MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblss2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iblss2 22842
Description: Change the domain of an integrability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblss2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
iblss2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
iblss2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
iblss2.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
iblss2.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblss2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem iblss2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblss2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 iblss2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3 iblss2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
4 iblss2.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
5 iblss2.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
6 iblmbf 22804 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
81, 2, 3, 4, 7mbfss 22681 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
91adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A  C_  B )
109sselda 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
1110iftrued 3880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
12 iftrue 3878 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1312adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1411, 13eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
15 ifid 3909 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  e.  B , 
0 ,  0 )  =  0
16 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ph )
17 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
18 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
1917, 18eldifd 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  \  A
) )
2016, 19, 4syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  C  =  0 )
2120oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) )
22 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  ( 0 ... 3
) )
23 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
24 ax-icn 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  e.  CC
25 ine0 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  =/=  0
26 expclz 12335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
27 expne0i 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2826, 27div0d 10404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
2924, 25, 28mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
3022, 23, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
3121, 30eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  0 )
3231fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
33 re0 13292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Re
`  0 )  =  0
3432, 33syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
3534ifeq1d 3890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 ) )
36 ifid 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 )  =  0
3735, 36syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
3837ifeq1da 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  0 ,  0 ) )
39 iffalse 3881 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
4039adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
4115, 38, 403eqtr4a 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
4214, 41pm2.61dan 808 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
43 ifan 3918 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
44 ifan 3918 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
4542, 43, 443eqtr4g 2530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
4645mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
4746fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
48 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
49 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
5048, 49, 5, 3iblitg 22805 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5123, 50sylan2 482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5247, 51eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5352ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
54 eqidd 2472 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
55 eqidd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
56 elun 3565 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  A ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )
57 undif2 3834 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
58 ssequn1 3595 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
591, 58sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  B )
6057, 59syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
6160eleq2d 2534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  B ) )
6256, 61syl5bbr 267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) )  <->  x  e.  B ) )
6362biimpar 493 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A ) ) )
647, 3mbfmptcl 22672 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
65 0cn 9653 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
664, 65syl6eqel 2557 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
6764, 66jaodan 802 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )  ->  C  e.  CC )
6863, 67syldan 478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
6954, 55, 68isibl2 22803 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
708, 53, 69mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   _ici 9559    <_ cle 9694    / cdiv 10291   3c3 10682   ZZcz 10961   ...cfz 11810   ^cexp 12310   Recre 13237   volcvol 22493  MblFncmbf 22651   S.2citg2 22653   L^1cibl 22654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-ibl 22659
This theorem is referenced by:  itgss3  22851  itgless  22853  ftc1anclem5  32085  ftc1anclem6  32086  areacirc  32101  arearect  36171  areaquad  36172
  Copyright terms: Public domain W3C validator