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Theorem iblss 21946
Description: A subset of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
iblss.2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
iblss.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  V )
iblss.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem iblss
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblss.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 resmpt 5321 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
4 iblss.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
5 iblmbf 21909 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
7 iblss.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
8 mbfres 21786 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  -> 
( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e. MblFn )
96, 7, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e. MblFn )
103, 9eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
11 ifan 3985 . . . . . 6  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
12 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  ph )
131sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
1412, 13sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  B )
15 iblss.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  V )
166, 15mbfmptcl 21779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
1712, 16sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
18 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
1918ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  ZZ )
20 ax-icn 9547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
21 ine0 9988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
22 expclz 12155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
2320, 21, 22mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
2419, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( _i ^ k )  e.  CC )
25 expne0i 12162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2620, 21, 25mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2719, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( _i ^ k )  =/=  0 )
2817, 24, 27divcld 10316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
2928recld 12986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  e.  RR )
30 0re 9592 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
31 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
3332rexrd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e. 
RR* )
34 max1 11382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
3530, 29, 34sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  0  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
36 elxrge0 11625 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
3733, 35, 36sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3814, 37syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
39 0e0iccpnf 11627 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4138, 40ifclda 3971 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4211, 41syl5eqel 2559 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
43 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
4442, 43fmptd 6043 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
45 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
46 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
4745, 46, 4, 15iblitg 21910 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4818, 47sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
49 ifan 3985 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
5039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5137, 50ifclda 3971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5249, 51syl5eqel 2559 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
53 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
5452, 53fmptd 6043 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
5532leidd 10115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
56 breq1 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  ->  ( if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
57 breq1 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  ->  ( 0  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
5856, 57ifboth 3975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
5955, 35, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
60 iftrue 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
6259, 61breqtrrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
63 0le0 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  <_  0 )
6514ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  B )
)
6665con3dimp 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
67 iffalse 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
69 iffalse 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
7069adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
7164, 68, 703brtr4d 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
7262, 71pm2.61dan 789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
7372, 11, 493brtr4g 4479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
7473ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
75 reex 9579 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
7675a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  RR  e.  _V )
77 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
78 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
7976, 42, 52, 77, 78ofrfval2 6539 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
8074, 79mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )
81 itg2le 21881 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
8244, 54, 80, 81syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
83 itg2lecl 21880 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8444, 48, 82, 83syl3anc 1228 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8584ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
86 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
87 eqidd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
8813, 16syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
8986, 87, 88isibl2 21908 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
9010, 85, 89mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oRcofr 6521   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   _ici 9490   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    <_ cle 9625    / cdiv 10202   3c3 10582   ZZcz 10860   [,]cicc 11528   ...cfz 11668   ^cexp 12130   Recre 12889   volcvol 21610  MblFncmbf 21758   S.2citg2 21760   L^1cibl 21761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-xmet 18183  df-met 18184  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-ibl 21766
This theorem is referenced by:  itgss3  21956  itgless  21958  bddmulibl  21980  itgcn  21984  ditgcl  21997  ditgswap  21998  ditgsplitlem  21999  ftc1lem1  22171  ftc1lem2  22172  ftc1a  22173  ftc1lem4  22175  ftc2  22180  ftc2ditglem  22181  itgsubstlem  22184  ftc1cnnclem  29665  ftc1anc  29675  ftc2nc  29676  areacirc  29689  itgpowd  30787  lhe4.4ex1a  30834  itgsin0pilem1  31267  iblioosinexp  31270  itgsinexplem1  31271  itgsinexp  31272  itgcoscmulx  31287  itgsincmulx  31292  iblcncfioo  31296  dirkeritg  31402  fourierdlem87  31494  fourierdlem95  31502  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fourierdlem107  31514  fourierdlem111  31518  fourierdlem112  31519  sqwvfoura  31529  sqwvfourb  31530
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