Theorem icc0 11462

Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icc0	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )

Proof of Theorem icc0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccval 11453	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A [,] B ) = { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } )
2	1	eqeq1d 2456	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) ) )
3		df-ne 2650	. . . . . 6 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } =/= (/) <-> -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) )
4		rabn0 3768	. . . . . 6 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } =/= (/) <-> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
5	3, 4	bitr3i 251	. . . . 5 |- ( -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
6		xrletr 11246	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
7	6	3com23 1194	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
8	7	3expa 1188	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
9	8	rexlimdva 2947	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
10		simp2 989	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. RR* )
11		simp3 990	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A <_ B )
12		xrleid 11241	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
13	12	3ad2ant2 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B <_ B )
14		breq2 4407	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( A <_ x <-> A <_ B ) )
15		breq1 4406	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( x <_ B <-> B <_ B ) )
16	14, 15	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) <-> ( A <_ B /\ B <_ B ) ) )
17	16	rspcev 3179	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ ( A <_ B /\ B <_ B ) ) -> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
18	10, 11, 13, 17	syl12anc 1217	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
19	18	3expia 1190	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B -> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) ) )
20	9, 19	impbid 191	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) <-> A <_ B ) )
21	5, 20	syl5bb 257	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> A <_ B ) )
22		xrlenlt 9556	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
23	21, 22	bitrd 253	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> -. B < A ) )
24	23	con4bid 293	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> B < A ) )
25	2, 24	bitrd 253	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   E.wrex 2800   {crab 2803   (/)c0 3748   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RR*cxr 9531   < clt 9532   <_ cle 9533   [,]cicc 11417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-icc 11421

This theorem is referenced by:  iccntr  20533  icccmp  20537  cniccbdd  21080  iccvolcl  21184  itgioo  21429  c1lip1  21605  pserulm  22023