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Theorem iblcnlem 22321
Description: Expand out the forall in isibl2 22299. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.s  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.t  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.u  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iblcnlem  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    R( x)    S( x)    T( x)    U( x)

Proof of Theorem iblcnlem
StepHypRef Expression
1 iblmbf 22300 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn ) )
3 simp1 996 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
)
5 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
6 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
7 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
8 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
9 0cn 9605 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
109elimel 4007 . . . . . . 7  |-  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC )
125, 6, 7, 8, 11iblcnlem1 22320 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
14 eqid 2457 . . . . . 6  |-  A  =  A
15 mbff 22160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
16 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
17 itgcnlem.v . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
1816, 17dmmptd 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
1918feq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
2019biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2115, 20sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2216fmpt 6053 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2321, 22sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
24 iftrue 3950 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
2524ralimi 2850 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
2623, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
27 mpteq12 4536 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  A  /\  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )  -> 
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
2814, 26, 27sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
2928eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e.  L^1  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 ) )
3028eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn ) )
31 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  RR  =  RR
3224imim2i 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  A  ->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 )  =  B ) )
3332imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
3433fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( Re `  B
) )
3534ibllem 22297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
3635a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) ) )
3736ralimi2 2847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
3823, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
39 mpteq12 4536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4031, 38, 39sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4140fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
42 itgcnlem.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4341, 42syl6eqr 2516 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  R )
4443eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  R  e.  RR ) )
4534negeqd 9833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  -u ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  -u ( Re `  B ) )
4645ibllem 22297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
4746a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4847ralimi2 2847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
4923, 48syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
50 mpteq12 4536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )
5131, 49, 50sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )
5251fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
53 itgcnlem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
5452, 53syl6eqr 2516 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  S )
5554eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  S  e.  RR ) )
5644, 55anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) 
<->  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR ) ) )
5733fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( Im `  B
) )
5857ibllem 22297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
5958a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) ) )
6059ralimi2 2847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
6123, 60syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
62 mpteq12 4536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6331, 61, 62sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6463fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) ) )
65 itgcnlem.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6664, 65syl6eqr 2516 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  T )
6766eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  T  e.  RR ) )
6857negeqd 9833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  -u ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  -u ( Im `  B ) )
6968ibllem 22297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
7069a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
7170ralimi2 2847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
7223, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
73 mpteq12 4536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )
7431, 72, 73sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )
7574fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) ) )
76 itgcnlem.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
7775, 76syl6eqr 2516 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  U )
7877eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  U  e.  RR ) )
7967, 78anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) 
<->  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
8030, 56, 793anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
8113, 29, 803bitr3d 283 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
8281ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) ) )
832, 4, 82pm5.21ndd 354 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    <_ cle 9646   -ucneg 9825   Recre 12942   Imcim 12943  MblFncmbf 22149   S.2citg2 22151   L^1cibl 22152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-mbf 22154  df-ibl 22157
This theorem is referenced by:  itgcnlem  22322  iblrelem  22323  ibladd  22353  ibladdnc  30256
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