MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblss2 Structured version   Unicode version

Theorem iblss2 21947
Description: Change the domain of an integrability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblss2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
iblss2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
iblss2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
iblss2.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
iblss2.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblss2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem iblss2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblss2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 iblss2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3 iblss2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
4 iblss2.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
5 iblss2.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
6 iblmbf 21909 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
81, 2, 3, 4, 7mbfss 21788 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
91adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A  C_  B )
109sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
11 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
13 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1413adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1512, 14eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
16 ifid 3976 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  e.  B , 
0 ,  0 )  =  0
17 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ph )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
19 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
2018, 19eldifd 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  \  A
) )
2117, 20, 4syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  C  =  0 )
2221oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) )
23 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  ( 0 ... 3
) )
24 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
25 ax-icn 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  e.  CC
26 ine0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  =/=  0
27 expclz 12155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
28 expne0i 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2927, 28div0d 10315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
3025, 26, 29mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
3123, 24, 303syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
3222, 31eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  0 )
3332fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
34 re0 12944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Re
`  0 )  =  0
3533, 34syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
3635ifeq1d 3957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 ) )
37 ifid 3976 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 )  =  0
3836, 37syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
3938ifeq1da 3969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  0 ,  0 ) )
40 iffalse 3948 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
4140adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
4216, 39, 413eqtr4a 2534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
4315, 42pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
44 ifan 3985 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
45 ifan 3985 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
4643, 44, 453eqtr4g 2533 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
4746mpteq2dv 4534 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
4847fveq2d 5868 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
49 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
50 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
5149, 50, 5, 3iblitg 21910 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5224, 51sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5348, 52eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5453ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
55 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
56 eqidd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
57 elun 3645 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  A ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )
58 undif2 3903 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
59 ssequn1 3674 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
601, 59sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  B )
6158, 60syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
6261eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  B ) )
6357, 62syl5bbr 259 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) )  <->  x  e.  B ) )
6463biimpar 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A ) ) )
657, 3mbfmptcl 21779 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
66 0cn 9584 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
674, 66syl6eqel 2563 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
6865, 67jaodan 783 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )  ->  C  e.  CC )
6964, 68syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
7055, 56, 69isibl2 21908 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
718, 54, 70mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   _ici 9490    <_ cle 9625    / cdiv 10202   3c3 10582   ZZcz 10860   ...cfz 11668   ^cexp 12130   Recre 12889   volcvol 21610  MblFncmbf 21758   S.2citg2 21760   L^1cibl 21761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-xmet 18183  df-met 18184  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-ibl 21766
This theorem is referenced by:  itgss3  21956  itgless  21958  ftc1anclem5  29671  ftc1anclem6  29672  areacirc  29689  arearect  30788  areaquad  30789
  Copyright terms: Public domain W3C validator