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Theorem iccbnd 28888
Description: A closed interval in  RR is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccbnd.1  |-  J  =  ( A [,] B
)
iccbnd.2  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
Assertion
Ref Expression
iccbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Bnd `  J ) )

Proof of Theorem iccbnd
Dummy variables  x  r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccbnd.2 . . 3  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
2 cnmet 20484 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
3 iccbnd.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( A [,] B
)
4 iccssre 11489 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
53, 4syl5eqss 3509 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  C_  RR )
6 ax-resscn 9451 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
75, 6syl6ss 3477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  C_  CC )
8 metres2 20071 . . . 4  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  /\  J  C_  CC )  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) )  e.  ( Met `  J ) )
92, 7, 8sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )  e.  ( Met `  J
) )
101, 9syl5eqel 2546 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Met `  J ) )
11 resubcl 9785 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1211ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
131oveqi 6214 . . . . . . 7  |-  ( x M y )  =  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )
14 ovres 6341 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )  =  ( x ( abs  o.  -  )
y ) )
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )  =  ( x ( abs  o.  -  )
y ) )
1613, 15syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  =  ( x ( abs  o.  -  ) y ) )
177sselda 3465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  CC )
187sselda 3465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  CC )
1917, 18anim12dan 833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )
20 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2120cnmetdval 20483 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
2219, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
2316, 22eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
24 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  J )
2524, 3syl6eleq 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
26 elicc2 11472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
2825, 27mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
2928simp1d 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  RR )
3012adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( B  -  A
)  e.  RR )
31 resubcl 9785 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( B  -  A
)  e.  RR )  ->  ( y  -  ( B  -  A
) )  e.  RR )
3229, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  e.  RR )
33 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  e.  RR )
34 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  J )
3534, 3syl6eleq 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
36 elicc2 11472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
3835, 37mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
3938simp1d 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  RR )
40 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  B  e.  RR )
4128simp3d 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  <_  B )
4229, 40, 33, 41lesub1dd 10067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  A
)  <_  ( B  -  A ) )
4329, 33, 30, 42subled 10054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  <_  A )
4438simp2d 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  <_  x )
4532, 33, 39, 43, 44letrd 9640 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  <_  x )
4629, 30readdcld 9525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  +  ( B  -  A ) )  e.  RR )
4738simp3d 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  <_  B )
4828simp2d 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  <_  y )
4933, 29, 40, 48lesub2dd 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( B  -  y
)  <_  ( B  -  A ) )
5040, 29, 30lesubadd2d 10050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( ( B  -  y )  <_  ( B  -  A )  <->  B  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) ) )
5149, 50mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  B  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) )
5239, 40, 46, 47, 51letrd 9640 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) )
5339, 29, 30absdifled 13040 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( ( abs `  (
x  -  y ) )  <_  ( B  -  A )  <->  ( (
y  -  ( B  -  A ) )  <_  x  /\  x  <_  ( y  +  ( B  -  A ) ) ) ) )
5445, 52, 53mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <_  ( B  -  A ) )
5523, 54eqbrtrd 4421 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  <_  ( B  -  A ) )
5655ralrimivva 2914 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  ( B  -  A ) )
57 breq2 4405 . . . . 5  |-  ( r  =  ( B  -  A )  ->  (
( x M y )  <_  r  <->  ( x M y )  <_ 
( B  -  A
) ) )
58572ralbidv 2879 . . . 4  |-  ( r  =  ( B  -  A )  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  r  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_ 
( B  -  A
) ) )
5958rspcev 3179 . . 3  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  ( B  -  A ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  r )
6012, 56, 59syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  r )
61 isbnd3b 28833 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  J
)  <->  ( M  e.  ( Met `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  r
) )
6210, 60, 61sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Bnd `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3437   class class class wbr 4401    X. cxp 4947    |` cres 4951    o. ccom 4953   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393    + caddc 9397    <_ cle 9531    - cmin 9707   [,]cicc 11415   abscabs 12842   Metcme 17928   Bndcbnd 28815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-ec 7214  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-icc 11419  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-bnd 28827
This theorem is referenced by:  icccmpALT  28889
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