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Mathbox for Glauco Siliprandi |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > iblsplit | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The union of two integrable functions is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
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iblsplit.1 |
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iblsplit.2 |
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iblsplit.3 |
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iblsplit.4 |
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iblsplit.5 |
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Ref | Expression |
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iblsplit |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | iblsplit.3 |
. . . 4
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2 | eqid 2450 |
. . . 4
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3 | 1, 2 | fmptd 6044 |
. . 3
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4 | ssun1 3596 |
. . . . . 6
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5 | iblsplit.2 |
. . . . . 6
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6 | 4, 5 | syl5sseqr 3480 |
. . . . 5
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7 | 6 | resmptd 5155 |
. . . 4
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8 | iblsplit.4 |
. . . . . 6
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9 | eqidd 2451 |
. . . . . . 7
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10 | eqidd 2451 |
. . . . . . 7
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11 | 6 | sseld 3430 |
. . . . . . . . 9
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12 | 11 | imdistani 695 |
. . . . . . . 8
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13 | 12, 1 | syl 17 |
. . . . . . 7
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14 | 9, 10, 13 | isibl2 22717 |
. . . . . 6
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15 | 8, 14 | mpbid 214 |
. . . . 5
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16 | 15 | simpld 461 |
. . . 4
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17 | 7, 16 | eqeltrd 2528 |
. . 3
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18 | ssun2 3597 |
. . . . . 6
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19 | 18, 5 | syl5sseqr 3480 |
. . . . 5
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20 | 19 | resmptd 5155 |
. . . 4
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21 | iblsplit.5 |
. . . . . 6
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22 | eqidd 2451 |
. . . . . . 7
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23 | eqidd 2451 |
. . . . . . 7
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24 | 19 | sseld 3430 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | imdistani 695 |
. . . . . . . 8
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26 | 25, 1 | syl 17 |
. . . . . . 7
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27 | 22, 23, 26 | isibl2 22717 |
. . . . . 6
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28 | 21, 27 | mpbid 214 |
. . . . 5
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29 | 28 | simpld 461 |
. . . 4
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30 | 20, 29 | eqeltrd 2528 |
. . 3
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31 | 5 | eqcomd 2456 |
. . 3
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32 | 3, 17, 30, 31 | mbfres2cn 37829 |
. 2
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33 | 16, 13 | mbfdm2 22587 |
. . . . . 6
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34 | 33 | adantr 467 |
. . . . 5
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35 | 29, 26 | mbfdm2 22587 |
. . . . . 6
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36 | 35 | adantr 467 |
. . . . 5
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37 | iblsplit.1 |
. . . . . 6
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38 | 37 | adantr 467 |
. . . . 5
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39 | 5 | adantr 467 |
. . . . 5
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40 | 1 | adantlr 720 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | ax-icn 9595 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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42 | 41 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
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43 | elfznn0 11884 |
. . . . . . . . . . . . 13
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44 | 42, 43 | expcld 12413 |
. . . . . . . . . . . 12
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45 | 44 | ad2antlr 732 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | 41 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | ine0 10051 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | elfzelz 11797 |
. . . . . . . . . . . . 13
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50 | 49 | ad2antlr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
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51 | 46, 48, 50 | expne0d 12419 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 40, 45, 51 | divcld 10380 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 52 | recld 13250 |
. . . . . . . . 9
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54 | 53 | rexrd 9687 |
. . . . . . . 8
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55 | 54 | adantr 467 |
. . . . . . 7
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56 | simpr 463 |
. . . . . . 7
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57 | pnfge 11429 |
. . . . . . . 8
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58 | 55, 57 | syl 17 |
. . . . . . 7
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59 | 0xr 9684 |
. . . . . . . 8
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60 | pnfxr 11409 |
. . . . . . . 8
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61 | elicc1 11677 |
. . . . . . . 8
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62 | 59, 60, 61 | mp2an 677 |
. . . . . . 7
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63 | 55, 56, 58, 62 | syl3anbrc 1191 |
. . . . . 6
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64 | 0e0iccpnf 11740 |
. . . . . . 7
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65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . 6
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66 | 63, 65 | ifclda 3912 |
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94 | 34, 36, 38, 39, 66, 67, 68, 70, 82, 93 | itg2split 22700 |
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95 | 82, 93 | readdcld 9667 |
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96 | 94, 95 | eqeltrd 2528 |
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97 | 96 | ralrimiva 2801 |
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98 | eqidd 2451 |
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99 | eqidd 2451 |
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100 | 98, 99, 1 | isibl2 22717 |
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101 | 32, 97, 100 | mpbir2and 932 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 ax-inf2 8143 ax-cnex 9592 ax-resscn 9593 ax-1cn 9594 ax-icn 9595 ax-addcl 9596 ax-addrcl 9597 ax-mulcl 9598 ax-mulrcl 9599 ax-mulcom 9600 ax-addass 9601 ax-mulass 9602 ax-distr 9603 ax-i2m1 9604 ax-1ne0 9605 ax-1rid 9606 ax-rnegex 9607 ax-rrecex 9608 ax-cnre 9609 ax-pre-lttri 9610 ax-pre-lttrn 9611 ax-pre-ltadd 9612 ax-pre-mulgt0 9613 ax-pre-sup 9614 ax-addf 9615 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-fal 1449 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-nel 2624 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rmo 2744 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-pss 3419 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-tp 3972 df-op 3974 df-uni 4198 df-int 4234 df-iun 4279 df-disj 4373 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-tr 4497 df-eprel 4744 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-fr 4792 df-se 4793 df-we 4794 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-pred 5379 df-ord 5425 df-on 5426 df-lim 5427 df-suc 5428 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-isom 5590 df-riota 6250 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-of 6528 df-ofr 6529 df-om 6690 df-1st 6790 df-2nd 6791 df-wrecs 7025 df-recs 7087 df-rdg 7125 df-1o 7179 df-2o 7180 df-oadd 7183 df-er 7360 df-map 7471 df-pm 7472 df-en 7567 df-dom 7568 df-sdom 7569 df-fin 7570 df-fi 7922 df-sup 7953 df-inf 7954 df-oi 8022 df-card 8370 df-cda 8595 df-pnf 9674 df-mnf 9675 df-xr 9676 df-ltxr 9677 df-le 9678 df-sub 9859 df-neg 9860 df-div 10267 df-nn 10607 df-2 10665 df-3 10666 df-n0 10867 df-z 10935 df-uz 11157 df-q 11262 df-rp 11300 df-xneg 11406 df-xadd 11407 df-xmul 11408 df-ioo 11636 df-ico 11638 df-icc 11639 df-fz 11782 df-fzo 11913 df-fl 12025 df-seq 12211 df-exp 12270 df-hash 12513 df-cj 13155 df-re 13156 df-im 13157 df-sqrt 13291 df-abs 13292 df-clim 13545 df-sum 13746 df-rest 15314 df-topgen 15335 df-psmet 18955 df-xmet 18956 df-met 18957 df-bl 18958 df-mopn 18959 df-top 19914 df-bases 19915 df-topon 19916 df-cmp 20395 df-ovol 22409 df-vol 22411 df-mbf 22570 df-itg1 22571 df-itg2 22572 df-ibl 22573 |
This theorem is referenced by: iblsplitf 37841 |
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