Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ibliooicc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ibliooicc 37848
Description: If a function is integrable on an open interval, it is integrable on the corresponding closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ibliooicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ibliooicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ibliooicc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  C )  e.  L^1 )
ibliooicc.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
ibliooicc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  C )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem ibliooicc
StepHypRef Expression
1 ibliooicc.3 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  C )  e.  L^1 )
2 ioossicc 11720 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
4 ibliooicc.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 ibliooicc.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
64, 5iccssred 37602 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
74rexrd 9690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
85rexrd 9690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 icc0 11684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
107, 8, 9syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
1110biimpar 488 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
1211difeq1d 3550 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  (
(/)  \  ( A (,) B ) ) )
13 0dif 3838 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  \  ( A (,) B
) )  =  (/)
14 0ss 3763 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  { A ,  B }
1513, 14eqsstri 3462 . . . . . . 7  |-  ( (/)  \  ( A (,) B
) )  C_  { A ,  B }
1612, 15syl6eqss 3482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  C_  { A ,  B } )
17 ssid 3451 . . . . . . 7  |-  ( ( A [,] B ) 
\  ( A (,) B ) )  C_  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) )
187adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR* )
198adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
20 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
21 iccdifioo 37616 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A [,] B
)  \  ( A (,) B ) )  =  { A ,  B } )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  { A ,  B }
)
2317, 22syl5sseq 3480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  C_  { A ,  B } )
2416, 23, 5, 4ltlecasei 9742 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { A ,  B } )
25 prssi 4128 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
264, 5, 25syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  C_  RR )
27 prfi 7846 . . . . . 6  |-  { A ,  B }  e.  Fin
28 ovolfi 22447 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  ( vol* `  { A ,  B } )  =  0 )
2927, 26, 28sylancr 669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  { A ,  B }
)  =  0 )
30 ovolssnul 22440 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  RR  /\  ( vol* `  { A ,  B }
)  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
3124, 26, 29, 30syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
32 ibliooicc.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  CC )
333, 6, 31, 32itgss3 22772 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. ( A (,) B
) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x ) )
3433simpld 461 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  C )  e.  L^1 ) )
351, 34mpbid 214 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  C )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    \ cdif 3401    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   vol*covol 22413   L^1cibl 22575   S.citg 22576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581
This theorem is referenced by:  fourierdlem69  38039  fourierdlem73  38043  fourierdlem81  38051  fourierdlem93  38063
  Copyright terms: Public domain W3C validator