Theorem iblempty 31967

Description: The empty function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iblempty	|- (/) e. L^1

Proof of Theorem iblempty

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbf0 31959	. 2 |- (/) e. MblFn
2		fconstmpt 5052	. . . . . . 7 |- ( RR X. { 0 } ) = ( x e. RR |-> 0 )
3	2	eqcomi 2470	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> 0 ) = ( RR X. { 0 } )
4	3	fveq2i 5875	. . . . 5 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> 0 ) ) = ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) )
5		itg20 22270	. . . . 5 |- ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) = 0
6	4, 5	eqtri 2486	. . . 4 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> 0 ) ) = 0
7		0re 9613	. . . 4 |- 0 e. RR
8	6, 7	eqeltri 2541	. . 3 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> 0 ) ) e. RR
9	8	rgenw 2818	. 2 |- A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> 0 ) ) e. RR
10		noel 3797	. . . . . . . . 9 |- -. x e. (/)
11	10	intnanr 915	. . . . . . . 8 |- -. ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( 0 / ( _i ^ k ) ) ) )
12	11	iffalsei 3954	. . . . . . 7 |- if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( 0 / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( 0 / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = 0
13	12	eqcomi 2470	. . . . . 6 |- 0 = if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( 0 / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( 0 / ( _i ^ k ) ) ) , 0 )
14	13	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> 0 = if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( 0 / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( 0 / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) )
15	14	mpteq2dva 4543	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR |-> 0 ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( 0 / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( 0 / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) )
16		eqidd 2458	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. (/) ) -> ( Re ` ( 0 / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( 0 / ( _i ^ k ) ) ) )
17		dm0 5226	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> dom (/) = (/) )
19	10	intnan 914	. . . . 5 |- -. ( T. /\ x e. (/) )
20	19	pm2.21i 131	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. (/) ) -> ( (/) ` x ) = 0 )
21	15, 16, 18, 20	isibl 22298	. . 3 |- ( T. -> ( (/) e. L^1 <-> ( (/) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> 0 ) ) e. RR ) ) )
22	21	trud 1404	. 2 |- ( (/) e. L^1 <-> ( (/) e. MblFn /\ A. k e. ( 0 ... 3 ) ( S.2 ` ( x e. RR |-> 0 ) ) e. RR ) )
23	1, 9, 22	mpbir2an 920	1 |- (/) e. L^1

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 1819   A.wral 2807   (/)c0 3793   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   _ici 9511   <_ cle 9646   / cdiv 10227   3c3 10607   ...cfz 11697   ^cexp 12169   Recre 12942  MblFncmbf 22149   S.2citg2 22151   L^1cibl 22152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-xmet 18539  df-met 18540  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156  df-ibl 22157  df-0p 22203

This theorem is referenced by:  itgvol0  31970