Theorem icc0 11709

Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icc0	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )

Proof of Theorem icc0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccval 11700	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A [,] B ) = { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } )
2	1	eqeq1d 2473	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) ) )
3		df-ne 2643	. . . . . 6 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } =/= (/) <-> -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) )
4		rabn0 3755	. . . . . 6 |- ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } =/= (/) <-> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
5	3, 4	bitr3i 259	. . . . 5 |- ( -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
6		xrletr 11478	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
7	6	3com23 1237	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
8	7	3expa 1231	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ x e. RR* ) -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
9	8	rexlimdva 2871	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) -> A <_ B ) )
10		simp2 1031	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. RR* )
11		simp3 1032	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A <_ B )
12		xrleid 11472	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
13	12	3ad2ant2 1052	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B <_ B )
14		breq2 4399	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( A <_ x <-> A <_ B ) )
15		breq1 4398	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( x <_ B <-> B <_ B ) )
16	14, 15	anbi12d 725	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( A <_ x /\ x <_ B ) <-> ( A <_ B /\ B <_ B ) ) )
17	16	rspcev 3136	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ ( A <_ B /\ B <_ B ) ) -> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
18	10, 11, 13, 17	syl12anc 1290	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) )
19	18	3expia 1233	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B -> E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) ) )
20	9, 19	impbid 195	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( E. x e. RR* ( A <_ x /\ x <_ B ) <-> A <_ B ) )
21	5, 20	syl5bb 265	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> A <_ B ) )
22		xrlenlt 9717	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
23	21, 22	bitrd 261	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> -. B < A ) )
24	23	con4bid 300	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( { x e. RR* | ( A <_ x /\ x <_ B ) } = (/) <-> B < A ) )
25	2, 24	bitrd 261	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   (/)c0 3722   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   [,]cicc 11663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-icc 11667

This theorem is referenced by:  iccntr  21917  icccmp  21921  cniccbdd  22490  iccvolcl  22599  itgioo  22852  c1lip1  23028  pserulm  23456  iccdifprioo  37713  cncfiooicc  37869  ibliooicc  37945