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Theorem iblsplit 37837
Description: The union of two integrable functions is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblsplit.1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
iblsplit.2  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
iblsplit.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  CC )
iblsplit.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
iblsplit.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblsplit  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  |->  C )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, U    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem iblsplit
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblsplit.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  CC )
2 eqid 2450 . . . 4  |-  ( x  e.  U  |->  C )  =  ( x  e.  U  |->  C )
31, 2fmptd 6044 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  |->  C ) : U --> CC )
4 ssun1 3596 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
5 iblsplit.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
64, 5syl5sseqr 3480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
76resmptd 5155 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  U  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
8 iblsplit.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
9 eqidd 2451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )
10 eqidd 2451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ y ) ) ) )
116sseld 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U ) )
1211imdistani 695 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ph  /\  x  e.  U
) )
1312, 1syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
149, 10, 13isibl2 22717 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  A. y  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
158, 14mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  A. y  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
1615simpld 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
177, 16eqeltrd 2528 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  U  |->  C )  |`  A )  e. MblFn )
18 ssun2 3597 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
1918, 5syl5sseqr 3480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
2019resmptd 5155 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  U  |->  C )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  C ) )
21 iblsplit.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
22 eqidd 2451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )
23 eqidd 2451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ y ) ) ) )
2419sseld 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U ) )
2524imdistani 695 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( ph  /\  x  e.  U
) )
2625, 1syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2722, 23, 26isibl2 22717 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. y  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
2821, 27mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. y  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
2928simpld 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
3020, 29eqeltrd 2528 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  U  |->  C )  |`  B )  e. MblFn )
315eqcomd 2456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  U )
323, 17, 30, 31mbfres2cn 37829 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  |->  C )  e. MblFn )
3316, 13mbfdm2 22587 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3433adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A  e.  dom  vol )
3529, 26mbfdm2 22587 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3635adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  B  e.  dom  vol )
37 iblsplit.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
3837adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
395adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
401adantlr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  CC )
41 ax-icn 9595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  _i  e.  CC
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  _i  e.  CC )
43 elfznn0 11884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
4442, 43expcld 12413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
4544ad2antlr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
4641a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  _i  e.  CC )
47 ine0 10051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  =/=  0
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  _i  =/=  0 )
49 elfzelz 11797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
5049ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  k  e.  ZZ )
5146, 48, 50expne0d 12419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
5240, 45, 51divcld 10380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
5352recld 13250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
5453rexrd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR* )
5554adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  U
)  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )  ->  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  e.  RR* )
56 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  U
)  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )  ->  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )
57 pnfge 11429 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR*  ->  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  <_ +oo )
5855, 57syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  U
)  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )  ->  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  <_ +oo )
59 0xr 9684 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
60 pnfxr 11409 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
61 elicc1 11677 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  /\  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  <_ +oo )
) )
6259, 60, 61mp2an 677 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  /\  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  <_ +oo )
)
6355, 56, 58, 62syl3anbrc 1191 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  U
)  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )  ->  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
64 0e0iccpnf 11740 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
6564a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  U
)  /\  -.  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6663, 65ifclda 3912 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
67 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
68 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
69 ifan 3926 . . . . . 6  |-  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  U ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
7069mpteq2i 4485 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
71 ifan 3926 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
7271eqcomi 2459 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )
7372mpteq2i 4485 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
7473a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
7574fveq2d 5867 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
76 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
77 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
7876, 77, 13isibl2 22717 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
798, 78mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
8079simprd 465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8180r19.21bi 2756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8275, 81eqeltrd 2528 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
83 ifan 3926 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
8483eqcomi 2459 . . . . . . . 8  |-  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )
8584mpteq2i 4485 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
8685fveq2i 5866 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
87 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
88 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
8987, 88, 26isibl2 22717 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
9021, 89mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
9190simprd 465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
9291r19.21bi 2756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
9386, 92syl5eqel 2532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
9434, 36, 38, 39, 66, 67, 68, 70, 82, 93itg2split 22700 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) ) ) )
9582, 93readdcld 9667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
9694, 95eqeltrd 2528 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
9796ralrimiva 2801 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
98 eqidd 2451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
99 eqidd 2451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
10098, 99, 1isibl2 22717 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  U  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  U  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
10132, 97, 100mpbir2and 932 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  |->  C )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736    u. cun 3401    i^i cin 3402   ifcif 3880   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833    |` cres 4835   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   _ici 9538    + caddc 9539   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671    <_ cle 9673    / cdiv 10266   3c3 10657   ZZcz 10934   [,]cicc 11635   ...cfz 11781   ^cexp 12269   Recre 13153   vol*covol 22406   volcvol 22408  MblFncmbf 22565   S.2citg2 22567   L^1cibl 22568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-ibl 22573
This theorem is referenced by:  iblsplitf  37841
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