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Theorem iblcnlem 21925
Description: Expand out the forall in isibl2 21903. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.s  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.t  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.u  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iblcnlem  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    R( x)    S( x)    T( x)    U( x)

Proof of Theorem iblcnlem
StepHypRef Expression
1 iblmbf 21904 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn ) )
3 simp1 991 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
)
5 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
6 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
7 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
8 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
9 0cn 9579 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
109elimel 3997 . . . . . . 7  |-  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC )
125, 6, 7, 8, 11iblcnlem1 21924 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
14 eqid 2462 . . . . . 6  |-  A  =  A
15 mbff 21764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
16 itgcnlem.v . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
1716ralrimiva 2873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
18 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1918fnmpt 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
20 fndm 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
2117, 19, 203syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
2221feq2d 5711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
2322biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2415, 23sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2518fmpt 6035 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2624, 25sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
27 iftrue 3940 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
2827ralimi 2852 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
2926, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
30 mpteq12 4521 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  A  /\  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )  -> 
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3114, 29, 30sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3231eleq1d 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e.  L^1  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 ) )
3331eleq1d 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn ) )
34 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  RR  =  RR
3527imim2i 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  A  ->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 )  =  B ) )
3635imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
3736fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( Re `  B
) )
3837ibllem 21901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
3938a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) ) )
4039ralimi2 2849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
4126, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
42 mpteq12 4521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4334, 41, 42sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4443fveq2d 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
45 itgcnlem.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4644, 45syl6eqr 2521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  R )
4746eleq1d 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  R  e.  RR ) )
4837negeqd 9805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  -u ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  -u ( Re `  B ) )
4948ibllem 21901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
5049a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
5150ralimi2 2849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
5226, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
53 mpteq12 4521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )
5434, 52, 53sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )
5554fveq2d 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
56 itgcnlem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
5755, 56syl6eqr 2521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  S )
5857eleq1d 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  S  e.  RR ) )
5947, 58anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) 
<->  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR ) ) )
6036fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( Im `  B
) )
6160ibllem 21901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
6261a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) ) )
6362ralimi2 2849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
6426, 63syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
65 mpteq12 4521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6634, 64, 65sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6766fveq2d 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) ) )
68 itgcnlem.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6967, 68syl6eqr 2521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  T )
7069eleq1d 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  T  e.  RR ) )
7160negeqd 9805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  -u ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  -u ( Im `  B ) )
7271ibllem 21901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
7372a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
7473ralimi2 2849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
7526, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
76 mpteq12 4521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )
7734, 75, 76sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )
7877fveq2d 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) ) )
79 itgcnlem.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
8078, 79syl6eqr 2521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  U )
8180eleq1d 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  U  e.  RR ) )
8270, 81anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) 
<->  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
8333, 59, 823anbi123d 1294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
8413, 32, 833bitr3d 283 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
8584ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) ) )
862, 4, 85pm5.21ndd 354 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   ifcif 3934   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   dom cdm 4994    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483    <_ cle 9620   -ucneg 9797   Recre 12882   Imcim 12883  MblFncmbf 21753   S.2citg2 21755   L^1cibl 21756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-mbf 21758  df-ibl 21761
This theorem is referenced by:  itgcnlem  21926  iblrelem  21927  ibladd  21957  ibladdnc  29638
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