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Theorem icccmplem2 21079
Description: Lemma for icccmp 21081. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
icccmp.2  |-  T  =  ( Jt  ( A [,] B ) )
icccmp.3  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
icccmp.4  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] x )  C_  U. z }
icccmp.5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
icccmp.6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
icccmp.7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
icccmp.8  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
icccmp.9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
icccmp.10  |-  ( ph  ->  V  e.  U )
icccmp.11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
icccmp.12  |-  ( ph  ->  ( G ( ball `  D ) C ) 
C_  V )
icccmp.13  |-  G  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
icccmp.14  |-  R  =  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )
Assertion
Ref Expression
icccmplem2  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
Distinct variable groups:    x, z, B    x, A, z    x, D    x, T, z    z, J    x, U, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    C( x, z)    D( z)    R( x, z)    S( x, z)    G( x, z)    J( x)    V( x, z)

Proof of Theorem icccmplem2
Dummy variables  t  n  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.13 . . . . . . 7  |-  G  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
2 icccmp.4 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] x )  C_  U. z }
3 ssrab2 3585 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( A [,] B
)  |  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] x )  C_  U. z }  C_  ( A [,] B )
42, 3eqsstri 3534 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  ( A [,] B )
5 icccmp.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6 icccmp.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 iccssre 11605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
94, 8syl5ss 3515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
10 icccmp.1 . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
11 icccmp.2 . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( Jt  ( A [,] B ) )
12 icccmp.3 . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
13 icccmp.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
14 icccmp.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
15 icccmp.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. U )
1610, 11, 12, 2, 5, 6, 13, 14, 15icccmplem1 21078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  /\  A. y  e.  S  y  <_  B ) )
1716simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
18 ne0i 3791 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
2016simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  y  <_  B )
21 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  B  ->  (
y  <_  n  <->  y  <_  B ) )
2221ralbidv 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  B  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  n  <->  A. y  e.  S  y  <_  B ) )
2322rspcev 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. y  e.  S  y  <_  B )  ->  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n )
246, 20, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n )
25 suprcl 10502 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
269, 19, 24, 25syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
271, 26syl5eqel 2559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
28 icccmp.11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
2928rphalfcld 11267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
3027, 29ltaddrpd 11284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  <  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) )
3129rpred 11255 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR )
3227, 31readdcld 9622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( C  /  2 ) )  e.  RR )
3327, 32ltnled 9730 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  <  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <->  -.  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  G )
)
3430, 33mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( G  +  ( C  /  2
) )  <_  G
)
35 icccmp.14 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )
36 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )  e.  RR )
3732, 6, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )  e.  RR )
3835, 37syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
39 suprub 10503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
409, 19, 24, 17, 39syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
4140, 1syl6breqr 4487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  G )
4227, 32, 30ltled 9731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  <_  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) )
435, 27, 32, 41, 42letrd 9737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) )
44 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  =  if ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <-> 
A  <_  if (
( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B , 
( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B ) ) )
45 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  if ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B )  -> 
( A  <_  B  <->  A  <_  if ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B ) ) )
4644, 45ifboth 3975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <_  ( G  +  ( C  / 
2 ) )  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  if ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B ) )
4743, 13, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  if (
( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B , 
( G  +  ( C  /  2 ) ) ,  B ) )
4847, 35syl6breqr 4487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  R )
49 min2 11389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )  <_  B
)
5032, 6, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )  <_  B
)
5135, 50syl5eqbr 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  <_  B )
52 elicc2 11588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( R  e.  ( A [,] B )  <-> 
( R  e.  RR  /\  A  <_  R  /\  R  <_  B ) ) )
535, 6, 52syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( A [,] B )  <-> 
( R  e.  RR  /\  A  <_  R  /\  R  <_  B ) ) )
5438, 48, 51, 53mpbir3and 1179 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  ( A [,] B ) )
5527, 28ltsubrpd 11283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  -  C
)  <  G )
5655, 1syl6breq 4486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  -  C
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
5728rpred 11255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5827, 57resubcld 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  -  C
)  e.  RR )
59 suprlub 10504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n )  /\  ( G  -  C )  e.  RR )  ->  (
( G  -  C
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. v  e.  S  ( G  -  C
)  <  v )
)
609, 19, 24, 58, 59syl31anc 1231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G  -  C )  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. v  e.  S  ( G  -  C
)  <  v )
)
6156, 60mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. v  e.  S  ( G  -  C
)  <  v )
62 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  v  ->  ( A [,] x )  =  ( A [,] v
) )
6362sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  v  ->  (
( A [,] x
)  C_  U. z  <->  ( A [,] v ) 
C_  U. z ) )
6463rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  v  ->  ( E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] x
)  C_  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. z
) )
6564, 2elrab2 3263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  S  <->  ( v  e.  ( A [,] B
)  /\  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v )  C_  U. z
) )
66 unieq 4253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  U. z  =  U. w )
6766sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  (
( A [,] v
)  C_  U. z  <->  ( A [,] v ) 
C_  U. w ) )
6867cbvrexv 3089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. z  <->  E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. w
)
69 simpr1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
70 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  <->  ( w  e.  ~P U  /\  w  e.  Fin ) )
7169, 70sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( w  e.  ~P U  /\  w  e.  Fin ) )
7271simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  w  e.  ~P U )
7372elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  w  C_  U
)
74 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ph )
75 icccmp.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  V  e.  U )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  V  e.  U )
7776snssd 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  { V }  C_  U )
7873, 77unssd 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( w  u.  { V } ) 
C_  U )
79 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  w  e. 
_V
80 snex 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { V }  e.  _V
8179, 80unex 6581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  u.  { V }
)  e.  _V
8281elpw 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  u.  { V } )  e.  ~P U 
<->  ( w  u.  { V } )  C_  U
)
8378, 82sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( w  u.  { V } )  e.  ~P U )
8471simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  w  e.  Fin )
85 snfi 7596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { V }  e.  Fin
86 unfi 7786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  { V }  e.  Fin )  ->  ( w  u. 
{ V } )  e.  Fin )
8784, 85, 86sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( w  u.  { V } )  e.  Fin )
8883, 87elind 3688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( w  u.  { V } )  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
89 simplr2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  ( A [,] v )  C_  U. w )
90 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U. w  C_  ( U. w  u.  V )
9189, 90syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  ( A [,] v )  C_  ( U. w  u.  V
) )
9274, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  A  e.  RR )
9374, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  R  e.  RR )
94 elicc2 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( A [,] R )  <-> 
( t  e.  RR  /\  A  <_  t  /\  t  <_  R ) ) )
9592, 93, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( t  e.  ( A [,] R
)  <->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  R ) ) )
9695biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  R ) )
9796simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  t  e.  RR )
9897adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  t  e.  RR )
9996simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  A  <_  t )
10099adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  A  <_  t )
101 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  t  <_  v )
10274, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
103 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  v  e.  ( A [,] B ) )
104102, 103sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  v  e.  RR )
105 elicc2 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( A [,] v )  <-> 
( t  e.  RR  /\  A  <_  t  /\  t  <_  v ) ) )
10692, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( t  e.  ( A [,] v
)  <->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  v ) ) )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  (
t  e.  ( A [,] v )  <->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  v ) ) )
10898, 100, 101, 107mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  t  e.  ( A [,] v
) )
10991, 108sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  t  <_  v ) )  ->  t  e.  ( U. w  u.  V ) )
110109expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  ( t  <_  v  ->  t  e.  ( U. w  u.  V
) ) )
11174adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ph )
112 icccmp.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( G ( ball `  D ) C ) 
C_  V )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G ( ball `  D
) C )  C_  V )
11497adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  e.  RR )
115111, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G  -  C )  e.  RR )
116104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  v  e.  RR )
117 simplr3 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G  -  C )  <  v )
118 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  v  <  t )
119115, 116, 114, 117, 118lttrd 9741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G  -  C )  <  t )
120111, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  R  e.  RR )
12127, 57readdcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( G  +  C
)  e.  RR )
122111, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G  +  C )  e.  RR )
12396simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  t  <_  R )
124123adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  <_  R )
125 min1 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )  <_  ( G  +  ( C  /  2 ) ) )
12632, 6, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  if ( ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) ,  B )  <_  ( G  +  ( C  /  2 ) ) )
12735, 126syl5eqbr 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  R  <_  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) )
128 rphalflt 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( C  e.  RR+  ->  ( C  /  2 )  < 
C )
12928, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  <  C )
13031, 57, 27, 129ltadd2dd 9739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <  ( G  +  C ) )
13138, 32, 121, 127, 130lelttrd 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  R  <  ( G  +  C ) )
132111, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  R  <  ( G  +  C
) )
133114, 120, 122, 124, 132lelttrd 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  <  ( G  +  C
) )
134 rexr 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  -  C )  e.  RR  ->  ( G  -  C )  e.  RR* )
135 rexr 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  +  C )  e.  RR  ->  ( G  +  C )  e.  RR* )
136 elioo2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( G  -  C
)  e.  RR*  /\  ( G  +  C )  e.  RR* )  ->  (
t  e.  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C ) )  <->  ( t  e.  RR  /\  ( G  -  C )  < 
t  /\  t  <  ( G  +  C ) ) ) )
137134, 135, 136syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( G  -  C
)  e.  RR  /\  ( G  +  C
)  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C )
)  <->  ( t  e.  RR  /\  ( G  -  C )  < 
t  /\  t  <  ( G  +  C ) ) ) )
138115, 122, 137syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  (
t  e.  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C ) )  <->  ( t  e.  RR  /\  ( G  -  C )  < 
t  /\  t  <  ( G  +  C ) ) ) )
139114, 119, 133, 138mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  e.  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C )
) )
140111, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  G  e.  RR )
141111, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  C  e.  RR+ )
142141rpred 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  C  e.  RR )
14312bl2ioo 21048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( G ( ball `  D ) C )  =  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C
) ) )
144140, 142, 143syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  ( G ( ball `  D
) C )  =  ( ( G  -  C ) (,) ( G  +  C )
) )
145139, 144eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  e.  ( G ( ball `  D ) C ) )
146113, 145sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  e.  V )
147 elun2 3672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( t  e.  V  ->  t  e.  ( U. w  u.  V ) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  ( t  e.  ( A [,] R
)  /\  v  <  t ) )  ->  t  e.  ( U. w  u.  V ) )
149148expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  ( v  <  t  ->  t  e.  ( U. w  u.  V
) ) )
150104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  v  e.  RR )
151 lelttric 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( t  <_  v  \/  v  <  t ) )
15297, 150, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  ( t  <_  v  \/  v  < 
t ) )
153110, 149, 152mpjaod 381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  /\  t  e.  ( A [,] R ) )  ->  t  e.  ( U. w  u.  V
) )
154153ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( t  e.  ( A [,] R
)  ->  t  e.  ( U. w  u.  V
) ) )
155154ssrdv 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( A [,] R )  C_  ( U. w  u.  V
) )
156 uniun 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. (
w  u.  { V } )  =  ( U. w  u.  U. { V } )
157 unisng 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( V  e.  U  ->  U. { V }  =  V
)
15876, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  U. { V }  =  V )
159158uneq2d 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( U. w  u.  U. { V } )  =  ( U. w  u.  V
) )
160156, 159syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  U. (
w  u.  { V } )  =  ( U. w  u.  V
) )
161155, 160sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  ( A [,] R )  C_  U. (
w  u.  { V } ) )
162 unieq 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( w  u. 
{ V } )  ->  U. y  =  U. ( w  u.  { V } ) )
163162sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( w  u. 
{ V } )  ->  ( ( A [,] R )  C_  U. y  <->  ( A [,] R )  C_  U. (
w  u.  { V } ) ) )
164163rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  u.  { V } )  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] R )  C_  U. (
w  u.  { V } ) )  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] R
)  C_  U. y
)
16588, 161, 164syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  ( A [,] v
)  C_  U. w  /\  ( G  -  C
)  <  v )
)  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
)
1661653exp2 1214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ( ( A [,] v )  C_  U. w  ->  ( ( G  -  C )  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
) ) ) )
167166rexlimdv 2953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v ) 
C_  U. w  ->  (
( G  -  C
)  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] R
)  C_  U. y
) ) )
16868, 167syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v ) 
C_  U. z  ->  (
( G  -  C
)  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] R
)  C_  U. y
) ) )
169168expimpd 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( A [,] B
)  /\  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v )  C_  U. z
)  ->  ( ( G  -  C )  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
) ) )
17065, 169syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( v  e.  S  ->  ( ( G  -  C )  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
) ) )
171170rexlimdv 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  S  ( G  -  C )  <  v  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
) )
17261, 171mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
)
173 oveq2 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  R  ->  ( A [,] v )  =  ( A [,] R
) )
174173sseq1d 3531 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  R  ->  (
( A [,] v
)  C_  U. y  <->  ( A [,] R ) 
C_  U. y ) )
175174rexbidv 2973 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  R  ->  ( E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. y  <->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] R
)  C_  U. y
) )
176 unieq 4253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  U. z  =  U. y )
177176sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( A [,] v
)  C_  U. z  <->  ( A [,] v ) 
C_  U. y ) )
178177cbvrexv 3089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. z  <->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. y
)
17964, 178syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  ( E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] x
)  C_  U. z  <->  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
( A [,] v
)  C_  U. y
) )
180179cbvrabv 3112 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( A [,] B
)  |  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] x )  C_  U. z }  =  { v  e.  ( A [,] B
)  |  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v )  C_  U. y }
1812, 180eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  S  =  { v  e.  ( A [,] B )  |  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] v )  C_  U. y }
182175, 181elrab2 3263 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  S  <->  ( R  e.  ( A [,] B
)  /\  E. y  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ( A [,] R )  C_  U. y
) )
18354, 172, 182sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
184 suprub 10503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. n  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  n )  /\  R  e.  S )  ->  R  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
1859, 19, 24, 183, 184syl31anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
186185, 1syl6breqr 4487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  <_  G )
187 iftrue 3945 . . . . . . 7  |-  ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B  ->  if ( ( G  +  ( C  /  2
) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2
) ) ,  B
)  =  ( G  +  ( C  / 
2 ) ) )
18835, 187syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B  ->  R  =  ( G  +  ( C  /  2
) ) )
189188breq1d 4457 . . . . 5  |-  ( ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B  ->  ( R  <_  G  <->  ( G  +  ( C  / 
2 ) )  <_  G ) )
190186, 189syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  +  ( C  /  2
) )  <_  B  ->  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  G )
)
19134, 190mtod 177 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( G  +  ( C  /  2
) )  <_  B
)
192 iffalse 3948 . . . 4  |-  ( -.  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B  ->  if ( ( G  +  ( C  /  2
) )  <_  B ,  ( G  +  ( C  /  2
) ) ,  B
)  =  B )
19335, 192syl5eq 2520 . . 3  |-  ( -.  ( G  +  ( C  /  2 ) )  <_  B  ->  R  =  B )
194191, 193syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  B )
195194, 183eqeltrrd 2556 1  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   supcsup 7899   RRcr 9490    + caddc 9494   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804    / cdiv 10205   2c2 10584   RR+crp 11219   (,)cioo 11528   [,]cicc 11531   abscabs 13029   ↾t crest 14675   topGenctg 14692   ballcbl 18192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-xadd 11318  df-ioo 11532  df-icc 11535  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201
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