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Theorem iccbnd 30576
Description: A closed interval in  RR is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccbnd.1  |-  J  =  ( A [,] B
)
iccbnd.2  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
Assertion
Ref Expression
iccbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Bnd `  J ) )

Proof of Theorem iccbnd
Dummy variables  x  r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccbnd.2 . . 3  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
2 cnmet 21445 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
3 iccbnd.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( A [,] B
)
4 iccssre 11609 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
53, 4syl5eqss 3533 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  C_  RR )
6 ax-resscn 9538 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
75, 6syl6ss 3501 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  C_  CC )
8 metres2 21032 . . . 4  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  /\  J  C_  CC )  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) )  e.  ( Met `  J ) )
92, 7, 8sylancr 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )  e.  ( Met `  J
) )
101, 9syl5eqel 2546 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Met `  J ) )
11 resubcl 9874 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1211ancoms 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
131oveqi 6283 . . . . . . 7  |-  ( x M y )  =  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )
14 ovres 6415 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )  =  ( x ( abs  o.  -  )
y ) )
1514adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )  =  ( x ( abs  o.  -  )
y ) )
1613, 15syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  =  ( x ( abs  o.  -  ) y ) )
177sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  CC )
187sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  CC )
1917, 18anim12dan 835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )
20 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2120cnmetdval 21444 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
2219, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
2316, 22eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
24 simprr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  J )
2524, 3syl6eleq 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
26 elicc2 11592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
2726adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
2825, 27mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
2928simp1d 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  RR )
3012adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( B  -  A
)  e.  RR )
31 resubcl 9874 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( B  -  A
)  e.  RR )  ->  ( y  -  ( B  -  A
) )  e.  RR )
3229, 30, 31syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  e.  RR )
33 simpll 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  e.  RR )
34 simprl 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  J )
3534, 3syl6eleq 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
36 elicc2 11592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
3736adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
3835, 37mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
3938simp1d 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  RR )
40 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  B  e.  RR )
4128simp3d 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  <_  B )
4229, 40, 33, 41lesub1dd 10164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  A
)  <_  ( B  -  A ) )
4329, 33, 30, 42subled 10151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  <_  A )
4438simp2d 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  <_  x )
4532, 33, 39, 43, 44letrd 9728 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  <_  x )
4629, 30readdcld 9612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  +  ( B  -  A ) )  e.  RR )
4738simp3d 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  <_  B )
4828simp2d 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  <_  y )
4933, 29, 40, 48lesub2dd 10165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( B  -  y
)  <_  ( B  -  A ) )
5040, 29, 30lesubadd2d 10147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( ( B  -  y )  <_  ( B  -  A )  <->  B  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) ) )
5149, 50mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  B  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) )
5239, 40, 46, 47, 51letrd 9728 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) )
5339, 29, 30absdifled 13348 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( ( abs `  (
x  -  y ) )  <_  ( B  -  A )  <->  ( (
y  -  ( B  -  A ) )  <_  x  /\  x  <_  ( y  +  ( B  -  A ) ) ) ) )
5445, 52, 53mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <_  ( B  -  A ) )
5523, 54eqbrtrd 4459 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  <_  ( B  -  A ) )
5655ralrimivva 2875 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  ( B  -  A ) )
57 breq2 4443 . . . . 5  |-  ( r  =  ( B  -  A )  ->  (
( x M y )  <_  r  <->  ( x M y )  <_ 
( B  -  A
) ) )
58572ralbidv 2898 . . . 4  |-  ( r  =  ( B  -  A )  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  r  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_ 
( B  -  A
) ) )
5958rspcev 3207 . . 3  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  ( B  -  A ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  r )
6012, 56, 59syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  r )
61 isbnd3b 30521 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  J
)  <->  ( M  e.  ( Met `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  r
) )
6210, 60, 61sylanbrc 662 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Bnd `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    X. cxp 4986    |` cres 4990    o. ccom 4992   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480    + caddc 9484    <_ cle 9618    - cmin 9796   [,]cicc 11535   abscabs 13149   Metcme 18599   Bndcbnd 30503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-ec 7305  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-bnd 30515
This theorem is referenced by:  icccmpALT  30577
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