Theorem iblsplitf 31935

Description: A version of iblsplit 31931 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions" (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblsplitf.X	|- F/ x ph
iblsplitf.vol	|- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
iblsplitf.u	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
iblsplitf.c	|- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. CC )
iblsplitf.a	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
iblsplitf.b	|- ( ph -> ( x e. B |-> C ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblsplitf	|- ( ph -> ( x e. U |-> C ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, U

Allowed substitution hints:   ph( x)   C( x)

Proof of Theorem iblsplitf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2544	. . 3 |- F/_ y C
2		nfcsb1v 3364	. . 3 |- F/_ x [_ y / x ]_ C
3		csbeq1a 3357	. . 3 |- ( x = y -> C = [_ y / x ]_ C )
4	1, 2, 3	cbvmpt 4457	. 2 |- ( x e. U |-> C ) = ( y e. U |-> [_ y / x ]_ C )
5		iblsplitf.vol	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
6		iblsplitf.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
7		simpr 459	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. U )
8		iblsplitf.X	. . . . . 6 |- F/ x ph
9		nfv 1715	. . . . . 6 |- F/ x y e. U
10	8, 9	nfan 1936	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ y e. U )
11		iblsplitf.c	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. CC )
12	11	adantlr 712	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. U ) /\ x e. U ) -> C e. CC )
13	12	ex 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> ( x e. U -> C e. CC ) )
14	10, 13	ralrimi 2782	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> A. x e. U C e. CC )
15		rspcsbela 3773	. . . 4 |- ( ( y e. U /\ A. x e. U C e. CC ) -> [_ y / x ]_ C e. CC )
16	7, 14, 15	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> [_ y / x ]_ C e. CC )
17	3	equcoms 1803	. . . . . 6 |- ( y = x -> C = [_ y / x ]_ C )
18	17	eqcomd 2390	. . . . 5 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ C = C )
19	2, 1, 18	cbvmpt 4457	. . . 4 |- ( y e. A |-> [_ y / x ]_ C ) = ( x e. A |-> C )
20		iblsplitf.a	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
21	19, 20	syl5eqel 2474	. . 3 |- ( ph -> ( y e. A |-> [_ y / x ]_ C ) e. L^1 )
22	2, 1, 18	cbvmpt 4457	. . . 4 |- ( y e. B |-> [_ y / x ]_ C ) = ( x e. B |-> C )
23		iblsplitf.b	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. B |-> C ) e. L^1 )
24	22, 23	syl5eqel 2474	. . 3 |- ( ph -> ( y e. B |-> [_ y / x ]_ C ) e. L^1 )
25	5, 6, 16, 21, 24	iblsplit 31931	. 2 |- ( ph -> ( y e. U |-> [_ y / x ]_ C ) e. L^1 )
26	4, 25	syl5eqel 2474	1 |- ( ph -> ( x e. U |-> C ) e. L^1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1399   F/wnf 1624   e. wcel 1826   A.wral 2732   [_csb 3348   u. cun 3387   i^i cin 3388   |-> cmpt 4425   ` cfv 5496   CCcc 9401   0cc0 9403   vol*covol 21959   L^1cibl 22111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511  df-rest 14830  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-cmp 19973  df-ovol 21961  df-vol 21962  df-mbf 22113  df-itg1 22114  df-itg2 22115  df-ibl 22116

This theorem is referenced by:  iblspltprt  31938