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Theorem iblulm 23441
Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
itgulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
itgulm.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> L^1 )
itgulm.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
itgulm.s  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
iblulm  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )

Proof of Theorem iblulm
Dummy variables  j 
k  r  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 itgulm.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 itgulm.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> L^1 )
4 ffn 5739 . . . . . 6  |-  ( F : Z --> L^1 
->  F  Fn  Z
)
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  Fn  Z )
6 itgulm.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
7 ulmf2 23418 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
85, 6, 7syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
9 eqidd 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  x
)  =  ( ( F `  k ) `
 x ) )
10 eqidd 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
11 1rp 11329 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
131, 2, 8, 9, 10, 6, 12ulmi 23420 . . 3  |-  ( ph  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1
)
141r19.2uz 13491 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1  ->  E. k  e.  Z  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 )
1513, 14syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  Z  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 )
16 ulmcl 23415 . . . . . . 7  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
176, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
1817adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  G : S --> CC )
1918feqmptd 5932 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  G  =  ( z  e.  S  |->  ( G `  z ) ) )
208ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
21 elmapi 7511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2322adantrr 731 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2423ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  k ) `  z )  e.  CC )
2518ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( G `  z )  e.  CC )
2624, 25nncand 10010 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( (
( F `  k
) `  z )  -  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  =  ( G `  z ) )
2726mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  ( G `
 z ) ) )
2819, 27eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  G  =  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) ) )
2923feqmptd 5932 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
303ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  L^1 )
3130adantrr 731 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( F `  k )  e.  L^1 )
3229, 31eqeltrrd 2550 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  e.  L^1 )
3324, 25subcld 10005 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( (
( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) )  e.  CC )
34 ulmscl 23413 . . . . . . . . 9  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
356, 34syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
3635adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  S  e.  _V )
3736, 24, 25, 29, 19offval2 6567 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
( F `  k
)  oF  -  G )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) ) )
38 iblmbf 22804 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k )  e.  L^1  ->  ( F `  k )  e. MblFn )
3931, 38syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( F `  k )  e. MblFn )
40 iblmbf 22804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  L^1  ->  x  e. MblFn )
4140ssriv 3422 . . . . . . . . . 10  |-  L^1 
C_ MblFn
42 fss 5749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : Z --> L^1 
/\  L^1  C_ MblFn )  ->  F : Z -->MblFn )
433, 41, 42sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : Z -->MblFn )
441, 2, 43, 6mbfulm 23440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
4544adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  G  e. MblFn )
4639, 45mbfsub 22697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
( F `  k
)  oF  -  G )  e. MblFn )
4737, 46eqeltrrd 2550 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  e. MblFn )
48 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )
4948, 33dmmptd 5718 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  =  S )
5049fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( vol `  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )  =  ( vol `  S ) )
51 itgulm.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
5251adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( vol `  S )  e.  RR )
5350, 52eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( vol `  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )  e.  RR )
54 1re 9660 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5522ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  x )  e.  CC )
5617adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  G : S --> CC )
5756ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
5855, 57subcld 10005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  CC )
5958abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
60 ltle 9740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  1 ) )
6159, 54, 60sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  1 ) )
62 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  x ) )
63 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( G `  z )  =  ( G `  x ) )
6462, 63oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )
65 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) )  e. 
_V
6664, 48, 65fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  ->  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
)  =  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )
6766adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
)  =  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )
6867fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) `
 x ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ) )
6968breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  1  <->  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <_  1 ) )
7061, 69sylibrd 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  1
) )
7170ralimdva 2805 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1  ->  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  1
) )
7271impr 631 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  1
)
7349raleqdv 2979 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( A. x  e.  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  1  <->  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) ) `  x ) )  <_  1 ) )
7472, 73mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  A. x  e.  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  1
)
75 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  1  ->  (
( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  r  <->  ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) ) `  x ) )  <_  1 ) )
7675ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( r  =  1  ->  ( A. x  e.  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  r  <->  A. x  e.  dom  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) ) ( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  1
) )
7776rspcev 3136 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. x  e.  dom  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) ) ( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  1
)  ->  E. r  e.  RR  A. x  e. 
dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  r
)
7854, 74, 77sylancr 676 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e. 
dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  r
)
79 bddibl 22876 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )  e.  RR  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) ( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  r
)  ->  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  e.  L^1 )
8047, 53, 78, 79syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  e.  L^1 )
8124, 32, 33, 80iblsub 22858 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )  e.  L^1 )
8228, 81eqeltrd 2549 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  G  e.  L^1 )
8315, 82rexlimddv 2875 1  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   abscabs 13374   volcvol 22493  MblFncmbf 22651   L^1cibl 22654   ~~> uculm 23410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-0p 22707  df-ulm 23411
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