MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblss Structured version   Unicode version

Theorem iblss 22639
Description: A subset of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
iblss.2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
iblss.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  V )
iblss.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem iblss
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblss.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21resmptd 5176 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
3 iblss.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
4 iblmbf 22602 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
6 iblss.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
7 mbfres 22477 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  -> 
( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e. MblFn )
85, 6, 7syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  |`  A )  e. MblFn )
92, 8eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
10 ifan 3961 . . . . . 6  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
11 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  ph )
121sselda 3470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
1311, 12sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  B )
14 iblss.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  V )
155, 14mbfmptcl 22470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
1611, 15sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
17 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
1817ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  ZZ )
19 ax-icn 9597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
20 ine0 10053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
21 expclz 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
2219, 20, 21mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
2318, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( _i ^ k )  e.  CC )
24 expne0i 12301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2519, 20, 24mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2618, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( _i ^ k )  =/=  0 )
2716, 23, 26divcld 10382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
2827recld 13236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  e.  RR )
29 0re 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
30 ifcl 3957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
3128, 29, 30sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
3231rexrd 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e. 
RR* )
33 max1 11480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
3429, 28, 33sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  0  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
35 elxrge0 11739 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
3632, 34, 35sylanbrc 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3713, 36syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
38 0e0iccpnf 11741 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4037, 39ifclda 3947 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4110, 40syl5eqel 2521 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
42 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
4341, 42fmptd 6061 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
44 eqidd 2430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
45 eqidd 2430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
4644, 45, 3, 14iblitg 22603 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4717, 46sylan2 476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
48 ifan 3961 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
4938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5036, 49ifclda 3947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5148, 50syl5eqel 2521 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
52 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
5351, 52fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
5431leidd 10179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
55 breq1 4429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  ->  ( if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
56 breq1 4429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  ->  ( 0  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
5755, 56ifboth 3951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
5854, 34, 57syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
59 iftrue 3921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
6059adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
6158, 60breqtrrd 4452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
62 0le0 10699 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  <_  0 )
6413stoic1a 1651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
65 iffalse 3924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
67 iffalse 3924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
6867adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
6963, 66, 683brtr4d 4456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
7061, 69pm2.61dan 798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
7170, 10, 483brtr4g 4458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
7271ralrimiva 2846 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
73 reex 9629 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
7473a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  RR  e.  _V )
75 eqidd 2430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
76 eqidd 2430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
7774, 41, 51, 75, 76ofrfval2 6563 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
7872, 77mpbird 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )
79 itg2le 22574 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
8043, 53, 78, 79syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
81 itg2lecl 22573 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8243, 47, 80, 81syl3anc 1264 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8382ralrimiva 2846 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
84 eqidd 2430 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
85 eqidd 2430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
8612, 15syldan 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
8784, 85, 86isibl2 22601 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
889, 83, 87mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854    |` cres 4856   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oRcofr 6544   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   _ici 9540   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    <_ cle 9675    / cdiv 10268   3c3 10660   ZZcz 10937   [,]cicc 11638   ...cfz 11782   ^cexp 12269   Recre 13139   volcvol 22295  MblFncmbf 22449   S.2citg2 22451   L^1cibl 22452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-xmet 18898  df-met 18899  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456  df-ibl 22457
This theorem is referenced by:  itgss3  22649  itgless  22651  bddmulibl  22673  itgcn  22677  ditgcl  22690  ditgswap  22691  ditgsplitlem  22692  ftc1lem1  22864  ftc1lem2  22865  ftc1a  22866  ftc1lem4  22868  ftc2  22873  ftc2ditglem  22874  itgsubstlem  22877  ftc1cnnclem  31718  ftc1anc  31728  ftc2nc  31729  areacirc  31740  itgpowd  35797  lhe4.4ex1a  36314  itgsin0pilem1  37394  iblioosinexp  37397  itgsinexplem1  37398  itgsinexp  37399  itgcoscmulx  37414  itgsincmulx  37419  iblcncfioo  37423  dirkeritg  37532  fourierdlem87  37624  fourierdlem95  37632  fourierdlem103  37640  fourierdlem104  37641  fourierdlem107  37644  fourierdlem111  37648  fourierdlem112  37649  sqwvfoura  37659  sqwvfourb  37660  etransclem18  37683
  Copyright terms: Public domain W3C validator