Theorem iccbnd 28888

Description: A closed interval in RR is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccbnd.1	|- J = ( A [,] B )
iccbnd.2	|- M = ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) )

Assertion

Ref	Expression
iccbnd	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> M e. ( Bnd ` J ) )

Proof of Theorem iccbnd

Dummy variables x r y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccbnd.2	. . 3 |- M = ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) )
2		cnmet 20484	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
3		iccbnd.1	. . . . . 6 |- J = ( A [,] B )
4		iccssre 11489	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
5	3, 4	syl5eqss 3509	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> J C_ RR )
6		ax-resscn 9451	. . . . 5 |- RR C_ CC
7	5, 6	syl6ss 3477	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> J C_ CC )
8		metres2 20071	. . . 4 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ J C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) e. ( Met ` J ) )
9	2, 7, 8	sylancr 663	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) e. ( Met ` J ) )
10	1, 9	syl5eqel 2546	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> M e. ( Met ` J ) )
11		resubcl 9785	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
12	11	ancoms 453	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
13	1	oveqi 6214	. . . . . . 7 |- ( x M y ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) y )
14		ovres 6341	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. J /\ y e. J ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) y ) = ( x ( abs o. - ) y ) )
15	14	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) y ) = ( x ( abs o. - ) y ) )
16	13, 15	syl5eq 2507	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x M y ) = ( x ( abs o. - ) y ) )
17	7	sselda 3465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ x e. J ) -> x e. CC )
18	7	sselda 3465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. J ) -> y e. CC )
19	17, 18	anim12dan 833	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x e. CC /\ y e. CC ) )
20		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
21	20	cnmetdval 20483	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
22	19, 21	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
23	16, 22	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x M y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
24		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y e. J )
25	24, 3	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
26		elicc2 11472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
28	25, 27	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) )
29	28	simp1d 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y e. RR )
30	12	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( B - A ) e. RR )
31		resubcl 9785	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ ( B - A ) e. RR ) -> ( y - ( B - A ) ) e. RR )
32	29, 30, 31	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - ( B - A ) ) e. RR )
33		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> A e. RR )
34		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x e. J )
35	34, 3	syl6eleq 2552	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
36		elicc2 11472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
38	35, 37	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
39	38	simp1d 1000	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x e. RR )
40		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> B e. RR )
41	28	simp3d 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y <_ B )
42	29, 40, 33, 41	lesub1dd 10067	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - A ) <_ ( B - A ) )
43	29, 33, 30, 42	subled 10054	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - ( B - A ) ) <_ A )
44	38	simp2d 1001	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> A <_ x )
45	32, 33, 39, 43, 44	letrd 9640	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - ( B - A ) ) <_ x )
46	29, 30	readdcld 9525	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y + ( B - A ) ) e. RR )
47	38	simp3d 1002	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x <_ B )
48	28	simp2d 1001	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> A <_ y )
49	33, 29, 40, 48	lesub2dd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( B - y ) <_ ( B - A ) )
50	40, 29, 30	lesubadd2d 10050	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( B - y ) <_ ( B - A ) <-> B <_ ( y + ( B - A ) ) ) )
51	49, 50	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> B <_ ( y + ( B - A ) ) )
52	39, 40, 46, 47, 51	letrd 9640	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x <_ ( y + ( B - A ) ) )
53	39, 29, 30	absdifled 13040	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( abs ` ( x - y ) ) <_ ( B - A ) <-> ( ( y - ( B - A ) ) <_ x /\ x <_ ( y + ( B - A ) ) ) ) )
54	45, 52, 53	mpbir2and 913	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) <_ ( B - A ) )
55	23, 54	eqbrtrd 4421	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x M y ) <_ ( B - A ) )
56	55	ralrimivva 2914	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ ( B - A ) )
57		breq2 4405	. . . . 5 |- ( r = ( B - A ) -> ( ( x M y ) <_ r <-> ( x M y ) <_ ( B - A ) ) )
58	57	2ralbidv 2879	. . . 4 |- ( r = ( B - A ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r <-> A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ ( B - A ) ) )
59	58	rspcev 3179	. . 3 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ ( B - A ) ) -> E. r e. RR A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r )
60	12, 56, 59	syl2anc 661	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> E. r e. RR A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r )
61		isbnd3b 28833	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` J ) <-> ( M e. ( Met ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r ) )
62	10, 60, 61	sylanbrc 664	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> M e. ( Bnd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   C_ wss 3437   class class class wbr 4401   X. cxp 4947   |` cres 4951   o. ccom 4953   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   + caddc 9397   <_ cle 9531   - cmin 9707   [,]cicc 11415   abscabs 12842   Metcme 17928   Bndcbnd 28815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-ec 7214  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-icc 11419  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-bnd 28827

This theorem is referenced by:  icccmpALT  28889