Theorem iccbnd 30576

Description: A closed interval in RR is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccbnd.1	|- J = ( A [,] B )
iccbnd.2	|- M = ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) )

Assertion

Ref	Expression
iccbnd	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> M e. ( Bnd ` J ) )

Proof of Theorem iccbnd

Dummy variables x r y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccbnd.2	. . 3 |- M = ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) )
2		cnmet 21445	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
3		iccbnd.1	. . . . . 6 |- J = ( A [,] B )
4		iccssre 11609	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
5	3, 4	syl5eqss 3533	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> J C_ RR )
6		ax-resscn 9538	. . . . 5 |- RR C_ CC
7	5, 6	syl6ss 3501	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> J C_ CC )
8		metres2 21032	. . . 4 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ J C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) e. ( Met ` J ) )
9	2, 7, 8	sylancr 661	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) e. ( Met ` J ) )
10	1, 9	syl5eqel 2546	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> M e. ( Met ` J ) )
11		resubcl 9874	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
12	11	ancoms 451	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
13	1	oveqi 6283	. . . . . . 7 |- ( x M y ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) y )
14		ovres 6415	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. J /\ y e. J ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) y ) = ( x ( abs o. - ) y ) )
15	14	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) y ) = ( x ( abs o. - ) y ) )
16	13, 15	syl5eq 2507	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x M y ) = ( x ( abs o. - ) y ) )
17	7	sselda 3489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ x e. J ) -> x e. CC )
18	7	sselda 3489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. J ) -> y e. CC )
19	17, 18	anim12dan 835	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x e. CC /\ y e. CC ) )
20		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
21	20	cnmetdval 21444	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
22	19, 21	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
23	16, 22	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x M y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
24		simprr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y e. J )
25	24, 3	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
26		elicc2 11592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
27	26	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
28	25, 27	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) )
29	28	simp1d 1006	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y e. RR )
30	12	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( B - A ) e. RR )
31		resubcl 9874	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ ( B - A ) e. RR ) -> ( y - ( B - A ) ) e. RR )
32	29, 30, 31	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - ( B - A ) ) e. RR )
33		simpll 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> A e. RR )
34		simprl 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x e. J )
35	34, 3	syl6eleq 2552	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
36		elicc2 11592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
37	36	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
38	35, 37	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
39	38	simp1d 1006	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x e. RR )
40		simplr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> B e. RR )
41	28	simp3d 1008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y <_ B )
42	29, 40, 33, 41	lesub1dd 10164	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - A ) <_ ( B - A ) )
43	29, 33, 30, 42	subled 10151	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - ( B - A ) ) <_ A )
44	38	simp2d 1007	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> A <_ x )
45	32, 33, 39, 43, 44	letrd 9728	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - ( B - A ) ) <_ x )
46	29, 30	readdcld 9612	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y + ( B - A ) ) e. RR )
47	38	simp3d 1008	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x <_ B )
48	28	simp2d 1007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> A <_ y )
49	33, 29, 40, 48	lesub2dd 10165	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( B - y ) <_ ( B - A ) )
50	40, 29, 30	lesubadd2d 10147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( B - y ) <_ ( B - A ) <-> B <_ ( y + ( B - A ) ) ) )
51	49, 50	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> B <_ ( y + ( B - A ) ) )
52	39, 40, 46, 47, 51	letrd 9728	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x <_ ( y + ( B - A ) ) )
53	39, 29, 30	absdifled 13348	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( abs ` ( x - y ) ) <_ ( B - A ) <-> ( ( y - ( B - A ) ) <_ x /\ x <_ ( y + ( B - A ) ) ) ) )
54	45, 52, 53	mpbir2and 920	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) <_ ( B - A ) )
55	23, 54	eqbrtrd 4459	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x M y ) <_ ( B - A ) )
56	55	ralrimivva 2875	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ ( B - A ) )
57		breq2 4443	. . . . 5 |- ( r = ( B - A ) -> ( ( x M y ) <_ r <-> ( x M y ) <_ ( B - A ) ) )
58	57	2ralbidv 2898	. . . 4 |- ( r = ( B - A ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r <-> A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ ( B - A ) ) )
59	58	rspcev 3207	. . 3 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ ( B - A ) ) -> E. r e. RR A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r )
60	12, 56, 59	syl2anc 659	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> E. r e. RR A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r )
61		isbnd3b 30521	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` J ) <-> ( M e. ( Met ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r ) )
62	10, 60, 61	sylanbrc 662	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> M e. ( Bnd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   C_ wss 3461   class class class wbr 4439   X. cxp 4986   |` cres 4990   o. ccom 4992   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   + caddc 9484   <_ cle 9618   - cmin 9796   [,]cicc 11535   abscabs 13149   Metcme 18599   Bndcbnd 30503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-ec 7305  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-bnd 30515

This theorem is referenced by:  icccmpALT  30577