Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblsplitf Structured version   Unicode version

Theorem iblsplitf 31935
Description: A version of iblsplit 31931 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions" (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblsplitf.X  |-  F/ x ph
iblsplitf.vol  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
iblsplitf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
iblsplitf.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  CC )
iblsplitf.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
iblsplitf.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblsplitf  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  |->  C )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, U
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)

Proof of Theorem iblsplitf
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2544 . . 3  |-  F/_ y C
2 nfcsb1v 3364 . . 3  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ C
3 csbeq1a 3357 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
41, 2, 3cbvmpt 4457 . 2  |-  ( x  e.  U  |->  C )  =  ( y  e.  U  |->  [_ y  /  x ]_ C )
5 iblsplitf.vol . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
6 iblsplitf.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
7 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  U )
8 iblsplitf.X . . . . . 6  |-  F/ x ph
9 nfv 1715 . . . . . 6  |-  F/ x  y  e.  U
108, 9nfan 1936 . . . . 5  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  U )
11 iblsplitf.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  CC )
1211adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  U )  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  CC )
1312ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  (
x  e.  U  ->  C  e.  CC )
)
1410, 13ralrimi 2782 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  A. x  e.  U  C  e.  CC )
15 rspcsbela 3773 . . . 4  |-  ( ( y  e.  U  /\  A. x  e.  U  C  e.  CC )  ->  [_ y  /  x ]_ C  e.  CC )
167, 14, 15syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U )  ->  [_ y  /  x ]_ C  e.  CC )
173equcoms 1803 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
1817eqcomd 2390 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  [_ y  /  x ]_ C  =  C )
192, 1, 18cbvmpt 4457 . . . 4  |-  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
20 iblsplitf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
2119, 20syl5eqel 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |-> 
[_ y  /  x ]_ C )  e.  L^1 )
222, 1, 18cbvmpt 4457 . . . 4  |-  ( y  e.  B  |->  [_ y  /  x ]_ C )  =  ( x  e.  B  |->  C )
23 iblsplitf.b . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
2422, 23syl5eqel 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |-> 
[_ y  /  x ]_ C )  e.  L^1 )
255, 6, 16, 21, 24iblsplit 31931 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U  |-> 
[_ y  /  x ]_ C )  e.  L^1 )
264, 25syl5eqel 2474 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  |->  C )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399   F/wnf 1624    e. wcel 1826   A.wral 2732   [_csb 3348    u. cun 3387    i^i cin 3388    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496   CCcc 9401   0cc0 9403   vol*covol 21959   L^1cibl 22111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511  df-rest 14830  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-cmp 19973  df-ovol 21961  df-vol 21962  df-mbf 22113  df-itg1 22114  df-itg2 22115  df-ibl 22116
This theorem is referenced by:  iblspltprt  31938
  Copyright terms: Public domain W3C validator