Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblioosinexp Structured version   Unicode version

Theorem iblioosinexp 29917
Description: sin^n on an open integral is integrable (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
iblioosinexp  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, N

Proof of Theorem iblioosinexp
StepHypRef Expression
1 ioossicc 11468 . . 3  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
3 ioombl 21148 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
43a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A (,) B )  e. 
dom  vol )
5 iccssre 11464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
6 ax-resscn 9426 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
75, 6syl6ss 3452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
87sselda 3440 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  CC )
983adantl3 1146 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  CC )
109sincld 13502 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( sin `  x
)  e.  CC )
11 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  NN0 )
1210, 11expcld 12095 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
13 ibliccsinexp 29915 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
142, 4, 12, 13iblss 21384 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1757    C_ wss 3412    |-> cmpt 4434   dom cdm 4924   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   CCcc 9367   RRcr 9368   NN0cn0 10666   (,)cioo 11387   [,]cicc 11390   ^cexp 11952   sincsin 13437   volcvol 21049   L^1cibl 21199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cc 8691  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447  ax-addf 9448  ax-mulf 9449
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-disj 4347  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-ofr 6407  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-omul 7011  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-fi 7748  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-acn 8199  df-cda 8424  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-xneg 11176  df-xadd 11177  df-xmul 11178  df-ioo 11391  df-ioc 11392  df-ico 11393  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-fl 11729  df-mod 11796  df-seq 11894  df-exp 11953  df-fac 12139  df-bc 12166  df-hash 12191  df-shft 12644  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-limsup 13037  df-clim 13054  df-rlim 13055  df-sum 13252  df-ef 13441  df-sin 13443  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-starv 14341  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-ip 14344  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-unif 14349  df-hom 14350  df-cco 14351  df-rest 14449  df-topn 14450  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-topgen 14470  df-pt 14471  df-prds 14474  df-xrs 14528  df-qtop 14533  df-imas 14534  df-xps 14536  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-mulg 15636  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-psmet 17904  df-xmet 17905  df-met 17906  df-bl 17907  df-mopn 17908  df-fbas 17909  df-fg 17910  df-cnfld 17914  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608  df-topsp 18609  df-cld 18725  df-ntr 18726  df-cls 18727  df-nei 18804  df-lp 18842  df-perf 18843  df-cn 18933  df-cnp 18934  df-haus 19021  df-cmp 19092  df-tx 19237  df-hmeo 19430  df-fil 19521  df-fm 19613  df-flim 19614  df-flf 19615  df-xms 19997  df-ms 19998  df-tms 19999  df-cncf 20556  df-ovol 21050  df-vol 21051  df-mbf 21201  df-itg1 21202  df-itg2 21203  df-ibl 21204  df-0p 21250  df-limc 21443  df-dv 21444
This theorem is referenced by:  wallispilem1  29984
  Copyright terms: Public domain W3C validator