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Theorem iblmulc2nc 26169
Description: Choice-free analogue of iblmulc2 19675. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2nc.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2nc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgmulc2nc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
iblmulc2nc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblmulc2nc
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.m . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
2 ifan 3738 . . . . . 6  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
3 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
43adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
6 iblmbf 19612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
97, 8mbfmptcl 19482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
104, 9mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
1110adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
12 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
1312ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
14 ax-icn 9005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
15 ine0 9425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
16 expclz 11361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1714, 15, 16mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
19 expne0i 11367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2014, 15, 19mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2113, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2211, 18, 21divcld 9746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) )  e.  CC )
2322recld 11954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
24 0re 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
25 ifcl 3735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2623, 24, 25sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2726rexrd 9090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
28 max1 10729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2924, 23, 28sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
30 elxrge0 10964 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
3127, 29, 30sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
32 0xr 9087 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
33 0le0 10037 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
34 elxrge0 10964 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
3532, 33, 34mpbir2an 887 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3731, 36ifclda 3726 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3837adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
392, 38syl5eqel 2488 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
40 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
4139, 40fmptd 5852 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
429recld 11954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
4342recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
4443abscld 12193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  RR )
459imcld 11955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
4645recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
4746abscld 12193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR )
4844, 47readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  RR )
4943absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Re `  B )
) )
5046absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Im `  B )
) )
5144, 47, 49, 50addge0d 9558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
52 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) )
5348, 51, 52sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
54 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
5524, 33, 54mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5753, 56ifclda 3726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5857adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
59 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
6058, 59fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
61 reex 9037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
63 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  (
Re `  B )
) ) )
6444, 49, 63sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6564, 56ifclda 3726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
67 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  ( Im
`  B ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  (
Im `  B )
) ) )
6847, 50, 67sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6968, 56ifclda 3726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
71 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )
72 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )
7362, 66, 70, 71, 72offval2 6281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
74 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Re `  B )
) )
75 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
7674, 75oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
77 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
7876, 77eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
79 00id 9197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  0 )  =  0
80 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  0 )
81 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  0 )
8280, 81oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
83 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  0 )
8479, 82, 833eqtr4a 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
8578, 84pm2.61i 158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )
8685mpteq2i 4252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
8773, 86syl6req 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
8887fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
89 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )
909iblcn 19643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
915, 90mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
9291simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
938, 5, 89, 92, 42iblabsnclem 26167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
9493simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
9566, 89fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9693simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
97 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )
9870, 97fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9991simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
1008, 5, 97, 99, 45iblabsnclem 26167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
101100simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10294, 95, 96, 98, 101itg2addnc 26158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
10388, 102eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
10496, 101readdcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
105103, 104eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1063abscld 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
1073absge0d 12201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  C ) )
108 elrege0 10963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  C )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  C )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  C
) ) )
109106, 107, 108sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11060, 105, 109itg2mulc 19592 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( abs `  C )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
111106adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
112 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { ( abs `  C ) } )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  C
) )
113112a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  C ) ) )
114 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
11562, 111, 58, 113, 114offval2 6281 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { ( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( abs `  C )  x.  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )
11677oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
117 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
118116, 117eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
119118adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
120106recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  CC )
121120mul01d 9221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  0 )  =  0 )
122121adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  0 )  =  0 )
12383adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  0 )
124123oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) )
125 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  0 )
126125adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  0 )
127122, 124, 1263eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
128119, 127pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
129128mpteq2dv 4256 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
130115, 129eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { ( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
131130fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
132103oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) ) )
133110, 131, 1323eqtr3d 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( abs `  C )  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) ) )
134106, 104remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )  e.  RR )
135133, 134eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
136135adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
137106adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
138137, 48remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  RR )
139138rexrd 9090 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e. 
RR* )
140107adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
141137, 48, 140, 51mulge0d 9559 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
142 elxrge0 10964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ) )
143139, 141, 142sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
14435a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
145143, 144ifclda 3726 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
146145ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
147 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )
148146, 147fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
1499abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
150137, 149remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  e.  RR )
151150adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  e.  RR )
152138adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  RR )
15322releabsd 12208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) )
15411, 18, 21absdivd 12212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) ) )
155 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
156 absexp 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
_i ^ k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
15714, 155, 156sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
158 absi 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs `  _i )  =  1
159158oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( abs `  _i ) ^ k )  =  ( 1 ^ k
)
160 1exp 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
16112, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
162159, 161syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( abs `  _i ) ^ k )  =  1 )
163157, 162eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  1 )
164163oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 ) )
165164ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 ) )
16610abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  RR )
167166recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
168167adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
169168div1d 9738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
170154, 165, 1693eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
1714, 9absmuld 12211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
172171adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
173170, 172eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
174153, 173breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  ( abs `  B ) ) )
175 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
17614, 46, 175sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
_i  x.  ( Im `  B ) )  e.  CC )
17743, 176abstrid 12213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
1789replimd 11957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
179178fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
180 absmul 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B ) ) ) )
18114, 46, 180sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
182158oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
Im `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )
183181, 182syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
18447recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  CC )
185184mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
186183, 185eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  =  ( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
187186oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
188177, 179, 1873brtr4d 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
189149, 48, 137, 140, 188lemul2ad 9907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
190189adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
19123, 151, 152, 174, 190letrd 9183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) )
192141adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
193 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) )  <_  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ) )
194 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ) )
195193, 194ifboth 3730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )  /\  0  <_  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )  ->  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
196191, 192, 195syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) )
197 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
198197adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
199117adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
200196, 198, 1993brtr4d 4202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
201200ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
20233a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
203 iffalse 3706 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
204202, 203, 1253brtr4d 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
205201, 204pm2.61d1 153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
2062, 205syl5eqbr 4205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )
207206ralrimivw 2750 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
20861a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  RR  e.  _V )
209 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
210 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
211208, 39, 146, 209, 210ofrfval2 6282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )
212207, 211mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )
213 itg2le 19584 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
21441, 148, 212, 213syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) ) )
215 itg2lecl 19583 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
21641, 136, 214, 215syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
217216ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
218 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
219 eqidd 2405 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) )
220218, 219, 10isibl2 19611 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
2211, 217, 220mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    o Rcofr 6263   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    <_ cle 9077    / cdiv 9633   3c3 10006   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   [,)cico 10874   [,]cicc 10875   ...cfz 10999   ^cexp 11337   Recre 11857   Imcim 11858   abscabs 11994  MblFncmbf 19459   S.2citg2 19461   L ^1cibl 19462
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem1  26170  itgmulc2nclem2  26171  itgmulc2nc  26172  itgabsnc  26173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-0p 19515
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