Theorem iblspltprt 37947

Description: If a function is integrable on any interval of a partition, then it is integrable on the whole interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblspltprt.1	|- F/ t ph
iblspltprt.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
iblspltprt.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
iblspltprt.4	|- ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
iblspltprt.5	|- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
iblspltprt.6	|- ( ( ph /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) ) -> A e. CC )
iblspltprt.7	|- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblspltprt	|- ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   A, i   i, M, t   i, N, t   P, i, t   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( t)

Proof of Theorem iblspltprt

Dummy variables k j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblspltprt.3	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2		eluzelz 11192	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
4		eluzle 11195	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) <_ N )
5	1, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( M + 1 ) <_ N )
6	3	zred 11063	. . . 4 |- ( ph -> N e. RR )
7	6	leidd 10201	. . 3 |- ( ph -> N <_ N )
8		iblspltprt.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	peano2zd 11066	. . . 4 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
10		elfz1 11815	. . . 4 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N /\ N <_ N ) ) )
11	9, 3, 10	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N /\ N <_ N ) ) )
12	3, 5, 7, 11	mpbir3and 1213	. 2 |- ( ph -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
13		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( P ` j ) = ( P ` ( M + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) )
15	14	mpteq1d 4477	. . . . 5 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) )
16	15	eleq1d 2533	. . . 4 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
17	16	imbi2d 323	. . 3 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
18		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( P ` j ) = ( P ` k ) )
19	18	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) )
20	19	mpteq1d 4477	. . . . 5 |- ( j = k -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) )
21	20	eleq1d 2533	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
22	21	imbi2d 323	. . 3 |- ( j = k -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
23		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( P ` j ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
24	23	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
25	24	mpteq1d 4477	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) )
26	25	eleq1d 2533	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
27	26	imbi2d 323	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
28		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( P ` j ) = ( P ` N ) )
29	28	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) )
30	29	mpteq1d 4477	. . . . 5 |- ( j = N -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) )
31	30	eleq1d 2533	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
32	31	imbi2d 323	. . 3 |- ( j = N -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
33		uzid 11197	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
34	8, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
35	8	zred 11063	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
36		1red 9676	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
37	35, 36	readdcld 9688	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
38	35	ltp1d 10559	. . . . . . 7 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
39	35, 37, 6, 38, 5	ltletrd 9812	. . . . . 6 |- ( ph -> M < N )
40		elfzo2 11950	. . . . . 6 |- ( M e. ( M..^ N ) <-> ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ M < N ) )
41	34, 3, 39, 40	syl3anbrc 1214	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( M..^ N ) )
42		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( i = M -> ( P ` i ) = ( P ` M ) )
43		oveq1 6315	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = M -> ( i + 1 ) = ( M + 1 ) )
44	43	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( i = M -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( M + 1 ) ) )
45	42, 44	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( i = M -> ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) )
46	45	mpteq1d 4477	. . . . . . . 8 |- ( i = M -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) )
47	46	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( i = M -> ( ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
48	47	imbi2d 323	. . . . . 6 |- ( i = M -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
49		iblspltprt.7	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
50	49	expcom 442	. . . . . 6 |- ( i e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
51	48, 50	vtoclga 3099	. . . . 5 |- ( M e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
52	41, 51	mpcom 36	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
53	52	a1i 11	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
54		nfv 1769	. . . . . 6 |- F/ t k e. ( ( M + 1 )..^ N )
55		iblspltprt.1	. . . . . . 7 |- F/ t ph
56		nfmpt1 4485	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A )
57	56	nfel1 2626	. . . . . . 7 |- F/ t ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1
58	55, 57	nfim 2023	. . . . . 6 |- F/ t ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 )
59	54, 58, 55	nf3an 2033	. . . . 5 |- F/ t ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph )
60		simp3 1032	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ph )
61		simp1 1030	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> k e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
62	35	leidd 10201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M <_ M )
63	35, 6, 39	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M <_ N )
64		elfz1 11815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ( M ... N ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M /\ M <_ N ) ) )
65	8, 3, 64	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M /\ M <_ N ) ) )
66	8, 62, 63, 65	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
67	66	ancli 560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) )
68		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = M -> ( i e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
69	68	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = M -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) ) )
70	42	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = M -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` M ) e. RR ) )
71	69, 70	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) -> ( P ` M ) e. RR ) ) )
72		iblspltprt.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
73	71, 72	vtoclg 3093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) -> ( P ` M ) e. RR ) )
74	66, 67, 73	sylc 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ` M ) e. RR )
75	74	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` M ) e. RR )
76	75	rexrd 9708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` M ) e. RR* )
77		simpl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ph )
78		elfzoelz 11947	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. ZZ )
79	78	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ZZ )
80	35	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M e. RR )
81	79	zred 11063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. RR )
82	37	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M + 1 ) e. RR )
83	38	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M < ( M + 1 ) )
84		elfzole1 11955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( M + 1 ) <_ k )
85	84	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M + 1 ) <_ k )
86	80, 82, 81, 83, 85	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M < k )
87	80, 81, 86	ltled 9800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M <_ k )
88	6	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> N e. RR )
89		elfzolt2 11956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k < N )
90	89	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k < N )
91	81, 88, 90	ltled 9800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k <_ N )
92	8, 3	jca 541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
93	92	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
94		elfz1 11815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
96	79, 87, 91, 95	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
97		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( i e. ( M ... N ) <-> k e. ( M ... N ) ) )
98	97	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) ) )
99		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( P ` i ) = ( P ` k ) )
100	99	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` k ) e. RR ) )
101	98, 100	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( P ` k ) e. RR ) ) )
102	101, 72	chvarv 2120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
103	77, 96, 102	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
104	103	rexrd 9708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) e. RR* )
105	79	peano2zd 11066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
106	105	zred 11063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
107		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> 1 e. RR )
108	80, 81, 107, 86	ltadd1dd 10245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M + 1 ) < ( k + 1 ) )
109	80, 82, 106, 83, 108	lttrd 9813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M < ( k + 1 ) )
110	80, 106, 109	ltled 9800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M <_ ( k + 1 ) )
111		zltp1le 11010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k < N <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
112	78, 3, 111	syl2anr 486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k < N <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
113	90, 112	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
114		elfz1 11815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) )
115	93, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) )
116	105, 110, 113, 115	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
117	77, 116	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
118		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
119	118	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) )
120		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( P ` i ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
121	120	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
122	119, 121	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
123	122, 72	vtoclg 3093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
124	116, 117, 123	sylc 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR )
125	124	rexrd 9708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
126		eluz 11196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ k ) )
127	8, 78, 126	syl2an 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ k ) )
128	87, 127	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
129		simpll 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> ph )
130		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( M ... k ) -> i e. ZZ )
131	130	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. ZZ )
132		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( M ... k ) -> M <_ i )
133	132	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> M <_ i )
134	131	zred 11063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. RR )
135	129, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> N e. RR )
136	81	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> k e. RR )
137		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... k ) -> i <_ k )
138	137	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i <_ k )
139	90	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> k < N )
140	134, 136, 135, 138, 139	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i < N )
141	134, 135, 140	ltled 9800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i <_ N )
142		elfz1 11815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
143	129, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
144	131, 133, 141, 143	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. ( M ... N ) )
145	129, 144, 72	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
146		simpll 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ph )
147		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i e. ZZ )
148	147	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
149		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M <_ i )
150	149	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> M <_ i )
151	148	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. RR )
152	146, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> N e. RR )
153	81	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> k e. RR )
154		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
155	153, 154	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
156		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i <_ ( k - 1 ) )
157	156	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i <_ ( k - 1 ) )
158	78	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. RR )
159		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> 1 e. RR )
160	158, 159	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k - 1 ) e. RR )
161		elfzoel2 11946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> N e. ZZ )
162	161	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> N e. RR )
163	158	ltm1d 10561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k - 1 ) < k )
164	160, 158, 162, 163, 89	lttrd 9813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k - 1 ) < N )
165	164	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) < N )
166	151, 155, 152, 157, 165	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i < N )
167	151, 152, 166	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i <_ N )
168	146, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
169	148, 150, 167, 168	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ( M ... N ) )
170	146, 169, 72	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
171	148	peano2zd 11066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
172		elfzel1 11825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M e. ZZ )
173	172	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M e. RR )
174	147	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i e. RR )
175		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> 1 e. RR )
176	174, 175	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
177	174	ltp1d 10559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i < ( i + 1 ) )
178	173, 174, 176, 149, 177	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M < ( i + 1 ) )
179	173, 176, 178	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M <_ ( i + 1 ) )
180	179	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> M <_ ( i + 1 ) )
181	146, 1, 2	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
182		zltp1le 11010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i < N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
183	148, 181, 182	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i < N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
184	166, 183	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ N )
185		elfz1 11815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( i + 1 ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) ) )
186	146, 92, 185	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( i + 1 ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) ) )
187	171, 180, 184, 186	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( M ... N ) )
188	146, 187	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
189		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
190	189	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) )
191		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( P ` k ) = ( P ` ( i + 1 ) ) )
192	191	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( P ` k ) e. RR <-> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR ) )
193	190, 192	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( P ` k ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR ) ) )
194	193, 102	vtoclg 3093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR ) )
195	187, 188, 194	sylc 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR )
196		elfzuz 11822	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
197	196	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
198		elfzo2 11950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( M..^ N ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ i < N ) )
199	197, 181, 166, 198	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ( M..^ N ) )
200		iblspltprt.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
201	146, 199, 200	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
202	170, 195, 201	ltled 9800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) <_ ( P ` ( i + 1 ) ) )
203	128, 145, 202	monoord 12281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` M ) <_ ( P ` k ) )
204	161	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> N e. ZZ )
205		elfzo2 11950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ k < N ) )
206	128, 204, 90, 205	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
207		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( i e. ( M..^ N ) <-> k e. ( M..^ N ) ) )
208	207	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) <-> ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) ) )
209		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = k -> ( i + 1 ) = ( k + 1 ) )
210	209	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
211	99, 210	breq12d 4408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) <-> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
212	208, 211	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
213	212, 200	chvarv 2120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
214	77, 206, 213	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
215	103, 124, 214	ltled 9800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) <_ ( P ` ( k + 1 ) ) )
216		iccintsng 37720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` k ) e. RR* /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* ) /\ ( ( P ` M ) <_ ( P ` k ) /\ ( P ` k ) <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) = { ( P ` k ) } )
217	76, 104, 125, 203, 215, 216	syl32anc 1300	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) = { ( P ` k ) } )
218	217	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( vol* ` ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( vol* ` { ( P ` k ) } ) )
219		ovolsn 22526	. . . . . . . 8 |- ( ( P ` k ) e. RR -> ( vol* ` { ( P ` k ) } ) = 0 )
220	103, 219	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( vol* ` { ( P ` k ) } ) = 0 )
221	218, 220	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( vol* ` ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = 0 )
222	60, 61, 221	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( vol* ` ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = 0 )
223	75, 124, 103, 203, 215	eliccd 37697	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
224	75, 124, 223	3jca 1210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
225	60, 61, 224	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
226		iccsplit 11791	. . . . . 6 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) u. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
227	225, 226	syl 17	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) u. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
228		simpl3 1035	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
229		simpl1 1033	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
230		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
231		simp1 1030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
232		eliccxr 37708	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) -> t e. RR* )
233	232	3ad2ant3 1053	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. RR* )
234	74	rexrd 9708	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ` M ) e. RR* )
235	234	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` M ) e. RR* )
236	125	3adant3 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
237		simp3 1032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
238		iccgelb 11716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` M ) <_ t )
239	235, 236, 237, 238	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` M ) <_ t )
240	75, 124	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
241	240	3adant3 1050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
242		iccssre 11741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR )
243	242	sseld 3417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) -> t e. RR ) )
244	241, 237, 243	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. RR )
245	124	3adant3 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR )
246		elfz1 11815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( M ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N /\ N <_ N ) ) )
247	8, 3, 246	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N /\ N <_ N ) ) )
248	3, 63, 7, 247	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
249	248	ancli 560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) )
250		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = N -> ( i e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
251	250	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) ) )
252		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = N -> ( P ` i ) = ( P ` N ) )
253	252	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` N ) e. RR ) )
254	251, 253	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = N -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) -> ( P ` N ) e. RR ) ) )
255	254, 72	vtoclg 3093	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) -> ( P ` N ) e. RR ) )
256	3, 249, 255	sylc 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ` N ) e. RR )
257	256	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` N ) e. RR )
258		elicc1 11705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
259	235, 236, 258	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
260	237, 259	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
261	260	simp3d 1044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) )
262		elfzop1le2 37592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
263	78	peano2zd 11066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
264		eluz 11196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
265	263, 161, 264	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
266	262, 265	mpbird 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
267	266	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
268		simpll 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ph )
269		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> i e. ZZ )
270	269	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. ZZ )
271	268, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M e. RR )
272	270	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. RR )
273	81	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k e. RR )
274	86	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M < k )
275	158	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k e. RR )
276		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> 1 e. RR )
277	275, 276	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
278	269	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> i e. RR )
279	278	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. RR )
280	275	ltp1d 10559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k < ( k + 1 ) )
281		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> ( k + 1 ) <_ i )
282	281	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( k + 1 ) <_ i )
283	275, 277, 279, 280, 282	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k < i )
284	283	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k < i )
285	271, 273, 272, 274, 284	lttrd 9813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M < i )
286	271, 272, 285	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M <_ i )
287		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> i <_ N )
288	287	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i <_ N )
289	268, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
290	270, 286, 288, 289	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. ( M ... N ) )
291	268, 290, 72	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
292		simpll 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ph )
293		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> i e. ZZ )
294	293	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
295	292, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M e. RR )
296	294	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. RR )
297	81	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. RR )
298	86	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M < k )
299	158	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. RR )
300		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
301	299, 300	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
302	293	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> i e. RR )
303	302	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. RR )
304	299	ltp1d 10559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < ( k + 1 ) )
305		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> ( k + 1 ) <_ i )
306	305	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ i )
307	299, 301, 303, 304, 306	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < i )
308	307	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < i )
309	295, 297, 296, 298, 308	lttrd 9813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M < i )
310	295, 296, 309	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M <_ i )
311	302	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. RR )
312	6	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. RR )
313		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
314	312, 313	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
315		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> i <_ ( N - 1 ) )
316	315	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i <_ ( N - 1 ) )
317	312	ltm1d 10561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) < N )
318	311, 314, 312, 316, 317	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i < N )
319	311, 312, 318	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i <_ N )
320	319	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i <_ N )
321	292, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
322	294, 310, 320, 321	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ( M ... N ) )
323	292, 322, 72	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
324	294	peano2zd 11066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
325	324	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
326	303, 300	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
327	299, 303, 307	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k <_ i )
328	299, 303, 300, 327	leadd1dd 10248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( i + 1 ) )
329	299, 301, 326, 304, 328	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < ( i + 1 ) )
330	329	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < ( i + 1 ) )
331	295, 297, 325, 298, 330	lttrd 9813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M < ( i + 1 ) )
332	295, 325, 331	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M <_ ( i + 1 ) )
333	293, 3, 182	syl2anr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i < N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
334	318, 333	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ N )
335	334	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ N )
336	292, 92, 185	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( i + 1 ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) ) )
337	324, 332, 335, 336	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( M ... N ) )
338	292, 337	jca 541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
339	337, 338, 194	sylc 61	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR )
340	292, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
341		eluz 11196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ i ) )
342	340, 294, 341	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ i ) )
343	310, 342	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
344	292, 1, 2	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
345	318	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i < N )
346	343, 344, 345, 198	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ( M..^ N ) )
347	292, 346, 200	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
348	323, 339, 347	ltled 9800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) <_ ( P ` ( i + 1 ) ) )
349	267, 291, 348	monoord 12281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) <_ ( P ` N ) )
350	349	3adant3 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) <_ ( P ` N ) )
351	244, 245, 257, 261, 350	letrd 9809	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t <_ ( P ` N ) )
352	257	rexrd 9708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` N ) e. RR* )
353		elicc1 11705	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` N ) e. RR* ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` N ) ) ) )
354	235, 352, 353	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` N ) ) ) )
355	233, 239, 351, 354	mpbir3and 1213	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) )
356		iblspltprt.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) ) -> A e. CC )
357	231, 355, 356	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> A e. CC )
358	228, 229, 230, 357	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> A e. CC )
359		simp2 1031	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
360	60, 359	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 )
361	60, 61	jca 541	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) )
362	77, 206	jca 541	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) )
363	99, 210	oveq12d 6326	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
364	363	mpteq1d 4477	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) )
365	364	eleq1d 2533	. . . . . . . 8 |- ( i = k -> ( ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
366	208, 365	imbi12d 327	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
367	366, 49	chvarv 2120	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
368	361, 362, 367	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
369	59, 222, 227, 358, 360, 368	iblsplitf 37944	. . . 4 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
370	369	3exp 1230	. . 3 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
371	17, 22, 27, 32, 53, 370	fzind2 12054	. 2 |- ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
372	12, 371	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   u. cun 3388   i^i cin 3389   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   vol*covol 22491   L^1cibl 22654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659

This theorem is referenced by:  itgspltprt  37953  fourierdlem69  38151