MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblposlem Structured version   Unicode version

Theorem iblposlem 21274
Description: Lemma for iblpos 21275. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblrelem.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
iblpos.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
iblposlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  =  0 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblposlem
StepHypRef Expression
1 iblpos.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
2 iblrelem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32le0neg2d 9917 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <_ 
0 ) )
41, 3mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  <_  0 )
54adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u B ) )  ->  -u B  <_  0
)
6 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u B ) )  ->  0  <_  -u B
)
72adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u B ) )  ->  B  e.  RR )
87renegcld 9780 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u B ) )  ->  -u B  e.  RR )
9 0re 9391 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
10 letri3 9465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u B  =  0  <->  ( -u B  <_  0  /\  0  <_  -u B ) ) )
118, 9, 10sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u B ) )  ->  ( -u B  =  0  <->  ( -u B  <_  0  /\  0  <_  -u B ) ) )
125, 6, 11mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u B ) )  ->  -u B  =  0 )
1312ifeq1da 3824 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u B ) , 
-u B ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  0 ,  0 ) )
14 ifid 3831 . . . . . 6  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  0 ,  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u B ) , 
-u B ,  0 )  =  0 )
1615mpteq2dv 4384 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
17 fconstmpt 4887 . . . 4  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
1816, 17syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( RR 
X.  { 0 } ) )
1918fveq2d 5700 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR 
X.  { 0 } ) ) )
20 itg20 21220 . 2  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
2119, 20syl6eq 2491 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3796   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   ` cfv 5423   RRcr 9286   0cc0 9287    <_ cle 9424   -ucneg 9601   S.2citg2 21101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xadd 11095  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-xmet 17815  df-met 17816  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-itg2 21106  df-0p 21153
This theorem is referenced by:  iblpos  21275  itgposval  21278
  Copyright terms: Public domain W3C validator