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Theorem icc0 11589
Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
icc0  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )

Proof of Theorem icc0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccval 11580 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A [,] B )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) } )
21eqeq1d 2469 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) ) )
3 df-ne 2664 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =/=  (/)  <->  -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) )
4 rabn0 3810 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
53, 4bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( -. 
{ x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
6 xrletr 11373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
763com23 1202 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
873expa 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( A  <_  x  /\  x  <_  B
)  ->  A  <_  B ) )
98rexlimdva 2959 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
10 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
11 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
12 xrleid 11368 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
13123ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  B )
14 breq2 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
15 breq1 4456 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
x  <_  B  <->  B  <_  B ) )
1614, 15anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
1716rspcev 3219 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
1810, 11, 13, 17syl12anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
19183expia 1198 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
209, 19impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  A  <_  B ) )
215, 20syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  A  <_  B ) )
22 xrlenlt 9664 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2321, 22bitrd 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  -.  B  <  A ) )
2423con4bid 293 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  B  <  A ) )
252, 24bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818   {crab 2821   (/)c0 3790   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   [,]cicc 11544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-icc 11548
This theorem is referenced by:  iccntr  21194  icccmp  21198  cniccbdd  21741  iccvolcl  21845  itgioo  22090  c1lip1  22266  pserulm  22684  iccdifprioo  31434  cncfiooicc  31547  ibliooicc  31603
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