Theorem iblsplitf 37841

Description: A version of iblsplit 37837 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions" (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblsplitf.X	|- F/ x ph
iblsplitf.vol	|- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
iblsplitf.u	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
iblsplitf.c	|- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. CC )
iblsplitf.a	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
iblsplitf.b	|- ( ph -> ( x e. B |-> C ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblsplitf	|- ( ph -> ( x e. U |-> C ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, U

Allowed substitution hints:   ph( x)   C( x)

Proof of Theorem iblsplitf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2591	. . 3 |- F/_ y C
2		nfcsb1v 3378	. . 3 |- F/_ x [_ y / x ]_ C
3		csbeq1a 3371	. . 3 |- ( x = y -> C = [_ y / x ]_ C )
4	1, 2, 3	cbvmpt 4493	. 2 |- ( x e. U |-> C ) = ( y e. U |-> [_ y / x ]_ C )
5		iblsplitf.vol	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
6		iblsplitf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
7		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. U )
8		iblsplitf.X	. . . . . 6 |- F/ x ph
9		nfv 1760	. . . . . 6 |- F/ x y e. U
10	8, 9	nfan 2010	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ y e. U )
11		iblsplitf.c	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. CC )
12	11	adantlr 720	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. U ) /\ x e. U ) -> C e. CC )
13	12	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> ( x e. U -> C e. CC ) )
14	10, 13	ralrimi 2787	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> A. x e. U C e. CC )
15		rspcsbela 3794	. . . 4 |- ( ( y e. U /\ A. x e. U C e. CC ) -> [_ y / x ]_ C e. CC )
16	7, 14, 15	syl2anc 666	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> [_ y / x ]_ C e. CC )
17	3	equcoms 1863	. . . . . 6 |- ( y = x -> C = [_ y / x ]_ C )
18	17	eqcomd 2456	. . . . 5 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ C = C )
19	2, 1, 18	cbvmpt 4493	. . . 4 |- ( y e. A |-> [_ y / x ]_ C ) = ( x e. A |-> C )
20		iblsplitf.a	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
21	19, 20	syl5eqel 2532	. . 3 |- ( ph -> ( y e. A |-> [_ y / x ]_ C ) e. L^1 )
22	2, 1, 18	cbvmpt 4493	. . . 4 |- ( y e. B |-> [_ y / x ]_ C ) = ( x e. B |-> C )
23		iblsplitf.b	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. B |-> C ) e. L^1 )
24	22, 23	syl5eqel 2532	. . 3 |- ( ph -> ( y e. B |-> [_ y / x ]_ C ) e. L^1 )
25	5, 6, 16, 21, 24	iblsplit 37837	. 2 |- ( ph -> ( y e. U |-> [_ y / x ]_ C ) e. L^1 )
26	4, 25	syl5eqel 2532	1 |- ( ph -> ( x e. U |-> C ) e. L^1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   F/wnf 1666   e. wcel 1886   A.wral 2736   [_csb 3362   u. cun 3401   i^i cin 3402   |-> cmpt 4460   ` cfv 5581   CCcc 9534   0cc0 9536   vol*covol 22406   L^1cibl 22568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-ibl 22573

This theorem is referenced by:  iblspltprt  37844