 19, 24, 17, 38syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
4039, 1syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  G )
4127, 32, 30ltled 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  <_  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) )
425, 27, 32, 40, 41letrd 9792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) )
43 breq2 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  =  if ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <-> 
A  <_  if (
( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B , 
( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B ) ) )
44 breq2 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  if ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  B  <->  A  <_  if ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B ) ) )
4543, 44ifboth 3917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <_  ( G  +  ( C  / 
2 ) )  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  if ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B ) )
4642, 13, 45syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  if (
( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B , 
( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B ) )
4746, 35syl6breqr 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  R )
48 min2 11484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )  <_  B
)
4932, 6, 48syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )  <_  B
)
5035, 49syl5eqbr 4436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  <_  B )
51 elicc2 11699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( R  e.  ( A [,] B )  <-> 
( R  e.  RR  /\  A  <_  R  /\  R  <_  B ) ) )
525, 6, 51syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( A [,] B )  <-> 
( R  e.  RR  /\  A  <_  R  /\  R  <_  B ) ) )
5337, 47, 50, 52mpbir3and 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  ( A [,] B ) )
5427, 28ltsubrpd 11370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  -  C
)  <  G )
5554, 1syl6breq 4442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  -  C
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
5628rpred 11341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5727, 56resubcld 10047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  -  C
)  e.  RR )
58 suprlub 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n )  /\  ( G  -  C )  e.  RR )  ->  (
( G  -  C
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. v  e.  S  ( G  -  C
)  <  v )
)
599, 19, 24, 57, 58syl31anc 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G  -  C )  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. v  e.  S  ( G  -  C
)  <  v )
)
6055, 59mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. v  e.  S  ( G  -  C
)  <  v )
61 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  v  ->  ( A [,] x )  =  ( A [,] v
) )
6261sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  v  ->  (
( A [,] x
)  C_  U. z  <->  ( A [,] v ) 
C_  U. z ) )
6362rexbidv 2901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  v  ->  ( E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] x
)  C_  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. z
) )
6463, 2elrab2 3198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  S  <->  ( v  e.  ( A [,] B
)  /\  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v )  C_  U. z
) )
65 unieq 4206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  U. z  =  U. w )
6665sseq2d 3460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  (
( A [,] v
)  C_  U. z  <->  ( A [,] v ) 
C_  U. w ) )
6766cbvrexv 3020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. z  <->  E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. w
)
68 simpr1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
69 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  <->  ( w  e.  ~P U  /\  w  e.  Fin ) )
7068, 69sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( w  e.  ~P U  /\  w  e.  Fin ) )
7170simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  w  e.  ~P U )
7271elpwid 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  w  C_  U
)
73 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ph )
74 icccmp.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  V  e.  U )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  V  e.  U )
7675snssd 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  { V }  C_  U )
7772, 76unssd 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( w  u.  { V } ) 
C_  U )
78 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  w  e. 
_V
79 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { V }  e.  _V
8078, 79unex 6589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  u.  { V }
)  e.  _V
8180elpw 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  u.  { V } )  e.  ~P U 
<->  ( w  u.  { V } )  C_  U
)
8277, 81sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( w  u.  { V } )  e.  ~P U )
8370simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  w  e.  Fin )
84 snfi 7650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { V }  e.  Fin
85 unfi 7838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  { V }  e.  Fin )  ->  ( w  u. 
{ V } )  e.  Fin )
8683, 84, 85sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( w  u.  { V } )  e.  Fin )
8782, 86elind 3618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( w  u.  { V } )  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
88 simplr2 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  ( A [,] v )  C_  U. w )
89 ssun1 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U. w  C_  ( U. w  u.  V )
9088, 89syl6ss 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  ( A [,] v )  C_  ( U. w  u.  V
) )
9173, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  A  e.  RR )
9273, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  R  e.  RR )
93 elicc2 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( A [,] R )  <-> 
( t  e.  RR  /\  A  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
9491, 92, 93syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( t  e.  ( A [,] R
)  <->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  R ) ) )
9594biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  R ) )
9695simp1d 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  t  e.  RR )
9796adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  t  e.  RR )
9895simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  A  <_  t )
9998adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  A  <_  t )
100 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  t  <_  v )
10173, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
102 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  v  e.  ( A [,] B ) )
103101, 102sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  v  e.  RR )
104 elicc2 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( A [,] v )  <-> 
( t  e.  RR  /\  A  <_  t  /\  t  <_  v ) ) )
10591, 103, 104syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( t  e.  ( A [,] v
)  <->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  v ) ) )
106105adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  (
t  e.  ( A [,] v )  <->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  v ) ) )
10797, 99, 100, 106mpbir3and 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  t  e.  ( A [,] v
) )
10890, 107sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  t  e.  ( U. w  u.  V ) )
109108expr 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  ( t  <_  v  ->  t  e.  ( U. w  u.  V
) ) )
11073adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ph )
111 icccmp.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( G ( ball `  D ) C ) 
C_  V )
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G ( ball `  D
) C )  C_  V )
11396adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  e.  RR )
114110, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G  -  C )  e.  RR )
115103adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  v  e.  RR )
116 simplr3 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G  -  C )  <  v )
117 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  v  <  t )
118114, 115, 113, 116, 117lttrd 9796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G  -  C )  <  t )
119110, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  R  e.  RR )
12027, 56readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( G  +  C
)  e.  RR )
121110, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G  +  C )  e.  RR )
12295simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  t  <_  R )
123122adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  <_  R )
124 min1 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )  <_  ( G  +  ( C  /  2 ) ) )
12532, 6, 124syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )  <_  ( G  +  ( C  /  2 ) ) )
12635, 125syl5eqbr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  R  <_  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) )
127 rphalflt 11329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( C  e.  RR+  ->  ( C  /  2 )  < 
C )
12828, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  <  C )
12931, 56, 27, 128ltadd2dd 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <  ( G  +  C ) )
13037, 32, 120, 126, 129lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  R  <  ( G  +  C ) )
131110, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  R  <  ( G  +  C
) )
132113, 119, 121, 123, 131lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  <  ( G  +  C
) )
133 rexr 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  -  C )  e.  RR  ->  ( G  -  C )  e.  RR* )
134 rexr 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  +  C )  e.  RR  ->  ( G  +  C )  e.  RR* )
135 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( G  -  C
)  e.  RR*  /\  ( G  +  C )  e.  RR* )  ->  (
t  e.  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C ) )  <->  ( t  e.  RR  /\  ( G  -  C )  < 
t  /\  t  <  ( G  +  C ) ) ) )
136133, 134, 135syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( G  -  C
)  e.  RR  /\  ( G  +  C
)  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C )
)  <->  ( t  e.  RR  /\  ( G  -  C )  < 
t  /\  t  <  ( G  +  C ) ) ) )
137114, 121, 136syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  (
t  e.  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C ) )  <->  ( t  e.  RR  /\  ( G  -  C )  < 
t  /\  t  <  ( G  +  C ) ) ) )
138113, 118, 132, 137mpbir3and 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  e.  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C )
) )
139110, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  G  e.  RR )
140110, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  C  e.  RR+ )
141140rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  C  e.  RR )
14212bl2ioo 21810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( G ( ball `  D ) C )  =  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C
) ) )
143139, 141, 142syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G ( ball `  D
) C )  =  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C )
) )
144138, 143eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  e.  ( G ( ball `  D ) C ) )
145112, 144sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  e.  V )
146 elun2 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  V  ->  t  e.  ( U. w  u.  V ) )
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  e.  ( U. w  u.  V ) )
148147expr 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  ( v  <  t  ->  t  e.  ( U. w  u.  V
) ) )
149103adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  v  e.  RR )
150 lelttric 9741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( t  <_  v  \/  v  <  t ) )
15196, 149, 150syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  ( t  <_  v  \/  v  < 
t ) )
152109, 148, 151mpjaod 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  t  e.  ( U. w  u.  V
) )
153152ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( t  e.  ( A [,] R
)  ->  t  e.  ( U. w  u.  V
) ) )
154153ssrdv 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( A [,] R )  C_  ( U. w  u.  V
) )
155 uniun 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. (
w  u.  { V } )  =  ( U. w  u.  U. { V } )
156 unisng 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( V  e.  U  ->  U. { V }  =  V
)
15775, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  U. { V }  =  V )
158157uneq2d 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( U. w  u.  U. { V } )  =  ( U. w  u.  V
) )
159155, 158syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  U. (
w  u.  { V } )  =  ( U. w  u.  V
) )
160154, 159sseqtr4d 3469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( A [,] R )  C_  U. (
w  u.  { V } ) )
161 unieq 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( w  u. 
{ V } )  ->  U. y  =  U. ( w  u.  { V } ) )
162161sseq2d 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( w  u. 
{ V } )  ->  ( ( A [,] R )  C_  U. y  <->  ( A [,] R )  C_  U. (
w  u.  { V } ) ) )
163162rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  u.  { V } )  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] R )  C_  U. (
w  u.  { V } ) )  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] R
)  C_  U. y
)
16487, 160, 163syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
)
1651643exp2 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ( ( A [,] v )  C_  U. w  ->  ( ( G  -  C )  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
) ) ) )
166165rexlimdv 2877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v ) 
C_  U. w  ->  (
( G  -  C
)  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] R
)  C_  U. y
) ) )
16767, 166syl5bi 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v ) 
C_  U. z  ->  (
( G  -  C
)  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] R
)  C_  U. y
) ) )
168167expimpd 608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( A [,] B
)  /\  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v )  C_  U. z
)  ->  ( ( G  -  C )  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
) ) )
16964, 168syl5bi 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( v  e.  S  ->  ( ( G  -  C )  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
) ) )
170169rexlimdv 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  S  ( G  -  C )  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
) )
17160, 170mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
)
172 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  R  ->  ( A [,] v )  =  ( A [,] R
) )
173172sseq1d 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  R  ->  (
( A [,] v
)  C_  U. y  <->  ( A [,] R ) 
C_  U. y ) )
174173rexbidv 2901 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  R  ->  ( E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. y  <->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] R
)  C_  U. y
) )
175 unieq 4206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  U. z  =  U. y )
176175sseq2d 3460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( A [,] v
)  C_  U. z  <->  ( A [,] v ) 
C_  U. y ) )
177176cbvrexv 3020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. z  <->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. y
)
17863, 177syl6bb 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  ( E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] x
)  C_  U. z  <->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. y
) )
179178cbvrabv 3044 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( A [,] B
)  |  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] x )  C_  U. z }  =  { v  e.  ( A [,] B
)  |  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v )  C_  U. y }
1802, 179eqtri 2473 . . . . . . . . 9  |-  S  =  { v  e.  ( A [,] B )  |  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v )  C_  U. y }
181174, 180elrab2 3198 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  S  <->  ( R  e.  ( A [,] B
)  /\  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
) )
18253, 171, 181sylanbrc 670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
183 suprub 10570 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n )  /\  R  e.  S )  ->  R  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
1849, 19, 24, 182, 183syl31anc 1271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
185184, 1syl6breqr 4443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  <_  G )
186 iftrue 3887 . . . . . . 7  |-  ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B  ->  if ( ( G  +  ( C  /  2
) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2
) ) ,  B
)  =  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) )
18735, 186syl5eq 2497 . . . . . 6  |-  ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B  ->  R  =  ( G  +  ( C  /  2
) ) )
188187breq1d 4412 . . . . 5  |-  ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B  ->  ( R  <_  G  <->  ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  G ) )
189185, 188syl5ibcom 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  +  ( C  /  2
) )  <_  B  ->  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  G )
)
19034, 189mtod 181 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( G  +  ( C  /  2
) )  <_  B
)
191 iffalse 3890 . . . 4  |-  ( -.  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B  ->  if ( ( G  +  ( C  /  2
) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2
) ) ,  B
)  =  B )
19235, 191syl5eq 2497 . . 3  |-  ( -.  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B  ->  R  =  B )
193190, 192syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  B )
194193, 182eqeltrrd 2530 1  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    X. cxp 4832   ran crn 4835    |` cres 4836    o. ccom 4838   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   supcsup 7954   RRcr 9538    + caddc 9542   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   abscabs 13297   ↾t crest 15319   topGenctg 15336   ballcbl 18957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965
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