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Theorem iblneg 22036
Description: The negative of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcnval.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblneg  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 iblmbf 22001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgcnval.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 21871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65renegd 13008 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
76breq2d 4459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Re `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Re `  B ) ) )
87, 6ifbieq1d 3962 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
98mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  -u B
) ,  ( Re
`  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )
105iblcn 22032 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
111, 10mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) )
1211simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L^1 )
135recld 12993 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1413iblre 22027 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
1512, 14mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
1615simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
179, 16eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  -u B
) ,  ( Re
`  -u B ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
186negeqd 9815 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  -u -u ( Re `  B ) )
1913recnd 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
2019negnegd 9922 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Re `  B )  =  ( Re `  B ) )
2118, 20eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  ( Re `  B ) )
2221breq2d 4459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Re
`  -u B )  <->  0  <_  ( Re `  B ) ) )
2322, 21ifbieq1d 3962 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )
2423mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B
) ,  -u (
Re `  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
2515simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  B
) ,  ( Re
`  B ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
2624, 25eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B
) ,  -u (
Re `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
275negcld 9918 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
2827recld 12993 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  e.  RR )
2928iblre 22027 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B
) ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
3017, 26, 29mpbir2and 920 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L^1 )
315imnegd 13009 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
3231breq2d 4459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Im `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Im `  B ) ) )
3332, 31ifbieq1d 3962 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
3433mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  -u B
) ,  ( Im
`  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )
3511simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L^1 )
365imcld 12994 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
3736iblre 22027 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
3835, 37mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
3938simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
4034, 39eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  -u B
) ,  ( Im
`  -u B ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
4131negeqd 9815 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  -u -u ( Im `  B ) )
4236recnd 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
4342negnegd 9922 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Im `  B )  =  ( Im `  B ) )
4441, 43eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  ( Im `  B ) )
4544breq2d 4459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Im
`  -u B )  <->  0  <_  ( Im `  B ) ) )
4645, 44ifbieq1d 3962 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )
4746mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
4838simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  B
) ,  ( Im
`  B ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
4947, 48eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
5027imcld 12994 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  e.  RR )
5150iblre 22027 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B
) ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5240, 49, 51mpbir2and 920 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B
) )  e.  L^1 )
5327iblcn 22032 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  -u B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B ) )  e.  L^1 ) ) )
5430, 52, 53mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588   0cc0 9493    <_ cle 9630   -ucneg 9807   Recre 12896   Imcim 12897  MblFncmbf 21850   L^1cibl 21853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11320  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-xmet 18223  df-met 18224  df-ovol 21703  df-vol 21704  df-mbf 21855  df-itg1 21856  df-itg2 21857  df-ibl 21858  df-0p 21904
This theorem is referenced by:  itgneg  22037  iblsub  22055  itgsub  22059  iblsubnc  29929  itgsubnc  29930
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