Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ibliooicc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ibliooicc 37848
 Description: If a function is integrable on an open interval, it is integrable on the corresponding closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ibliooicc.1
ibliooicc.2
ibliooicc.3
ibliooicc.4
Assertion
Ref Expression
ibliooicc
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ibliooicc
StepHypRef Expression
1 ibliooicc.3 . 2
2 ioossicc 11720 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4
4 ibliooicc.1 . . . . 5
5 ibliooicc.2 . . . . 5
64, 5iccssred 37602 . . . 4
74rexrd 9690 . . . . . . . . . 10
85rexrd 9690 . . . . . . . . . 10
9 icc0 11684 . . . . . . . . . 10
107, 8, 9syl2anc 667 . . . . . . . . 9
1110biimpar 488 . . . . . . . 8
1211difeq1d 3550 . . . . . . 7
13 0dif 3838 . . . . . . . 8
14 0ss 3763 . . . . . . . 8
1513, 14eqsstri 3462 . . . . . . 7
1612, 15syl6eqss 3482 . . . . . 6
17 ssid 3451 . . . . . . 7
187adantr 467 . . . . . . . 8
198adantr 467 . . . . . . . 8
20 simpr 463 . . . . . . . 8
21 iccdifioo 37616 . . . . . . . 8
2218, 19, 20, 21syl3anc 1268 . . . . . . 7
2317, 22syl5sseq 3480 . . . . . 6
2416, 23, 5, 4ltlecasei 9742 . . . . 5
25 prssi 4128 . . . . . 6
264, 5, 25syl2anc 667 . . . . 5
27 prfi 7846 . . . . . 6
28 ovolfi 22447 . . . . . 6
2927, 26, 28sylancr 669 . . . . 5
30 ovolssnul 22440 . . . . 5
3124, 26, 29, 30syl3anc 1268 . . . 4
32 ibliooicc.4 . . . 4
333, 6, 31, 32itgss3 22772 . . 3
3433simpld 461 . 2
351, 34mpbid 214 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   cdif 3401   wss 3404  c0 3731  cpr 3970   class class class wbr 4402   cmpt 4461  cfv 5582  (class class class)co 6290  cfn 7569  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  cxr 9674   clt 9675   cle 9676  cioo 11635  cicc 11638  covol 22413  cibl 22575  citg 22576 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581 This theorem is referenced by:  fourierdlem69  38039  fourierdlem73  38043  fourierdlem81  38051  fourierdlem93  38063
 Copyright terms: Public domain W3C validator