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Theorem iblitg 21364
Description: If a function is integrable, then the  S.2 integrals of the function's decompositions all exist. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblitg.1  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
iblitg.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
iblitg.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
iblitg.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iblitg  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
Distinct variable groups:    x, A    x, K    ph, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    T( x)    G( x)

Proof of Theorem iblitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblitg.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
3 iblitg.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
43adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
5 iexpcyc 12073 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )
65oveq2d 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) )  =  ( B  /  (
_i ^ K ) ) )
76fveq2d 5795 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
87ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
94, 8eqtr4d 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) )
109ibllem 21360 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ,  0 ) )
1110mpteq2dv 4479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
122, 11eqtrd 2492 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
1312fveq2d 5795 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
14 4nn 10584 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
15 zmodfz 11832 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( K  mod  4
)  e.  ( 0 ... ( 4  -  1 ) ) )
1614, 15mpan2 671 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... (
4  -  1 ) ) )
17 4cn 10502 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
18 ax-1cn 9443 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
19 3cn 10499 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2018, 19addcomi 9663 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  3 )  =  ( 3  +  1 )
21 df-4 10485 . . . . . . . 8  |-  4  =  ( 3  +  1 )
2220, 21eqtr4i 2483 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  3 )  =  4
2317, 18, 19, 22subaddrii 9800 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  3
2423oveq2i 6203 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 4  -  1 ) )  =  ( 0 ... 3
)
2516, 24syl6eleq 2549 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3
) )
2625adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3
) )
27 iblitg.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
28 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
29 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
30 iblitg.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
3128, 29, 30isibl2 21362 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
3227, 31mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3332simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
3433adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
35 oveq2 6200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
( K  mod  4
) ) )
3635oveq2d 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  =  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) )
3736fveq2d 5795 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) )
3837breq2d 4404 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) )
3938anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ) )
4039, 37ifbieq1d 3912 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) )
4140mpteq2dv 4479 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
4241fveq2d 5795 . . . . 5  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
4342eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4443rspcv 3167 . . 3  |-  ( ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( A. k  e.  (
0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4526, 34, 44sylc 60 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4613, 45eqeltrd 2539 1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   ifcif 3891   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386   _ici 9387    + caddc 9388    <_ cle 9522    - cmin 9698    / cdiv 10096   NNcn 10425   3c3 10475   4c4 10476   ZZcz 10749   ...cfz 11540    mod cmo 11811   ^cexp 11968   Recre 12690  MblFncmbf 21212   S.2citg2 21214   L^1cibl 21215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fz 11541  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-ibl 21220
This theorem is referenced by:  itgcl  21379  itgcnlem  21385  iblss  21400  iblss2  21401  itgsplit  21431
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