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Theorem iblulm 22887
Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
itgulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
itgulm.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> L^1 )
itgulm.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
itgulm.s  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
iblulm  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )

Proof of Theorem iblulm
Dummy variables  j 
k  r  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 itgulm.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 itgulm.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> L^1 )
4 ffn 5639 . . . . . 6  |-  ( F : Z --> L^1 
->  F  Fn  Z
)
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  Fn  Z )
6 itgulm.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
7 ulmf2 22864 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
85, 6, 7syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
9 eqidd 2383 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  x
)  =  ( ( F `  k ) `
 x ) )
10 eqidd 2383 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
11 1rp 11143 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
131, 2, 8, 9, 10, 6, 12ulmi 22866 . . 3  |-  ( ph  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1
)
141r19.2uz 13186 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1  ->  E. k  e.  Z  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  Z  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 )
16 ulmcl 22861 . . . . . . 7  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
176, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
1817adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  G : S --> CC )
1918feqmptd 5827 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  G  =  ( z  e.  S  |->  ( G `  z ) ) )
208ffvelrnda 5933 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
21 elmapi 7359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2322adantrr 714 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2423ffvelrnda 5933 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( ( F `  k ) `  z )  e.  CC )
2518ffvelrnda 5933 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( G `  z )  e.  CC )
2624, 25nncand 9849 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( (
( F `  k
) `  z )  -  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  =  ( G `  z ) )
2726mpteq2dva 4453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  ( G `
 z ) ) )
2819, 27eqtr4d 2426 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  G  =  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) ) )
2923feqmptd 5827 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
303ffvelrnda 5933 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  L^1 )
3130adantrr 714 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( F `  k )  e.  L^1 )
3229, 31eqeltrrd 2471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  e.  L^1 )
3324, 25subcld 9844 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1 ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( (
( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) )  e.  CC )
34 ulmscl 22859 . . . . . . . . 9  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
356, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
3635adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  S  e.  _V )
3736, 24, 25, 29, 19offval2 6455 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
( F `  k
)  oF  -  G )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) ) )
38 iblmbf 22259 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k )  e.  L^1  ->  ( F `  k )  e. MblFn )
3931, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( F `  k )  e. MblFn )
40 iblmbf 22259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  L^1  ->  x  e. MblFn )
4140ssriv 3421 . . . . . . . . . 10  |-  L^1 
C_ MblFn
42 fss 5647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : Z --> L^1 
/\  L^1  C_ MblFn )  ->  F : Z -->MblFn )
433, 41, 42sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : Z -->MblFn )
441, 2, 43, 6mbfulm 22886 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
4544adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  G  e. MblFn )
4639, 45mbfsub 22154 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
( F `  k
)  oF  -  G )  e. MblFn )
4737, 46eqeltrrd 2471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  e. MblFn )
48 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )
4948, 33dmmptd 5619 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  =  S )
5049fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( vol `  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )  =  ( vol `  S ) )
51 itgulm.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
5251adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( vol `  S )  e.  RR )
5350, 52eqeltrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( vol `  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )  e.  RR )
54 1re 9506 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5522ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  x )  e.  CC )
5617adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  G : S --> CC )
5756ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
5855, 57subcld 9844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  CC )
5958abscld 13269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
60 ltle 9584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  1 ) )
6159, 54, 60sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  1 ) )
62 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  x ) )
63 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  ( G `  z )  =  ( G `  x ) )
6462, 63oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )
65 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) )  e. 
_V
6664, 48, 65fvmpt 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  ->  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
)  =  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )
6766adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
)  =  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )
6867fveq2d 5778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) `
 x ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ) )
6968breq1d 4377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  1  <->  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <_  1 ) )
7061, 69sylibrd 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  1
) )
7170ralimdva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  <  1  ->  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  1
) )
7271impr 617 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  1
)
7349raleqdv 2985 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  ( A. x  e.  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  1  <->  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) ) `  x ) )  <_  1 ) )
7472, 73mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  A. x  e.  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  1
)
75 breq2 4371 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  1  ->  (
( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  r  <->  ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) ) `  x ) )  <_  1 ) )
7675ralbidv 2821 . . . . . . 7  |-  ( r  =  1  ->  ( A. x  e.  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  r  <->  A. x  e.  dom  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) ) ( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  1
) )
7776rspcev 3135 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. x  e.  dom  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) ) ( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  1
)  ->  E. r  e.  RR  A. x  e. 
dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  r
)
7854, 74, 77sylancr 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e. 
dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) ( abs `  ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) `  x
) )  <_  r
)
79 bddibl 22331 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )  e.  RR  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  dom  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) ( abs `  (
( z  e.  S  |->  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) `  x
) )  <_  r
)  ->  ( z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  e.  L^1 )
8047, 53, 78, 79syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  e.  L^1 )
8124, 32, 33, 80iblsub 22313 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( ( F `  k ) `  z
)  -  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )  e.  L^1 )
8228, 81eqeltrd 2470 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  A. x  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  1
) )  ->  G  e.  L^1 )
8315, 82rexlimddv 2878 1  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   dom cdm 4913    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    oFcof 6437    ^m cmap 7338   CCcc 9401   RRcr 9402   1c1 9404    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   RR+crp 11139   abscabs 13069   volcvol 21960  MblFncmbf 22108   L^1cibl 22111   ~~> uculm 22856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-ovol 21961  df-vol 21962  df-mbf 22113  df-itg1 22114  df-itg2 22115  df-ibl 22116  df-0p 22162  df-ulm 22857
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