Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblsplit Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iblsplit 37837
 Description: The union of two integrable functions is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblsplit.1
iblsplit.2
iblsplit.3
iblsplit.4
iblsplit.5
Assertion
Ref Expression
iblsplit
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem iblsplit
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblsplit.3 . . . 4
2 eqid 2450 . . . 4
31, 2fmptd 6044 . . 3
4 ssun1 3596 . . . . . 6
5 iblsplit.2 . . . . . 6
64, 5syl5sseqr 3480 . . . . 5
76resmptd 5155 . . . 4
8 iblsplit.4 . . . . . 6
9 eqidd 2451 . . . . . . 7
10 eqidd 2451 . . . . . . 7
116sseld 3430 . . . . . . . . 9
1211imdistani 695 . . . . . . . 8
1312, 1syl 17 . . . . . . 7
149, 10, 13isibl2 22717 . . . . . 6 MblFn
158, 14mpbid 214 . . . . 5 MblFn
1615simpld 461 . . . 4 MblFn
177, 16eqeltrd 2528 . . 3 MblFn
18 ssun2 3597 . . . . . 6
1918, 5syl5sseqr 3480 . . . . 5
2019resmptd 5155 . . . 4
21 iblsplit.5 . . . . . 6
22 eqidd 2451 . . . . . . 7
23 eqidd 2451 . . . . . . 7
2419sseld 3430 . . . . . . . . 9
2524imdistani 695 . . . . . . . 8
2625, 1syl 17 . . . . . . 7
2722, 23, 26isibl2 22717 . . . . . 6 MblFn
2821, 27mpbid 214 . . . . 5 MblFn
2928simpld 461 . . . 4 MblFn
3020, 29eqeltrd 2528 . . 3 MblFn
315eqcomd 2456 . . 3
323, 17, 30, 31mbfres2cn 37829 . 2 MblFn
3316, 13mbfdm2 22587 . . . . . 6
3433adantr 467 . . . . 5
3529, 26mbfdm2 22587 . . . . . 6
3635adantr 467 . . . . 5
37 iblsplit.1 . . . . . 6
3837adantr 467 . . . . 5
395adantr 467 . . . . 5
401adantlr 720 . . . . . . . . . . 11
41 ax-icn 9595 . . . . . . . . . . . . . 14
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
43 elfznn0 11884 . . . . . . . . . . . . 13
4442, 43expcld 12413 . . . . . . . . . . . 12
4544ad2antlr 732 . . . . . . . . . . 11
4641a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
47 ine0 10051 . . . . . . . . . . . . 13
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
49 elfzelz 11797 . . . . . . . . . . . . 13
5049ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . 12
5146, 48, 50expne0d 12419 . . . . . . . . . . 11
5240, 45, 51divcld 10380 . . . . . . . . . 10
5352recld 13250 . . . . . . . . 9
5453rexrd 9687 . . . . . . . 8
5554adantr 467 . . . . . . 7
56 simpr 463 . . . . . . 7
57 pnfge 11429 . . . . . . . 8
5855, 57syl 17 . . . . . . 7
59 0xr 9684 . . . . . . . 8
60 pnfxr 11409 . . . . . . . 8
61 elicc1 11677 . . . . . . . 8
6259, 60, 61mp2an 677 . . . . . . 7
6355, 56, 58, 62syl3anbrc 1191 . . . . . 6
64 0e0iccpnf 11740 . . . . . . 7
6564a1i 11 . . . . . 6
6663, 65ifclda 3912 . . . . 5
67 eqid 2450 . . . . 5
68 eqid 2450 . . . . 5
69 ifan 3926 . . . . . 6
7069mpteq2i 4485 . . . . 5
71 ifan 3926 . . . . . . . . . 10
7271eqcomi 2459 . . . . . . . . 9
7372mpteq2i 4485 . . . . . . . 8
7473a1i 11 . . . . . . 7
7574fveq2d 5867 . . . . . 6
76 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10
77 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10
7876, 77, 13isibl2 22717 . . . . . . . . 9 MblFn
798, 78mpbid 214 . . . . . . . 8 MblFn
8079simprd 465 . . . . . . 7
8180r19.21bi 2756 . . . . . 6
8275, 81eqeltrd 2528 . . . . 5
83 ifan 3926 . . . . . . . . 9
8483eqcomi 2459 . . . . . . . 8
8584mpteq2i 4485 . . . . . . 7
8685fveq2i 5866 . . . . . 6
87 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10
88 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10
8987, 88, 26isibl2 22717 . . . . . . . . 9 MblFn
9021, 89mpbid 214 . . . . . . . 8 MblFn
9190simprd 465 . . . . . . 7
9291r19.21bi 2756 . . . . . 6
9386, 92syl5eqel 2532 . . . . 5
9434, 36, 38, 39, 66, 67, 68, 70, 82, 93itg2split 22700 . . . 4
9582, 93readdcld 9667 . . . 4
9694, 95eqeltrd 2528 . . 3
9796ralrimiva 2801 . 2
98 eqidd 2451 . . 3
99 eqidd 2451 . . 3
10098, 99, 1isibl2 22717 . 2 MblFn
10132, 97, 100mpbir2and 932 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  wral 2736   cun 3401   cin 3402  cif 3880   class class class wbr 4401   cmpt 4460   cdm 4833   cres 4835  cfv 5581  (class class class)co 6288  cc 9534  cr 9535  cc0 9536  ci 9538   caddc 9539   cpnf 9669  cxr 9671   cle 9673   cdiv 10266  c3 10657  cz 10934  cicc 11635  cfz 11781  cexp 12269  cre 13153  covol 22406  cvol 22408  MblFncmbf 22565  citg2 22567  cibl 22568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-ibl 22573 This theorem is referenced by:  iblsplitf  37841
 Copyright terms: Public domain W3C validator