Theorem icc0 11589

Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icc0	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )

Proof of Theorem icc0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccval 11580	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A [,] B ) = { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } )
2	1	eqeq1d 2469	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) ) )
3		df-ne 2664	. . . . . 6 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } =/= (/) <-> -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) )
4		rabn0 3810	. . . . . 6 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } =/= (/) <-> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
5	3, 4	bitr3i 251	. . . . 5 |- ( -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
6		xrletr 11373	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
7	6	3com23 1202	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
8	7	3expa 1196	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
9	8	rexlimdva 2959	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
10		simp2 997	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. RR* )
11		simp3 998	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A <_ B )
12		xrleid 11368	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
13	12	3ad2ant2 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B <_ B )
14		breq2 4457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( A <_ x <-> A <_ B ) )
15		breq1 4456	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( x <_ B <-> B <_ B ) )
16	14, 15	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) <-> ( A <_ B /\ B <_ B ) ) )
17	16	rspcev 3219	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ ( A <_ B /\ B <_ B ) ) -> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
18	10, 11, 13, 17	syl12anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
19	18	3expia 1198	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B -> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) ) )
20	9, 19	impbid 191	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) <-> A <_ B ) )
21	5, 20	syl5bb 257	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> A <_ B ) )
22		xrlenlt 9664	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
23	21, 22	bitrd 253	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> -. B < A ) )
24	23	con4bid 293	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> B < A ) )
25	2, 24	bitrd 253	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2818   {crab 2821   (/)c0 3790   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   RR*cxr 9639   < clt 9640   <_ cle 9641   [,]cicc 11544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-icc 11548

This theorem is referenced by:  iccntr  21194  icccmp  21198  cniccbdd  21741  iccvolcl  21845  itgioo  22090  c1lip1  22266  pserulm  22684  iccdifprioo  31434  cncfiooicc  31547  ibliooicc  31603