Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblempty Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iblempty 37842
Description: The empty function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iblempty  |-  (/)  e.  L^1

Proof of Theorem iblempty
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbf0 37834 . 2  |-  (/)  e. MblFn
2 fconstmpt 4878 . . . . . . 7  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
32eqcomi 2460 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  0 )  =  ( RR  X.  { 0 } )
43fveq2i 5868 . . . . 5  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  0 ) )  =  ( S.2 `  ( RR  X.  { 0 } ) )
5 itg20 22695 . . . . 5  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
64, 5eqtri 2473 . . . 4  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  0 ) )  =  0
7 0re 9643 . . . 4  |-  0  e.  RR
86, 7eqeltri 2525 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  0 ) )  e.  RR
98rgenw 2749 . 2  |-  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  0 ) )  e.  RR
10 noel 3735 . . . . . . . . 9  |-  -.  x  e.  (/)
1110intnanr 926 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) )
1211iffalsei 3891 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  =  0
1312eqcomi 2460 . . . . . 6  |-  0  =  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  0  =  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1514mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR  |->  0 )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
16 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  (/) )  ->  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) )
17 dm0 5048 . . . . 5  |-  dom  (/)  =  (/)
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  dom  (/)  =  (/) )
1910intnan 925 . . . . 5  |-  -.  ( T.  /\  x  e.  (/) )
2019pm2.21i 135 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  (/) )  ->  ( (/) `  x )  =  0 )
2115, 16, 18, 20isibl 22723 . . 3  |-  ( T. 
->  ( (/)  e.  L^1 
<->  ( (/)  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  0 ) )  e.  RR ) ) )
2221trud 1453 . 2  |-  ( (/)  e.  L^1  <->  ( (/)  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  0 ) )  e.  RR ) )
231, 9, 22mpbir2an 931 1  |-  (/)  e.  L^1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   T. wtru 1445    e. wcel 1887   A.wral 2737   (/)c0 3731   ifcif 3881   {csn 3968   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   _ici 9541    <_ cle 9676    / cdiv 10269   3c3 10660   ...cfz 11784   ^cexp 12272   Recre 13160  MblFncmbf 22572   S.2citg2 22574   L^1cibl 22575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-xmet 18963  df-met 18964  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-0p 22628
This theorem is referenced by:  itgvol0  37845
  Copyright terms: Public domain W3C validator