MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblsub Structured version   Unicode version

Theorem iblsub 21442
Description: Subtract two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblsub  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem iblsub
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 iblmbf 21388 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgadd.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 21258 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 itgadd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
7 iblmbf 21388 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
9 itgadd.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
108, 9mbfmptcl 21258 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
115, 10negsubd 9840 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  -u C )  =  ( B  -  C ) )
1211mpteq2dva 4489 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  -u C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) ) )
1310negcld 9821 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  CC )
149, 6iblneg 21423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u C )  e.  L^1 )
155, 1, 13, 14ibladd 21441 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  -u C ) )  e.  L^1 )
1612, 15eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    |-> cmpt 4461  (class class class)co 6203   CCcc 9395    + caddc 9400    - cmin 9710   -ucneg 9711  MblFncmbf 21237   L^1cibl 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cc 8719  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-disj 4374  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-acn 8227  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ioo 11419  df-ioc 11420  df-ico 11421  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-fl 11763  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-rlim 13089  df-sum 13286  df-rest 14484  df-topgen 14505  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-cmp 19132  df-ovol 21090  df-vol 21091  df-mbf 21242  df-itg1 21243  df-itg2 21244  df-ibl 21245  df-0p 21291
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  21654  iblulm  22015  itgulm  22016  areaquad  29763
  Copyright terms: Public domain W3C validator