Theorem icccmp 16027

Description: A closed interval in RR is compact.

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	|- J = (A[,]B)
icccmp.2	|- M = ((abs o. - ) |` (J X. J))
icccmp.3	|- T = (Open` M)

Assertion

Ref	Expression
icccmp	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> T e. Comp)

Proof of Theorem icccmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssre 7565	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A[,]B) C_ RR)
2		xpss12 4089	. . . . . . 7 |- (((A[,]B) C_ RR /\ (A[,]B) C_ RR) -> ((A[,]B) X. (A[,]B)) C_ (RR X. RR))
3	1, 1, 2	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A[,]B) X. (A[,]B)) C_ (RR X. RR))
4		resabs1 4244	. . . . . . 7 |- (((A[,]B) X. (A[,]B)) C_ (RR X. RR) -> (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) = ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
5	4	eqcomd 1889	. . . . . 6 |- (((A[,]B) X. (A[,]B)) C_ (RR X. RR) -> ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) = (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
6	3, 5	syl 12	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) = (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
7		icccmp.2	. . . . . 6 |- M = ((abs o. - ) |` (J X. J))
8		icccmp.1	. . . . . . . 8 |- J = (A[,]B)
9	8, 8	xpeq12i 4023	. . . . . . 7 |- (J X. J) = ((A[,]B) X. (A[,]B))
10		reseq2 4219	. . . . . . 7 |- ((J X. J) = ((A[,]B) X. (A[,]B)) -> ((abs o. - ) |` (J X. J)) = ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((abs o. - ) |` (J X. J)) = ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))
12	7, 11	eqtri 1908	. . . . 5 |- M = ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))
13	6, 12	syl5eq 1940	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> M = (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
14	13	fveq2d 4685	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (Open` M) = (Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))))
15		icccmp.3	. . 3 |- T = (Open` M)
16	14, 15	syl5eq 1940	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> T = (Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))))
17		eqid 1884	. . . . 5 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
18		eqid 1884	. . . . 5 |- (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) = (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))
19		eqid 1884	. . . . 5 |- (Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))) = (Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
20		eqid 1884	. . . . 5 |- (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) = (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))
21	17, 18, 19, 20	reheibor 16025	. . . 4 |- ((A[,]B) C_ RR -> ((Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))) e. Comp <-> ((A[,]B) e. (Clsd` (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))) /\ (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) e. Bnd)))
22	1, 21	syl 12	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))) e. Comp <-> ((A[,]B) e. (Clsd` (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))) /\ (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) e. Bnd)))
23		clint3 10184	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A[,]B) e. (Clsd` (topGen` ran (,))))
24	17, 20	tgioo 9193	. . . . 5 |- (topGen` ran (,)) = (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))
25	24	fveq2i 4684	. . . 4 |- (Clsd` (topGen` ran (,))) = (Clsd` (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))))
26	23, 25	syl6eleq 1981	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A[,]B) e. (Clsd` (Open` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))))
27	3, 4	syl 12	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) = ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
28		eqid 1884	. . . . 5 |- (A[,]B) = (A[,]B)
29		eqid 1884	. . . . 5 |- ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) = ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))
30	28, 29	iccbnd 16026	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) e. Bnd)
31	27, 30	eqeltrd 1971	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))) e. Bnd)
32	22, 26, 31	mpbir2and 802	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (Open` (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) |` ((A[,]B) X. (A[,]B)))) e. Comp)
33	16, 32	eqeltrd 1971	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> T e. Comp)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593   X. cxp 3984  ran crn 3987   |` cres 3988   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385   - cmin 6445  (,)cioo 7524  [,]cicc 7527  abscabs 8000  topGenctg 8860  Clsdccld 8936  Opencopn 9069  Compccomp 10328  Bndcbnd 15931

This theorem is referenced by:  iicmp 16028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-icc 7531  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-nei 8989  df-lp 9017  df-cn 9030  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-cau 9201  df-cmet 9202  df-homeo 10232  df-hmph 10233  df-comp 10329  df-totbnd 15932  df-bnd 15938  df-ismty 15946  df-rrn 16012

Copyright terms: Public domain