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Theorem iblitg 21903
Description: If a function is integrable, then the  S.2 integrals of the function's decompositions all exist. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblitg.1  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
iblitg.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
iblitg.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
iblitg.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iblitg  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
Distinct variable groups:    x, A    x, K    ph, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    T( x)    G( x)

Proof of Theorem iblitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblitg.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
3 iblitg.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
43adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
5 iexpcyc 12227 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )
65oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) )  =  ( B  /  (
_i ^ K ) ) )
76fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
87ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
94, 8eqtr4d 2504 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) )
109ibllem 21899 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ,  0 ) )
1110mpteq2dv 4527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
122, 11eqtrd 2501 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
1312fveq2d 5861 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
14 4nn 10684 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
15 zmodfz 11973 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( K  mod  4
)  e.  ( 0 ... ( 4  -  1 ) ) )
1614, 15mpan2 671 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... (
4  -  1 ) ) )
17 4cn 10602 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
18 ax-1cn 9539 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
19 3cn 10599 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2018, 19addcomi 9759 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  3 )  =  ( 3  +  1 )
21 df-4 10585 . . . . . . . 8  |-  4  =  ( 3  +  1 )
2220, 21eqtr4i 2492 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  3 )  =  4
2317, 18, 19, 22subaddrii 9897 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  3
2423oveq2i 6286 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 4  -  1 ) )  =  ( 0 ... 3
)
2516, 24syl6eleq 2558 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3
) )
2625adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3
) )
27 iblitg.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
28 eqidd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
29 eqidd 2461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
30 iblitg.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
3128, 29, 30isibl2 21901 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
3227, 31mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3332simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
3433adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
35 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
( K  mod  4
) ) )
3635oveq2d 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  =  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) )
3736fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) )
3837breq2d 4452 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) )
3938anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ) )
4039, 37ifbieq1d 3955 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) )
4140mpteq2dv 4527 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
4241fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
4342eleq1d 2529 . . . 4  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4443rspcv 3203 . . 3  |-  ( ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( A. k  e.  (
0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4526, 34, 44sylc 60 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4613, 45eqeltrd 2548 1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   ifcif 3932   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   3c3 10575   4c4 10576   ZZcz 10853   ...cfz 11661    mod cmo 11952   ^cexp 12122   Recre 12880  MblFncmbf 21751   S.2citg2 21753   L^1cibl 21754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-ibl 21759
This theorem is referenced by:  itgcl  21918  itgcnlem  21924  iblss  21939  iblss2  21940  itgsplit  21970
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