MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccld Structured version   Unicode version

Theorem icccld 20471
Description: Closed intervals are closed sets of the standard topology on  RR. (Contributed by FL, 14-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
icccld  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )

Proof of Theorem icccld
StepHypRef Expression
1 difreicc 11527 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) ) )
2 retop 20465 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
3 iooretop 20470 . . . 4  |-  ( -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
4 iooretop 20470 . . . 4  |-  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
5 unopn 18641 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
62, 3, 4, 5mp3an 1315 . . 3  |-  ( ( -oo (,) A )  u.  ( B (,) +oo ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
71, 6syl6eqel 2547 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
8 iccssre 11481 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
9 uniretop 20466 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
109iscld2 18757 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)  <->  ( RR  \ 
( A [,] B
) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
) )
112, 8, 10sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A [,] B )  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  <->  ( RR  \  ( A [,] B
) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
) )
127, 11mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758    \ cdif 3426    u. cun 3427    C_ wss 3429   ran crn 4942   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385   +oocpnf 9519   -oocmnf 9520   (,)cioo 11404   [,]cicc 11407   topGenctg 14487   Topctop 18623   Clsdccld 18745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-ioo 11408  df-icc 11411  df-topgen 14493  df-top 18628  df-bases 18630  df-cld 18748
This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  20625  cvmliftlem10  27320  mblfinlem1  28569  mblfinlem2  28570  icccmpALT  28881
  Copyright terms: Public domain W3C validator