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Theorem icc0 11709
Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
icc0  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )

Proof of Theorem icc0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccval 11700 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A [,] B )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) } )
21eqeq1d 2473 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) ) )
3 df-ne 2643 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =/=  (/)  <->  -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) )
4 rabn0 3755 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
53, 4bitr3i 259 . . . . 5  |-  ( -. 
{ x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
6 xrletr 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
763com23 1237 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
873expa 1231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( A  <_  x  /\  x  <_  B
)  ->  A  <_  B ) )
98rexlimdva 2871 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
10 simp2 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
11 simp3 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
12 xrleid 11472 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
13123ad2ant2 1052 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  B )
14 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
15 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
x  <_  B  <->  B  <_  B ) )
1614, 15anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
1716rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
1810, 11, 13, 17syl12anc 1290 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
19183expia 1233 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
209, 19impbid 195 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  A  <_  B ) )
215, 20syl5bb 265 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  A  <_  B ) )
22 xrlenlt 9717 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2321, 22bitrd 261 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  -.  B  <  A ) )
2423con4bid 300 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  B  <  A ) )
252, 24bitrd 261 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   (/)c0 3722   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   [,]cicc 11663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-icc 11667
This theorem is referenced by:  iccntr  21917  icccmp  21921  cniccbdd  22490  iccvolcl  22599  itgioo  22852  c1lip1  23028  pserulm  23456  iccdifprioo  37713  cncfiooicc  37869  ibliooicc  37945
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