Theorem iblspltprt 37844

Description: If a function is integrable on any interval of a partition, then it is integrable on the whole interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblspltprt.1	|- F/ t ph
iblspltprt.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
iblspltprt.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
iblspltprt.4	|- ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
iblspltprt.5	|- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
iblspltprt.6	|- ( ( ph /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) ) -> A e. CC )
iblspltprt.7	|- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblspltprt	|- ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   A, i   i, M, t   i, N, t   P, i, t   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( t)

Proof of Theorem iblspltprt

Dummy variables k j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblspltprt.3	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2		eluzelz 11165	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. ZZ )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
4		eluzle 11168	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) <_ N )
5	1, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( M + 1 ) <_ N )
6	3	zred 11037	. . . 4 |- ( ph -> N e. RR )
7	6	leidd 10177	. . 3 |- ( ph -> N <_ N )
8		iblspltprt.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	peano2zd 11040	. . . 4 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
10		elfz1 11786	. . . 4 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N /\ N <_ N ) ) )
11	9, 3, 10	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ N /\ N <_ N ) ) )
12	3, 5, 7, 11	mpbir3and 1190	. 2 |- ( ph -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
13		fveq2 5863	. . . . . . 7 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( P ` j ) = ( P ` ( M + 1 ) ) )
14	13	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) )
15	14	mpteq1d 4483	. . . . 5 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) )
16	15	eleq1d 2512	. . . 4 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
17	16	imbi2d 318	. . 3 |- ( j = ( M + 1 ) -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
18		fveq2 5863	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( P ` j ) = ( P ` k ) )
19	18	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) )
20	19	mpteq1d 4483	. . . . 5 |- ( j = k -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) )
21	20	eleq1d 2512	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
22	21	imbi2d 318	. . 3 |- ( j = k -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
23		fveq2 5863	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( P ` j ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
24	23	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
25	24	mpteq1d 4483	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) )
26	25	eleq1d 2512	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
27	26	imbi2d 318	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
28		fveq2 5863	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( P ` j ) = ( P ` N ) )
29	28	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) )
30	29	mpteq1d 4483	. . . . 5 |- ( j = N -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) )
31	30	eleq1d 2512	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
32	31	imbi2d 318	. . 3 |- ( j = N -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` j ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
33		uzid 11170	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
34	8, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
35	8	zred 11037	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
36		1red 9655	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
37	35, 36	readdcld 9667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
38	35	ltp1d 10534	. . . . . . 7 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
39	35, 37, 6, 38, 5	ltletrd 9792	. . . . . 6 |- ( ph -> M < N )
40		elfzo2 11920	. . . . . 6 |- ( M e. ( M..^ N ) <-> ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ M < N ) )
41	34, 3, 39, 40	syl3anbrc 1191	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( M..^ N ) )
42		fveq2 5863	. . . . . . . . . 10 |- ( i = M -> ( P ` i ) = ( P ` M ) )
43		oveq1 6295	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = M -> ( i + 1 ) = ( M + 1 ) )
44	43	fveq2d 5867	. . . . . . . . . 10 |- ( i = M -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( M + 1 ) ) )
45	42, 44	oveq12d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( i = M -> ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) )
46	45	mpteq1d 4483	. . . . . . . 8 |- ( i = M -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) )
47	46	eleq1d 2512	. . . . . . 7 |- ( i = M -> ( ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
48	47	imbi2d 318	. . . . . 6 |- ( i = M -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
49		iblspltprt.7	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
50	49	expcom 437	. . . . . 6 |- ( i e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
51	48, 50	vtoclga 3112	. . . . 5 |- ( M e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
52	41, 51	mpcom 37	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
53	52	a1i 11	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( M + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
54		nfv 1760	. . . . . 6 |- F/ t k e. ( ( M + 1 )..^ N )
55		iblspltprt.1	. . . . . . 7 |- F/ t ph
56		nfmpt1 4491	. . . . . . . 8 |- F/_ t ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A )
57	56	nfel1 2605	. . . . . . 7 |- F/ t ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1
58	55, 57	nfim 2002	. . . . . 6 |- F/ t ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 )
59	54, 58, 55	nf3an 2012	. . . . 5 |- F/ t ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph )
60		simp3 1009	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ph )
61		simp1 1007	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> k e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
62	35	leidd 10177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M <_ M )
63	35, 6, 39	ltled 9780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M <_ N )
64		elfz1 11786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ( M ... N ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M /\ M <_ N ) ) )
65	8, 3, 64	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M /\ M <_ N ) ) )
66	8, 62, 63, 65	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
67	66	ancli 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) )
68		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = M -> ( i e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
69	68	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = M -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) ) )
70	42	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = M -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` M ) e. RR ) )
71	69, 70	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) -> ( P ` M ) e. RR ) ) )
72		iblspltprt.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
73	71, 72	vtoclg 3106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ M e. ( M ... N ) ) -> ( P ` M ) e. RR ) )
74	66, 67, 73	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ` M ) e. RR )
75	74	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` M ) e. RR )
76	75	rexrd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` M ) e. RR* )
77		simpl 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ph )
78		elfzoelz 11917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. ZZ )
79	78	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ZZ )
80	35	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M e. RR )
81	79	zred 11037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. RR )
82	37	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M + 1 ) e. RR )
83	38	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M < ( M + 1 ) )
84		elfzole1 11925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( M + 1 ) <_ k )
85	84	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M + 1 ) <_ k )
86	80, 82, 81, 83, 85	ltletrd 9792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M < k )
87	80, 81, 86	ltled 9780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M <_ k )
88	6	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> N e. RR )
89		elfzolt2 11926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k < N )
90	89	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k < N )
91	81, 88, 90	ltled 9780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k <_ N )
92	8, 3	jca 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
93	92	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
94		elfz1 11786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
96	79, 87, 91, 95	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
97		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( i e. ( M ... N ) <-> k e. ( M ... N ) ) )
98	97	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) ) )
99		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( P ` i ) = ( P ` k ) )
100	99	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` k ) e. RR ) )
101	98, 100	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( P ` k ) e. RR ) ) )
102	101, 72	chvarv 2106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
103	77, 96, 102	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
104	103	rexrd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) e. RR* )
105	79	peano2zd 11040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
106	105	zred 11037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
107		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> 1 e. RR )
108	80, 81, 107, 86	ltadd1dd 10221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( M + 1 ) < ( k + 1 ) )
109	80, 82, 106, 83, 108	lttrd 9793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M < ( k + 1 ) )
110	80, 106, 109	ltled 9780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> M <_ ( k + 1 ) )
111		zltp1le 10983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k < N <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
112	78, 3, 111	syl2anr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k < N <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
113	90, 112	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) <_ N )
114		elfz1 11786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) )
115	93, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) <_ N ) ) )
116	105, 110, 113, 115	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
117	77, 116	jca 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
118		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
119	118	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) )
120		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( P ` i ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
121	120	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
122	119, 121	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
123	122, 72	vtoclg 3106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
124	116, 117, 123	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR )
125	124	rexrd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
126		eluz 11169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ k ) )
127	8, 78, 126	syl2an 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ k ) )
128	87, 127	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
129		simpll 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> ph )
130		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( M ... k ) -> i e. ZZ )
131	130	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. ZZ )
132		elfzle1 11799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( M ... k ) -> M <_ i )
133	132	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> M <_ i )
134	131	zred 11037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. RR )
135	129, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> N e. RR )
136	81	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> k e. RR )
137		elfzle2 11800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... k ) -> i <_ k )
138	137	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i <_ k )
139	90	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> k < N )
140	134, 136, 135, 138, 139	lelttrd 9790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i < N )
141	134, 135, 140	ltled 9780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i <_ N )
142		elfz1 11786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
143	129, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
144	131, 133, 141, 143	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> i e. ( M ... N ) )
145	129, 144, 72	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... k ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
146		simpll 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ph )
147		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i e. ZZ )
148	147	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
149		elfzle1 11799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M <_ i )
150	149	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> M <_ i )
151	148	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. RR )
152	146, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> N e. RR )
153	81	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> k e. RR )
154		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
155	153, 154	resubcld 10044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
156		elfzle2 11800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i <_ ( k - 1 ) )
157	156	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i <_ ( k - 1 ) )
158	78	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. RR )
159		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> 1 e. RR )
160	158, 159	resubcld 10044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k - 1 ) e. RR )
161		elfzoel2 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> N e. ZZ )
162	161	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> N e. RR )
163	158	ltm1d 10536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k - 1 ) < k )
164	160, 158, 162, 163, 89	lttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k - 1 ) < N )
165	164	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) < N )
166	151, 155, 152, 157, 165	lelttrd 9790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i < N )
167	151, 152, 166	ltled 9780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i <_ N )
168	146, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
169	148, 150, 167, 168	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ( M ... N ) )
170	146, 169, 72	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
171	148	peano2zd 11040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
172		elfzel1 11796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M e. ZZ )
173	172	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M e. RR )
174	147	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i e. RR )
175		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> 1 e. RR )
176	174, 175	readdcld 9667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
177	174	ltp1d 10534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i < ( i + 1 ) )
178	173, 174, 176, 149, 177	lelttrd 9790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M < ( i + 1 ) )
179	173, 176, 178	ltled 9780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> M <_ ( i + 1 ) )
180	179	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> M <_ ( i + 1 ) )
181	146, 1, 2	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
182		zltp1le 10983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i < N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
183	148, 181, 182	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i < N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
184	166, 183	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ N )
185		elfz1 11786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( i + 1 ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) ) )
186	146, 92, 185	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( i + 1 ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) ) )
187	171, 180, 184, 186	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( M ... N ) )
188	146, 187	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
189		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
190	189	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) )
191		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( P ` k ) = ( P ` ( i + 1 ) ) )
192	191	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( P ` k ) e. RR <-> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR ) )
193	190, 192	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( P ` k ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR ) ) )
194	193, 102	vtoclg 3106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR ) )
195	187, 188, 194	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR )
196		elfzuz 11793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( M ... ( k - 1 ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
197	196	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
198		elfzo2 11920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( M..^ N ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ i < N ) )
199	197, 181, 166, 198	syl3anbrc 1191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> i e. ( M..^ N ) )
200		iblspltprt.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
201	146, 199, 200	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
202	170, 195, 201	ltled 9780	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( M ... ( k - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) <_ ( P ` ( i + 1 ) ) )
203	128, 145, 202	monoord 12240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` M ) <_ ( P ` k ) )
204	161	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> N e. ZZ )
205		elfzo2 11920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ k < N ) )
206	128, 204, 90, 205	syl3anbrc 1191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
207		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( i e. ( M..^ N ) <-> k e. ( M..^ N ) ) )
208	207	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) <-> ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) ) )
209		oveq1 6295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = k -> ( i + 1 ) = ( k + 1 ) )
210	209	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
211	99, 210	breq12d 4414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) <-> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
212	208, 211	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
213	212, 200	chvarv 2106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
214	77, 206, 213	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
215	103, 124, 214	ltled 9780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) <_ ( P ` ( k + 1 ) ) )
216		iccintsng 37618	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` k ) e. RR* /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* ) /\ ( ( P ` M ) <_ ( P ` k ) /\ ( P ` k ) <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) = { ( P ` k ) } )
217	76, 104, 125, 203, 215, 216	syl32anc 1275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) = { ( P ` k ) } )
218	217	fveq2d 5867	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( vol* ` ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( vol* ` { ( P ` k ) } ) )
219		ovolsn 22441	. . . . . . . 8 |- ( ( P ` k ) e. RR -> ( vol* ` { ( P ` k ) } ) = 0 )
220	103, 219	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( vol* ` { ( P ` k ) } ) = 0 )
221	218, 220	eqtrd 2484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( vol* ` ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = 0 )
222	60, 61, 221	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( vol* ` ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) i^i ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = 0 )
223	75, 124, 103, 203, 215	eliccd 37595	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
224	75, 124, 223	3jca 1187	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
225	60, 61, 224	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
226		iccsplit 11762	. . . . . 6 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( P ` k ) e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) u. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
227	225, 226	syl 17	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) u. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
228		simpl3 1012	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
229		simpl1 1010	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
230		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
231		simp1 1007	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
232		eliccxr 37606	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) -> t e. RR* )
233	232	3ad2ant3 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. RR* )
234	74	rexrd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ` M ) e. RR* )
235	234	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` M ) e. RR* )
236	125	3adant3 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
237		simp3 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
238		iccgelb 11688	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` M ) <_ t )
239	235, 236, 237, 238	syl3anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` M ) <_ t )
240	75, 124	jca 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
241	240	3adant3 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
242		iccssre 11713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR )
243	242	sseld 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) -> t e. RR ) )
244	241, 237, 243	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. RR )
245	124	3adant3 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR )
246		elfz1 11786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( M ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N /\ N <_ N ) ) )
247	8, 3, 246	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N /\ N <_ N ) ) )
248	3, 63, 7, 247	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
249	248	ancli 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) )
250		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = N -> ( i e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
251	250	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) ) )
252		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = N -> ( P ` i ) = ( P ` N ) )
253	252	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> ( ( P ` i ) e. RR <-> ( P ` N ) e. RR ) )
254	251, 253	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = N -> ( ( ( ph /\ i e. ( M ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) -> ( P ` N ) e. RR ) ) )
255	254, 72	vtoclg 3106	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( ( ph /\ N e. ( M ... N ) ) -> ( P ` N ) e. RR ) )
256	3, 249, 255	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P ` N ) e. RR )
257	256	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` N ) e. RR )
258		elicc1 11677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. RR* ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
259	235, 236, 258	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
260	237, 259	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
261	260	simp3d 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t <_ ( P ` ( k + 1 ) ) )
262		elfzop1le2 37497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k + 1 ) <_ N )
263	78	peano2zd 11040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
264		eluz 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
265	263, 161, 264	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) <-> ( k + 1 ) <_ N ) )
266	262, 265	mpbird 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
267	266	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
268		simpll 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ph )
269		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> i e. ZZ )
270	269	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. ZZ )
271	268, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M e. RR )
272	270	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. RR )
273	81	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k e. RR )
274	86	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M < k )
275	158	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k e. RR )
276		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> 1 e. RR )
277	275, 276	readdcld 9667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
278	269	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> i e. RR )
279	278	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. RR )
280	275	ltp1d 10534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k < ( k + 1 ) )
281		elfzle1 11799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> ( k + 1 ) <_ i )
282	281	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( k + 1 ) <_ i )
283	275, 277, 279, 280, 282	ltletrd 9792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k < i )
284	283	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> k < i )
285	271, 273, 272, 274, 284	lttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M < i )
286	271, 272, 285	ltled 9780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> M <_ i )
287		elfzle2 11800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... N ) -> i <_ N )
288	287	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i <_ N )
289	268, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
290	270, 286, 288, 289	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> i e. ( M ... N ) )
291	268, 290, 72	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... N ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
292		simpll 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ph )
293		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> i e. ZZ )
294	293	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
295	292, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M e. RR )
296	294	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. RR )
297	81	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. RR )
298	86	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M < k )
299	158	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. RR )
300		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
301	299, 300	readdcld 9667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
302	293	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> i e. RR )
303	302	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. RR )
304	299	ltp1d 10534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < ( k + 1 ) )
305		elfzle1 11799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> ( k + 1 ) <_ i )
306	305	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ i )
307	299, 301, 303, 304, 306	ltletrd 9792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < i )
308	307	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < i )
309	295, 297, 296, 298, 308	lttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M < i )
310	295, 296, 309	ltled 9780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M <_ i )
311	302	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. RR )
312	6	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. RR )
313		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
314	312, 313	resubcld 10044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
315		elfzle2 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> i <_ ( N - 1 ) )
316	315	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i <_ ( N - 1 ) )
317	312	ltm1d 10536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) < N )
318	311, 314, 312, 316, 317	lelttrd 9790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i < N )
319	311, 312, 318	ltled 9780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i <_ N )
320	319	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i <_ N )
321	292, 92, 142	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i e. ( M ... N ) <-> ( i e. ZZ /\ M <_ i /\ i <_ N ) ) )
322	294, 310, 320, 321	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ( M ... N ) )
323	292, 322, 72	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
324	294	peano2zd 11040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
325	324	zred 11037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
326	303, 300	readdcld 9667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
327	299, 303, 307	ltled 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k <_ i )
328	299, 303, 300, 327	leadd1dd 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ ( i + 1 ) )
329	299, 301, 326, 304, 328	ltletrd 9792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < ( i + 1 ) )
330	329	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> k < ( i + 1 ) )
331	295, 297, 325, 298, 330	lttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M < ( i + 1 ) )
332	295, 325, 331	ltled 9780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M <_ ( i + 1 ) )
333	293, 3, 182	syl2anr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i < N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
334	318, 333	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ N )
335	334	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ N )
336	292, 92, 185	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( i + 1 ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) ) )
337	324, 332, 335, 336	mpbir3and 1190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( M ... N ) )
338	292, 337	jca 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ph /\ ( i + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
339	337, 338, 194	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) e. RR )
340	292, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
341		eluz 11169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ i ) )
342	340, 294, 341	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ i ) )
343	310, 342	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
344	292, 1, 2	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
345	318	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i < N )
346	343, 344, 345, 198	syl3anbrc 1191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> i e. ( M..^ N ) )
347	292, 346, 200	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
348	323, 339, 347	ltled 9780	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) /\ i e. ( ( k + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` i ) <_ ( P ` ( i + 1 ) ) )
349	267, 291, 348	monoord 12240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) <_ ( P ` N ) )
350	349	3adant3 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) <_ ( P ` N ) )
351	244, 245, 257, 261, 350	letrd 9789	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t <_ ( P ` N ) )
352	257	rexrd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( P ` N ) e. RR* )
353		elicc1 11677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` M ) e. RR* /\ ( P ` N ) e. RR* ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` N ) ) ) )
354	235, 352, 353	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) <-> ( t e. RR* /\ ( P ` M ) <_ t /\ t <_ ( P ` N ) ) ) )
355	233, 239, 351, 354	mpbir3and 1190	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) )
356		iblspltprt.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) ) -> A e. CC )
357	231, 355, 356	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> A e. CC )
358	228, 229, 230, 357	syl3anc 1267	. . . . 5 |- ( ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) /\ t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) -> A e. CC )
359		simp2 1008	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
360	60, 359	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 )
361	60, 61	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) )
362	77, 206	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) )
363	99, 210	oveq12d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
364	363	mpteq1d 4483	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) = ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) )
365	364	eleq1d 2512	. . . . . . . 8 |- ( i = k -> ( ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 <-> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
366	208, 365	imbi12d 322	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` i ) [,] ( P ` ( i + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) <-> ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
367	366, 49	chvarv 2106	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
368	361, 362, 367	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( t e. ( ( P ` k ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
369	59, 222, 227, 358, 360, 368	iblsplitf 37841	. . . 4 |- ( ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) /\ ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) /\ ph ) -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 )
370	369	3exp 1206	. . 3 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> ( ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` k ) ) |-> A ) e. L^1 ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` ( k + 1 ) ) ) |-> A ) e. L^1 ) ) )
371	17, 22, 27, 32, 53, 370	fzind2 12020	. 2 |- ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 ) )
372	12, 371	mpcom 37	1 |- ( ph -> ( t e. ( ( P ` M ) [,] ( P ` N ) ) |-> A ) e. L^1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   F/wnf 1666   e. wcel 1886   u. cun 3401   i^i cin 3402   {csn 3967   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   [,]cicc 11635   ...cfz 11781  ..^cfzo 11912   vol*covol 22406   L^1cibl 22568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-ibl 22573

This theorem is referenced by:  itgspltprt  37850  fourierdlem69  38033