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Theorem iblspltprt 37669
Description: If a function is integrable on any interval of a partition, then it is integrable on the whole interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblspltprt.1  |-  F/ t
ph
iblspltprt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iblspltprt.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
iblspltprt.4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  RR )
iblspltprt.5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  ( i  +  1 ) ) )
iblspltprt.6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  N )
) )  ->  A  e.  CC )
iblspltprt.7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( t  e.  ( ( P `  i ) [,] ( P `  ( i  +  1 ) ) )  |->  A )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblspltprt  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 N ) ) 
|->  A )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    A, i    i, M, t    i, N, t    P, i, t    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t)

Proof of Theorem iblspltprt
Dummy variables  k 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblspltprt.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2 eluzelz 11168 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4 eluzle 11171 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  <_  N )
51, 4syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  <_  N )
63zred 11040 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
76leidd 10180 . . 3  |-  ( ph  ->  N  <_  N )
8 iblspltprt.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98peano2zd 11043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
10 elfz1 11789 . . . 4  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N  /\  N  <_  N ) ) )
119, 3, 10syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N  /\  N  <_  N ) ) )
123, 5, 7, 11mpbir3and 1188 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
13 fveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  ( P `  j )  =  ( P `  ( M  +  1
) ) )
1413oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( P `  M
) [,] ( P `
 j ) )  =  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  ( M  +  1 ) ) ) )
1514mpteq1d 4502 . . . . 5  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  (
t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  j ) )  |->  A )  =  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  ( M  +  1 ) ) )  |->  A ) )
1615eleq1d 2491 . . . 4  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 j ) ) 
|->  A )  e.  L^1 
<->  ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( M  + 
1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 ) )
1716imbi2d 317 . . 3  |-  ( j  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  j
) )  |->  A )  e.  L^1 )  <-> 
( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  ( M  +  1 ) ) )  |->  A )  e.  L^1 ) ) )
18 fveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( P `  j )  =  ( P `  k ) )
1918oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( P `  M
) [,] ( P `
 j ) )  =  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  k
) ) )
2019mpteq1d 4502 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  j ) )  |->  A )  =  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  k
) )  |->  A ) )
2120eleq1d 2491 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 j ) ) 
|->  A )  e.  L^1 
<->  ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 k ) ) 
|->  A )  e.  L^1 ) )
2221imbi2d 317 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  j
) )  |->  A )  e.  L^1 )  <-> 
( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  k
) )  |->  A )  e.  L^1 ) ) )
23 fveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  j )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
2423oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  M
) [,] ( P `
 j ) )  =  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  (
k  +  1 ) ) ) )
2524mpteq1d 4502 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  j ) )  |->  A )  =  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  (
k  +  1 ) ) )  |->  A ) )
2625eleq1d 2491 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 j ) ) 
|->  A )  e.  L^1 
<->  ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 ) )
2726imbi2d 317 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  j
) )  |->  A )  e.  L^1 )  <-> 
( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  (
k  +  1 ) ) )  |->  A )  e.  L^1 ) ) )
28 fveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( P `  j )  =  ( P `  N ) )
2928oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( P `  M
) [,] ( P `
 j ) )  =  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  N
) ) )
3029mpteq1d 4502 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  j ) )  |->  A )  =  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  N
) )  |->  A ) )
3130eleq1d 2491 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 j ) ) 
|->  A )  e.  L^1 
<->  ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 N ) ) 
|->  A )  e.  L^1 ) )
3231imbi2d 317 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  j
) )  |->  A )  e.  L^1 )  <-> 
( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  N
) )  |->  A )  e.  L^1 ) ) )
33 uzid 11173 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
348, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
358zred 11040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
36 1red 9658 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3735, 36readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
3835ltp1d 10537 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
3935, 37, 6, 38, 5ltletrd 9795 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <  N )
40 elfzo2 11923 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  <->  ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N ) )
4134, 3, 39, 40syl3anbrc 1189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M..^ N ) )
42 fveq2 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  M  ->  ( P `  i )  =  ( P `  M ) )
43 oveq1 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  M  ->  (
i  +  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
4443fveq2d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  M  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( M  +  1
) ) )
4542, 44oveq12d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  M  ->  (
( P `  i
) [,] ( P `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  ( M  +  1 ) ) ) )
4645mpteq1d 4502 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  (
t  e.  ( ( P `  i ) [,] ( P `  ( i  +  1 ) ) )  |->  A )  =  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  ( M  +  1 ) ) )  |->  A ) )
4746eleq1d 2491 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  (
( t  e.  ( ( P `  i
) [,] ( P `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 
<->  ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( M  + 
1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 ) )
4847imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( i  =  M  ->  (
( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `
 i ) [,] ( P `  (
i  +  1 ) ) )  |->  A )  e.  L^1 )  <-> 
( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  ( M  +  1 ) ) )  |->  A )  e.  L^1 ) ) )
49 iblspltprt.7 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( t  e.  ( ( P `  i ) [,] ( P `  ( i  +  1 ) ) )  |->  A )  e.  L^1 )
5049expcom 436 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  i
) [,] ( P `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 ) )
5148, 50vtoclga 3145 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( M  + 
1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 ) )
5241, 51mpcom 37 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( M  + 
1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 )
5352a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( M  + 
1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 ) )
54 nfv 1751 . . . . . 6  |-  F/ t  k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )
55 iblspltprt.1 . . . . . . 7  |-  F/ t
ph
56 nfmpt1 4510 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 k ) ) 
|->  A )
5756nfel1 2600 . . . . . . 7  |-  F/ t ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 k ) ) 
|->  A )  e.  L^1
5855, 57nfim 1976 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  ->  (
t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k ) )  |->  A )  e.  L^1 )
5954, 58, 55nf3an 1986 . . . . 5  |-  F/ t ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )
60 simp3 1007 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  ->  ph )
61 simp1 1005 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  ->  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )
6235leidd 10180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
6335, 6, 39ltled 9783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
64 elfz1 11789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( M ... N )  <-> 
( M  e.  ZZ  /\  M  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
658, 3, 64syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  <-> 
( M  e.  ZZ  /\  M  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
668, 62, 63, 65mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
6766ancli 553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  M  e.  ( M ... N
) ) )
68 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  M  ->  (
i  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
6968anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  M  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  M  e.  ( M ... N ) ) ) )
7042eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  M  ->  (
( P `  i
)  e.  RR  <->  ( P `  M )  e.  RR ) )
7169, 70imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  M  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( M ... N ) )  -> 
( P `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  M  e.  ( M ... N ) )  -> 
( P `  M
)  e.  RR ) ) )
72 iblspltprt.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  RR )
7371, 72vtoclg 3139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  M  e.  ( M ... N
) )  ->  ( P `  M )  e.  RR ) )
7466, 67, 73sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  e.  RR )
7574adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( P `  M )  e.  RR )
7675rexrd 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( P `  M )  e.  RR* )
77 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ph )
78 elfzoelz 11920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  k  e.  ZZ )
7978adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  e.  ZZ )
8035adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  M  e.  RR )
8179zred 11040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  e.  RR )
8237adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
8338adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
84 elfzole1 11928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  ( M  +  1 )  <_ 
k )
8584adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( M  +  1 )  <_ 
k )
8680, 82, 81, 83, 85ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  M  <  k )
8780, 81, 86ltled 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  M  <_  k )
886adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
89 elfzolt2 11929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  k  <  N )
9089adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  <  N )
9181, 88, 90ltled 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  <_  N )
928, 3jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
9392adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
94 elfz1 11789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... N )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( M ... N
)  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <_  N ) ) )
9679, 87, 91, 95mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  e.  ( M ... N ) )
97 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  k  ->  (
i  e.  ( M ... N )  <->  k  e.  ( M ... N ) ) )
9897anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  k  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) ) ) )
99 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  k  ->  ( P `  i )  =  ( P `  k ) )
10099eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  k  ->  (
( P `  i
)  e.  RR  <->  ( P `  k )  e.  RR ) )
10198, 100imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( M ... N ) )  -> 
( P `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( P `  k
)  e.  RR ) ) )
102101, 72chvarv 2068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( P `  k )  e.  RR )
10377, 96, 102syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( P `  k )  e.  RR )
104103rexrd 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( P `  k )  e.  RR* )
10579peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
106105zred 11040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
107 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  1  e.  RR )
10880, 81, 107, 86ltadd1dd 10224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( M  +  1 )  < 
( k  +  1 ) )
10980, 82, 106, 83, 108lttrd 9796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  M  <  ( k  +  1 ) )
11080, 106, 109ltled 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  M  <_  ( k  +  1 ) )
111 zltp1le 10986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  <  N  <->  ( k  +  1 )  <_  N ) )
11278, 3, 111syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( k  <  N  <->  ( k  +  1 )  <_  N
) )
11390, 112mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N )
114 elfz1 11789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  <-> 
( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  <_  N )
) )
11593, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( (
k  +  1 )  e.  ( M ... N )  <->  ( (
k  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  <_  N ) ) )
116105, 110, 113, 115mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
11777, 116jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )
118 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
i  e.  ( M ... N )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
119118anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) ) )
120 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  i )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
121120eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  i
)  e.  RR  <->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )
122119, 121imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( M ... N ) )  -> 
( P `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
123122, 72vtoclg 3139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  -> 
( P `  (
k  +  1 ) )  e.  RR ) )
124116, 117, 123sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
125124rexrd 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR* )
126 eluz 11172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  k ) )
1278, 78, 126syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  k ) )
12887, 127mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
129 simpll 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  ph )
130 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( M ... k )  ->  i  e.  ZZ )
131130adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  i  e.  ZZ )
132 elfzle1 11802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( M ... k )  ->  M  <_  i )
133132adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  M  <_  i )
134131zred 11040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  i  e.  RR )
135129, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  N  e.  RR )
13681adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  k  e.  RR )
137 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M ... k )  ->  i  <_  k )
138137adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  i  <_  k )
13990adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  k  <  N )
140134, 136, 135, 138, 139lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  i  <  N )
141134, 135, 140ltled 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  i  <_  N )
142 elfz1 11789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ( M ... N )  <-> 
( i  e.  ZZ  /\  M  <_  i  /\  i  <_  N ) ) )
143129, 92, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  (
i  e.  ( M ... N )  <->  ( i  e.  ZZ  /\  M  <_ 
i  /\  i  <_  N ) ) )
144131, 133, 141, 143mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  i  e.  ( M ... N
) )
145129, 144, 72syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... k
) )  ->  ( P `  i )  e.  RR )
146 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  ph )
147 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  i  e.  ZZ )
148147adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
149 elfzle1 11802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  M  <_  i )
150149adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  M  <_  i )
151148zred 11040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
152146, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
15381adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
154 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
155153, 154resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  RR )
156 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  i  <_  ( k  -  1 ) )
157156adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  i  <_  ( k  -  1 ) )
15878zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  k  e.  RR )
159 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  1  e.  RR )
160158, 159resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
161 elfzoel2 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
162161zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  N  e.  RR )
163158ltm1d 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  ( k  -  1 )  < 
k )
164160, 158, 162, 163, 89lttrd 9796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  ( k  -  1 )  < 
N )
165164ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  <  N )
166151, 155, 152, 157, 165lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  i  <  N )
167151, 152, 166ltled 9783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  i  <_  N )
168146, 92, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( M ... N )  <->  ( i  e.  ZZ  /\  M  <_ 
i  /\  i  <_  N ) ) )
169148, 150, 167, 168mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( M ... N
) )
170146, 169, 72syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  ( P `  i )  e.  RR )
171148peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ZZ )
172 elfzel1 11799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  M  e.  ZZ )
173172zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  M  e.  RR )
174147zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  i  e.  RR )
175 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
176174, 175readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  RR )
177174ltp1d 10537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
178173, 174, 176, 149, 177lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  M  <  ( i  +  1 ) )
179173, 176, 178ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  M  <_  ( i  +  1 ) )
180179adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  M  <_  ( i  +  1 ) )
181146, 1, 23syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
182 zltp1le 10986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( i  <  N  <->  ( i  +  1 )  <_  N ) )
183148, 181, 182syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
i  <  N  <->  ( i  +  1 )  <_  N ) )
184166, 183mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  <_  N )
185 elfz1 11789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... N )  <-> 
( ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( i  +  1 )  /\  ( i  +  1 )  <_  N )
) )
186146, 92, 1853syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
( i  +  1 )  e.  ( M ... N )  <->  ( (
i  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( i  +  1 )  /\  ( i  +  1 )  <_  N ) ) )
187171, 180, 184, 186mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
188146, 187jca 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  ( ph  /\  ( i  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )
189 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  ( i  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
190189anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  ( i  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) ) )
191 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  ( P `  k )  =  ( P `  ( i  +  1 ) ) )
192191eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
( P `  k
)  e.  RR  <->  ( P `  ( i  +  1 ) )  e.  RR ) )
193190, 192imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( P `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( i  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
194193, 102vtoclg 3139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  (
i  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  -> 
( P `  (
i  +  1 ) )  e.  RR ) )
195187, 188, 194sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
196 elfzuz 11796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M ... ( k  -  1 ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
197196adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
198 elfzo2 11923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  <->  ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  i  <  N ) )
199197, 181, 166, 198syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( M..^ N ) )
200 iblspltprt.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  ( i  +  1 ) ) )
201146, 199, 200syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  (
i  +  1 ) ) )
202170, 195, 201ltled 9783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( M ... (
k  -  1 ) ) )  ->  ( P `  i )  <_  ( P `  (
i  +  1 ) ) )
203128, 145, 202monoord 12242 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( P `  M )  <_  ( P `  k )
)
204161adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
205 elfzo2 11923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  k  <  N ) )
206128, 204, 90, 205syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
207 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  k  ->  (
i  e.  ( M..^ N )  <->  k  e.  ( M..^ N ) ) )
208207anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  k  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  <->  ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) ) ) )
209 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  k  ->  (
i  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
210209fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  k  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
21199, 210breq12d 4433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  k  ->  (
( P `  i
)  <  ( P `  ( i  +  1 ) )  <->  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
212208, 211imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( P `  i
)  <  ( P `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
213212, 200chvarv 2068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
21477, 206, 213syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( P `  k )  <  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
215103, 124, 214ltled 9783 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( P `  k )  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
216 iccintsng 37454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P `  M )  e.  RR*  /\  ( P `  k
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  (
( P `  M
)  <_  ( P `  k )  /\  ( P `  k )  <_  ( P `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( P `
 M ) [,] ( P `  k
) )  i^i  (
( P `  k
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  =  { ( P `  k ) } )
21776, 104, 125, 203, 215, 216syl32anc 1272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( (
( P `  M
) [,] ( P `
 k ) )  i^i  ( ( P `
 k ) [,] ( P `  (
k  +  1 ) ) ) )  =  { ( P `  k ) } )
218217fveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( vol* `  ( ( ( P `  M ) [,] ( P `  k ) )  i^i  ( ( P `  k ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( vol* `  { ( P `  k ) } ) )
219 ovolsn 22434 . . . . . . . 8  |-  ( ( P `  k )  e.  RR  ->  ( vol* `  { ( P `  k ) } )  =  0 )
220103, 219syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( vol* `  { ( P `
 k ) } )  =  0 )
221218, 220eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( vol* `  ( ( ( P `  M ) [,] ( P `  k ) )  i^i  ( ( P `  k ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  0 )
22260, 61, 221syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  ->  ( vol* `  ( ( ( P `  M ) [,] ( P `  k ) )  i^i  ( ( P `  k ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  0 )
22375, 124, 103, 203, 215eliccd 37431 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( P `  k )  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )
22475, 124, 2233jca 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( P `
 k )  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
22560, 61, 224syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  ->  ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( P `
 k )  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
226 iccsplit 11765 . . . . . 6  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  /\  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( P `  k )  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (
( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( P `  M ) [,] ( P `  k ) )  u.  ( ( P `  k ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
227225, 226syl 17 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  ->  ( ( P `  M ) [,] ( P `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  u.  ( ( P `  k ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
228 simpl3 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  /\  t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
229 simpl1 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  /\  t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )
230 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  /\  t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
231 simp1 1005 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
232 eliccxr 37442 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  (
k  +  1 ) ) )  ->  t  e.  RR* )
2332323ad2ant3 1028 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  t  e.  RR* )
23474rexrd 9690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  e.  RR* )
2352343ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( P `  M )  e.  RR* )
2361253adant3 1025 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR* )
237 simp3 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
238 iccgelb 11691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR*  /\  t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( P `  M )  <_  t )
239235, 236, 237, 238syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( P `  M )  <_  t
)
24075, 124jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )
2412403adant3 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( P `  M )  e.  RR  /\  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )
242 iccssre 11716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  /\  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) )  C_  RR )
243242sseld 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR  /\  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) )  ->  t  e.  RR ) )
244241, 237, 243sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  t  e.  RR )
2451243adant3 1025 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
246 elfz1 11789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( M ... N )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N  /\  N  <_  N ) ) )
2478, 3, 246syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  <-> 
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N  /\  N  <_  N ) ) )
2483, 63, 7, 247mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
249248ancli 553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  N  e.  ( M ... N
) ) )
250 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
251250anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  N  e.  ( M ... N ) ) ) )
252 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  N  ->  ( P `  i )  =  ( P `  N ) )
253252eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  (
( P `  i
)  e.  RR  <->  ( P `  N )  e.  RR ) )
254251, 253imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( M ... N ) )  -> 
( P `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  N  e.  ( M ... N ) )  -> 
( P `  N
)  e.  RR ) ) )
255254, 72vtoclg 3139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  N  e.  ( M ... N
) )  ->  ( P `  N )  e.  RR ) )
2563, 249, 255sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  e.  RR )
2572563ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( P `  N )  e.  RR )
258 elicc1 11680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR*  /\  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  (
t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) )  <->  ( t  e.  RR*  /\  ( P `
 M )  <_ 
t  /\  t  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
259235, 236, 258syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) )  <->  ( t  e. 
RR*  /\  ( P `  M )  <_  t  /\  t  <_  ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
260237, 259mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( t  e.  RR*  /\  ( P `
 M )  <_ 
t  /\  t  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
261260simp3d 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  t  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
262 elfzop1le2 37344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  <_  N )
26378peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
264 eluz 11172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  <->  ( k  +  1 )  <_  N ) )
265263, 161, 264syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  <_  N )
)
266262, 265mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
267266adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
268 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  ph )
269 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N )  ->  i  e.  ZZ )
270269adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  i  e.  ZZ )
271268, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  M  e.  RR )
272270zred 11040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  i  e.  RR )
27381adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  k  e.  RR )
27486adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  M  <  k )
275158adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  k  e.  RR )
276 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  1  e.  RR )
277275, 276readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
278269zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N )  ->  i  e.  RR )
279278adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  i  e.  RR )
280275ltp1d 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
281 elfzle1 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N )  ->  (
k  +  1 )  <_  i )
282281adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  (
k  +  1 )  <_  i )
283275, 277, 279, 280, 282ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  k  <  i )
284283adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  k  <  i )
285271, 273, 272, 274, 284lttrd 9796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  M  <  i )
286271, 272, 285ltled 9783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  M  <_  i )
287 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N )  ->  i  <_  N )
288287adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  i  <_  N )
289268, 92, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  (
i  e.  ( M ... N )  <->  ( i  e.  ZZ  /\  M  <_ 
i  /\  i  <_  N ) ) )
290270, 286, 288, 289mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  i  e.  ( M ... N
) )
291268, 290, 72syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... N
) )  ->  ( P `  i )  e.  RR )
292 simpll 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ph )
293 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  i  e.  ZZ )
294293adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
295292, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
296294zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
29781adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
29886adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  M  <  k )
299158adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
300 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
301299, 300readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
302293zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  i  e.  RR )
303302adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
304299ltp1d 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
305 elfzle1 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  (
k  +  1 )  <_  i )
306305adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  <_  i )
307299, 301, 303, 304, 306ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  <  i )
308307adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  <  i )
309295, 297, 296, 298, 308lttrd 9796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  M  <  i )
310295, 296, 309ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  M  <_  i )
311302adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
3126adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
313 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
314312, 313resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
315 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  i  <_  ( N  -  1 ) )
316315adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  <_  ( N  -  1 ) )
317312ltm1d 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  <  N )
318311, 314, 312, 316, 317lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  <  N )
319311, 312, 318ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  <_  N )
320319adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  <_  N )
321292, 92, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( M ... N )  <->  ( i  e.  ZZ  /\  M  <_ 
i  /\  i  <_  N ) ) )
322294, 310, 320, 321mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( M ... N
) )
323292, 322, 72syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( P `  i )  e.  RR )
324294peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ZZ )
325324zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  RR )
326303, 300readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  RR )
327299, 303, 307ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  <_  i )
328299, 303, 300, 327leadd1dd 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  <_  ( i  +  1 ) )
329299, 301, 326, 304, 328ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  <  ( i  +  1 ) )
330329adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  <  ( i  +  1 ) )
331295, 297, 325, 298, 330lttrd 9796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  M  <  ( i  +  1 ) )
332295, 325, 331ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  M  <_  ( i  +  1 ) )
333293, 3, 182syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  <  N  <->  ( i  +  1 )  <_  N ) )
334318, 333mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  <_  N )
335334adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  <_  N )
336292, 92, 1853syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( i  +  1 )  e.  ( M ... N )  <->  ( (
i  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( i  +  1 )  /\  ( i  +  1 )  <_  N ) ) )
337324, 332, 335, 336mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
338292, 337jca 534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ph  /\  ( i  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )
339337, 338, 194sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
340292, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
341 eluz 11172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  i ) )
342340, 294, 341syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  i ) )
343310, 342mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
344292, 1, 23syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
345318adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  <  N )
346343, 344, 345, 198syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( M..^ N ) )
347292, 346, 200syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( P `  i )  <  ( P `  (
i  +  1 ) ) )
348323, 339, 347ltled 9783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  /\  i  e.  ( ( k  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( P `  i )  <_  ( P `  (
i  +  1 ) ) )
349267, 291, 348monoord 12242 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  <_  ( P `  N )
)
3503493adant3 1025 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  <_  ( P `  N )
)
351244, 245, 257, 261, 350letrd 9792 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  t  <_  ( P `  N ) )
352257rexrd 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( P `  N )  e.  RR* )
353 elicc1 11680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  M
)  e.  RR*  /\  ( P `  N )  e.  RR* )  ->  (
t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  N ) )  <->  ( t  e.  RR*  /\  ( P `
 M )  <_ 
t  /\  t  <_  ( P `  N ) ) ) )
354235, 352, 353syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  N )
)  <->  ( t  e. 
RR*  /\  ( P `  M )  <_  t  /\  t  <_  ( P `
 N ) ) ) )
355233, 239, 351, 354mpbir3and 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  N )
) )
356 iblspltprt.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  N )
) )  ->  A  e.  CC )
357231, 355, 356syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N )  /\  t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
358228, 229, 230, 357syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  /\  t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
359 simp2 1006 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 k ) ) 
|->  A )  e.  L^1 ) )
36060, 359mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )
36160, 61jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ) )
36277, 206jca 534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) ) )
36399, 210oveq12d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  (
( P `  i
) [,] ( P `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( P `
 k ) [,] ( P `  (
k  +  1 ) ) ) )
364363mpteq1d 4502 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
t  e.  ( ( P `  i ) [,] ( P `  ( i  +  1 ) ) )  |->  A )  =  ( t  e.  ( ( P `
 k ) [,] ( P `  (
k  +  1 ) ) )  |->  A ) )
365364eleq1d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  (
( t  e.  ( ( P `  i
) [,] ( P `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 
<->  ( t  e.  ( ( P `  k
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 ) )
366208, 365imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( t  e.  ( ( P `  i
) [,] ( P `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 )  <->  ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( t  e.  ( ( P `  k
) [,] ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) 
|->  A )  e.  L^1 ) ) )
367366, 49chvarv 2068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( t  e.  ( ( P `  k ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) )  |->  A )  e.  L^1 )
368361, 362, 3673syl 18 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  ->  ( t  e.  ( ( P `  k ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) )  |->  A )  e.  L^1 )
36959, 222, 227, 358, 360, 368iblsplitf 37666 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N )  /\  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  /\  ph )  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  ( k  +  1 ) ) )  |->  A )  e.  L^1 )
3703693exp 1204 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  k )
)  |->  A )  e.  L^1 )  -> 
( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `
 M ) [,] ( P `  (
k  +  1 ) ) )  |->  A )  e.  L^1 ) ) )
37117, 22, 27, 32, 53, 370fzind2 12022 . 2  |-  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M ) [,] ( P `  N )
)  |->  A )  e.  L^1 ) )
37212, 371mpcom 37 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( P `  M
) [,] ( P `
 N ) ) 
|->  A )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   F/wnf 1663    e. wcel 1868    u. cun 3434    i^i cin 3435   {csn 3996   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   vol*covol 22399   L^1cibl 22561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-ofr 6542  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-clim 13539  df-sum 13740  df-rest 15308  df-topgen 15329  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-cmp 20388  df-ovol 22402  df-vol 22404  df-mbf 22563  df-itg1 22564  df-itg2 22565  df-ibl 22566
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