Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblempty Structured version   Unicode version

Theorem iblempty 31967
Description: The empty function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iblempty  |-  (/)  e.  L^1

Proof of Theorem iblempty
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbf0 31959 . 2  |-  (/)  e. MblFn
2 fconstmpt 5052 . . . . . . 7  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
32eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  0 )  =  ( RR  X.  { 0 } )
43fveq2i 5875 . . . . 5  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  0 ) )  =  ( S.2 `  ( RR  X.  { 0 } ) )
5 itg20 22270 . . . . 5  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
64, 5eqtri 2486 . . . 4  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  0 ) )  =  0
7 0re 9613 . . . 4  |-  0  e.  RR
86, 7eqeltri 2541 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  0 ) )  e.  RR
98rgenw 2818 . 2  |-  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  0 ) )  e.  RR
10 noel 3797 . . . . . . . . 9  |-  -.  x  e.  (/)
1110intnanr 915 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) )
1211iffalsei 3954 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  =  0
1312eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  0  =  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  0  =  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1514mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR  |->  0 )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
16 eqidd 2458 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  (/) )  ->  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) )
17 dm0 5226 . . . . 5  |-  dom  (/)  =  (/)
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  dom  (/)  =  (/) )
1910intnan 914 . . . . 5  |-  -.  ( T.  /\  x  e.  (/) )
2019pm2.21i 131 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  (/) )  ->  ( (/) `  x )  =  0 )
2115, 16, 18, 20isibl 22298 . . 3  |-  ( T. 
->  ( (/)  e.  L^1 
<->  ( (/)  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  0 ) )  e.  RR ) ) )
2221trud 1404 . 2  |-  ( (/)  e.  L^1  <->  ( (/)  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  0 ) )  e.  RR ) )
231, 9, 22mpbir2an 920 1  |-  (/)  e.  L^1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   A.wral 2807   (/)c0 3793   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   _ici 9511    <_ cle 9646    / cdiv 10227   3c3 10607   ...cfz 11697   ^cexp 12169   Recre 12942  MblFncmbf 22149   S.2citg2 22151   L^1cibl 22152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-xmet 18539  df-met 18540  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156  df-ibl 22157  df-0p 22203
This theorem is referenced by:  itgvol0  31970
  Copyright terms: Public domain W3C validator