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Theorem iblcn 21408
Description: Integrability of a complex function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
iblcn.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
iblcn  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblcn
StepHypRef Expression
1 iblcn.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
21ismbfcn2 21249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
32anbi1d 704 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) ) )
4 3anass 969 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
5 an4 820 . . 3  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
63, 4, 53bitr4g 288 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )  <->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) ) )
7 eqid 2454 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
8 eqid 2454 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
9 eqid 2454 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
10 eqid 2454 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
117, 8, 9, 10, 1iblcnlem1 21397 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
121recld 12800 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1312iblrelem 21400 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
14 3anass 969 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1513, 14syl6bb 261 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
161imcld 12801 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1716iblrelem 21400 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
18 3anass 969 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1917, 18syl6bb 261 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
2015, 19anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L^1 )  <->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) ) )
216, 11, 203bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   ifcif 3898   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   ` cfv 5525   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392    <_ cle 9529   -ucneg 9706   Recre 12703   Imcim 12704  MblFncmbf 21226   S.2citg2 21228   L^1cibl 21229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-disj 4370  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-ofr 6430  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xadd 11200  df-ioo 11414  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-sum 13281  df-xmet 17934  df-met 17935  df-ovol 21079  df-vol 21080  df-mbf 21231  df-itg1 21232  df-itg2 21233  df-ibl 21234  df-0p 21280
This theorem is referenced by:  itgcnval  21409  itgre  21410  itgim  21411  iblneg  21412  itgneg  21413  itgadd  21434  iblabs  21438  itgmulc2  21443  itgabs  21444  itgaddnc  28599  iblabsnc  28603  iblmulc2nc  28604  itgmulc2nc  28607  itgabsnc  28608  ftc1anclem2  28615  ftc1anclem5  28618  ftc1anclem6  28619
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