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Theorem iblsplit 31607
Description: The union of two integrable functions is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblsplit.1  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
iblsplit.2  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
iblsplit.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  CC )
iblsplit.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
iblsplit.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblsplit  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  |->  C )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, U    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem iblsplit
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblsplit.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  CC )
21ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  C  e.  CC )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U  |->  C )  =  ( x  e.  U  |->  C )
43fmpt 6053 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  U  C  e.  CC  <->  ( x  e.  U  |->  C ) : U --> CC )
52, 4sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  |->  C ) : U --> CC )
6 ssun1 3672 . . . . . . . 8  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( A  u.  B ) )
8 iblsplit.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
97, 8sseqtr4d 3546 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
10 resmpt 5329 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  U  ->  (
( x  e.  U  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  U  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
12 iblsplit.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
13 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )
14 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ y ) ) ) )
159sseld 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U ) )
1615imdistani 690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ph  /\  x  e.  U
) )
1716, 1syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
1813, 14, 17isibl2 22041 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  A. y  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1912, 18mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  A. y  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
2019simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
2111, 20eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  U  |->  C )  |`  A )  e. MblFn )
22 ssun2 3673 . . . . . . . 8  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ( A  u.  B ) )
2423, 8sseqtr4d 3546 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
25 resmpt 5329 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  U  ->  (
( x  e.  U  |->  C )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  C ) )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  U  |->  C )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  C ) )
27 iblsplit.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
28 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )
29 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ y ) ) ) )
3024sseld 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U ) )
3130imdistani 690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( ph  /\  x  e.  U
) )
3231, 1syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
3328, 29, 32isibl2 22041 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. y  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
3427, 33mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. y  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
y ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ y
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3534simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
3626, 35eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  U  |->  C )  |`  B )  e. MblFn )
378eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  U )
385, 21, 36, 37mbfres2cn 31599 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  |->  C )  e. MblFn )
3920, 17mbfdm2 21913 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
4039adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A  e.  dom  vol )
4135, 32mbfdm2 21913 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
4241adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  B  e.  dom  vol )
43 iblsplit.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
4443adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
458adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
461adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  CC )
47 ax-icn 9563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  e.  CC
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  _i  e.  CC )
49 elfznn0 11782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
5048, 49expcld 12290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
5150ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
5247a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  _i  e.  CC )
53 ine0 10004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  _i  =/=  0 )
5549nn0zd 10976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  k  e.  ZZ )
5752, 54, 56expne0d 12296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
5846, 51, 57divcld 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
5958recld 13007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
6059rexrd 9655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR* )
6160adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  U
)  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )  ->  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  e.  RR* )
62 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  U
)  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )  ->  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )
63 pnfge 11351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR*  ->  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  <_ +oo )
6461, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  U
)  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )  ->  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  <_ +oo )
6561, 62, 643jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  U
)  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )  ->  ( (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  /\  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  <_ +oo )
)
66 0xr 9652 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
67 pnfxr 11333 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
6866, 67pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )
69 elicc1 11585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  /\  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  <_ +oo )
) )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  /\  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  <_ +oo )
)
7165, 70sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  U
)  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )  ->  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
72 0le0 10637 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
73 pnfge 11351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ +oo )
7466, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_ +oo
7566, 72, 743pm3.2i 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0  /\  0  <_ +oo )
76 elicc1 11585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0  /\  0  <_ +oo ) ) )
7768, 76ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 0  e. 
RR*  /\  0  <_  0  /\  0  <_ +oo )
)
7875, 77mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
7978a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  U
)  /\  -.  0  <_  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8071, 79ifclda 3977 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  U )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
81 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
82 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
83 ifan 3991 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  U ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
8483mpteq2i 4536 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
85 ifan 3991 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
8685eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )
8786mpteq2i 4536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
8887a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
8988fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
90 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
91 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
9290, 91, 17isibl2 22041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
9312, 92mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
9493simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
95 rsp 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( k  e.  ( 0 ... 3
)  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
9796imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
9889, 97eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
99 ifan 3991 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
10099eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )
101100mpteq2i 4536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
102101fveq2i 5875 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
103102a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
104 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
105 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
106104, 105, 32isibl2 22041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
10727, 106mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
108107simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
109 rsp 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( k  e.  ( 0 ... 3
)  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
111110imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
112103, 111eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11340, 42, 44, 45, 80, 81, 82, 84, 98, 112itg2split 22024 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) ) ) )
11498, 112readdcld 9635 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
115113, 114eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
116115ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11738, 116jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  U  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
118 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
119 eqidd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
120118, 119, 1isibl2 22041 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  U  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  U  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  U  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
121117, 120mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U  |->  C )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ifcif 3945   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005    |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   _ici 9506    + caddc 9507   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    <_ cle 9641    / cdiv 10218   3c3 10598   ZZcz 10876   [,]cicc 11544   ...cfz 11684   ^cexp 12146   Recre 12910   vol*covol 21742   volcvol 21743  MblFncmbf 21891   S.2citg2 21893   L^1cibl 21894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-rest 14695  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cmp 19755  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899
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