Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblsplit Structured version   Unicode version

Theorem iblsplit 31607
 Description: The union of two integrable functions is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblsplit.1
iblsplit.2
iblsplit.3
iblsplit.4
iblsplit.5
Assertion
Ref Expression
iblsplit
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem iblsplit
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblsplit.3 . . . . . 6
21ralrimiva 2881 . . . . 5
3 eqid 2467 . . . . . 6
43fmpt 6053 . . . . 5
52, 4sylib 196 . . . 4
6 ssun1 3672 . . . . . . . 8
76a1i 11 . . . . . . 7
8 iblsplit.2 . . . . . . 7
97, 8sseqtr4d 3546 . . . . . 6
10 resmpt 5329 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
12 iblsplit.4 . . . . . . 7
13 eqidd 2468 . . . . . . . 8
14 eqidd 2468 . . . . . . . 8
159sseld 3508 . . . . . . . . . 10
1615imdistani 690 . . . . . . . . 9
1716, 1syl 16 . . . . . . . 8
1813, 14, 17isibl2 22041 . . . . . . 7 MblFn
1912, 18mpbid 210 . . . . . 6 MblFn
2019simpld 459 . . . . 5 MblFn
2111, 20eqeltrd 2555 . . . 4 MblFn
22 ssun2 3673 . . . . . . . 8
2322a1i 11 . . . . . . 7
2423, 8sseqtr4d 3546 . . . . . 6
25 resmpt 5329 . . . . . 6
2624, 25syl 16 . . . . 5
27 iblsplit.5 . . . . . . 7
28 eqidd 2468 . . . . . . . 8
29 eqidd 2468 . . . . . . . 8
3024sseld 3508 . . . . . . . . . 10
3130imdistani 690 . . . . . . . . 9
3231, 1syl 16 . . . . . . . 8
3328, 29, 32isibl2 22041 . . . . . . 7 MblFn
3427, 33mpbid 210 . . . . . 6 MblFn
3534simpld 459 . . . . 5 MblFn
3626, 35eqeltrd 2555 . . . 4 MblFn
378eqcomd 2475 . . . 4
385, 21, 36, 37mbfres2cn 31599 . . 3 MblFn
3920, 17mbfdm2 21913 . . . . . . 7
4039adantr 465 . . . . . 6
4135, 32mbfdm2 21913 . . . . . . 7
4241adantr 465 . . . . . 6
43 iblsplit.1 . . . . . . 7
4443adantr 465 . . . . . 6
458adantr 465 . . . . . 6
461adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
47 ax-icn 9563 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 elfznn0 11782 . . . . . . . . . . . . . . 15
5048, 49expcld 12290 . . . . . . . . . . . . . 14
5150ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13
5247a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
53 ine0 10004 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
5549nn0zd 10976 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
5752, 54, 56expne0d 12296 . . . . . . . . . . . . 13
5846, 51, 57divcld 10332 . . . . . . . . . . . 12
5958recld 13007 . . . . . . . . . . 11
6059rexrd 9655 . . . . . . . . . 10
6160adantr 465 . . . . . . . . 9
62 simpr 461 . . . . . . . . 9
63 pnfge 11351 . . . . . . . . . 10
6461, 63syl 16 . . . . . . . . 9
6561, 62, 643jca 1176 . . . . . . . 8
66 0xr 9652 . . . . . . . . . 10
67 pnfxr 11333 . . . . . . . . . 10
6866, 67pm3.2i 455 . . . . . . . . 9
69 elicc1 11585 . . . . . . . . 9
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . 8
7165, 70sylibr 212 . . . . . . 7
72 0le0 10637 . . . . . . . . . 10
73 pnfge 11351 . . . . . . . . . . 11
7466, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
7566, 72, 743pm3.2i 1174 . . . . . . . . 9
76 elicc1 11585 . . . . . . . . . 10
7768, 76ax-mp 5 . . . . . . . . 9
7875, 77mpbir 209 . . . . . . . 8
7978a1i 11 . . . . . . 7
8071, 79ifclda 3977 . . . . . 6
81 eqid 2467 . . . . . 6
82 eqid 2467 . . . . . 6
83 ifan 3991 . . . . . . 7
8483mpteq2i 4536 . . . . . 6
85 ifan 3991 . . . . . . . . . . 11
8685eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10
8786mpteq2i 4536 . . . . . . . . 9
8887a1i 11 . . . . . . . 8
8988fveq2d 5876 . . . . . . 7
90 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12
91 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12
9290, 91, 17isibl2 22041 . . . . . . . . . . 11 MblFn
9312, 92mpbid 210 . . . . . . . . . 10 MblFn
9493simprd 463 . . . . . . . . 9
95 rsp 2833 . . . . . . . . 9
9694, 95syl 16 . . . . . . . 8
9796imp 429 . . . . . . 7
9889, 97eqeltrd 2555 . . . . . 6
99 ifan 3991 . . . . . . . . . . 11
10099eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10
101100mpteq2i 4536 . . . . . . . . 9
102101fveq2i 5875 . . . . . . . 8
103102a1i 11 . . . . . . 7
104 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12
105 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12
106104, 105, 32isibl2 22041 . . . . . . . . . . 11 MblFn
10727, 106mpbid 210 . . . . . . . . . 10 MblFn
108107simprd 463 . . . . . . . . 9
109 rsp 2833 . . . . . . . . 9
110108, 109syl 16 . . . . . . . 8
111110imp 429 . . . . . . 7
112103, 111eqeltrd 2555 . . . . . 6
11340, 42, 44, 45, 80, 81, 82, 84, 98, 112itg2split 22024 . . . . 5
11498, 112readdcld 9635 . . . . 5
115113, 114eqeltrd 2555 . . . 4
116115ralrimiva 2881 . . 3
11738, 116jca 532 . 2 MblFn
118 eqidd 2468 . . 3
119 eqidd 2468 . . 3
120118, 119, 1isibl2 22041 . 2 MblFn
121117, 120mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817   cun 3479   cin 3480   wss 3481  cif 3945   class class class wbr 4453   cmpt 4511   cdm 5005   cres 5007  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  ci 9506   caddc 9507   cpnf 9637  cxr 9639   cle 9641   cdiv 10218  c3 10598  cz 10876  cicc 11544  cfz 11684  cexp 12146  cre 12910  covol 21742  cvol 21743  MblFncmbf 21891  citg2 21893  cibl 21894 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-rest 14695  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cmp 19755  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899 This theorem is referenced by:  iblsplitf  31611  fourierdlem93  31823
 Copyright terms: Public domain W3C validator